蒙特卡洛模擬法在礦業項目凈現值計算中的應用

盧皎旭，李角群，郭進平，程相琛，鄭冰,

(1.西安建筑科技大學 資源工程學院，陜西 西安 710055；2.山陽秦鼎礦業有限責任公司，陜西 商洛市 726000)

0 引言

凈現值（NPV）法是礦業項目經濟評價中應用最廣泛的方法之一，凈現值是進行項目投資決策的一項重要指標[1-4]，其計算結果的準確性直接影響項目的投資。凈現值計算受到礦石儲量、貧化率、損失率、礦石的入選品位等諸多可變因素的影響。因此如何提高凈現值的計算精度成了業內亟待解決的主要問題[5]。21世紀初吳愛祥教授首次將蒙特卡洛模擬法引入礦業項目的凈現值計算中，并取得了良好的效果。但受制于當時計算機和相關軟件功能的局限性，影響凈現值計算結果的隨機變量所服從的概率分布仍然是依靠歷史經驗來判斷的[6-12]，模擬次數也是有限的，同時對于凈現值結果的分析也僅僅只是從直方圖中觀察到大致的結果，并沒有在一個確定的概率區間對其進行科學的分析[12]。為了解決上述問題，本文借助 Stata平臺首先確定影響凈現值計算的隨機變量所服從的概率，之后調用Stata中的隨機數發生器產生服從特定分布的隨機數。最后實現對項目凈現值進行蒙特卡洛模擬實驗，并將計算結果以圖表的形式輸出；蒙特卡洛模擬法的引入解決了凈現值計算過程存在的若干影響因素的隨機性問題，實現了凈現值計算的高效、快速、準確。

1 蒙特卡洛模擬法概述

蒙特卡洛模擬法也稱為隨機數模擬法，是一種基于已知隨機變量產生特定隨機數的模擬方法。其原理是利用影響目標問題的隨機變量產生的若干隨機數來代替相關變量參與目標問題的計算，因此需要首先確定相關隨機變量所服從的概率分布，并利用Stata中的隨機數發生器來產生相應的隨機數。蒙特卡羅模擬法的步驟如下：建立相關問題的數學模型；產生若干特定的隨機數；進行蒙特卡洛模擬實驗并分析實驗結果。

1.1 建立凈現值（NPV）模型

礦業項目凈現值計算過程中，需要充分考慮項目受內在因素以及外部條件等不確定因素的影響，如礦石的銷售收入、銷售成本、損失率、貧化率以及政府政策等，礦山的可服務年限、生產能力、銷售收入、成本費用和采礦技術參數等。在實際的礦山項目經濟評價過程中，既需要充分考慮其目標問題的影響因素，也要考慮計算的方便，因此建立數學模型如下。

式中，fNPV為凈現值；ANCF為凈現金流量；i為基準收益率；BNII為項目初期投資額。

式中，X為礦產品銷售收入；B為礦產品銷售成本；D為折舊費；t為所得稅稅率。

式中，T為礦山的服務年限；A為礦山年產量；Q為礦床的工業儲量；ρ為貧化率；η為采礦回采率。

需要注意的是，在計算礦山的服務年限時應該用廢石混入率，但是由于混入的廢石品位一般很低，而且具體數值不易確定，同時為了計算的簡便，這里直接采用貧化率來代替廢石混入率。同時礦產品的銷售收入主要與礦山的產量和礦產品的價格有關；礦產品的產量又是由礦石的品位、回采率、貧化率共同決定的，所以凈現值與上述影響因素密切相關。因此由公式（1）～（3）可得 NPV的計算模型如下：

1.2 產生特定概率分布的隨機數

蒙特卡洛模擬的思想是：首先確定計算模型中若干隨機變量的概率分布，其次通過 Stata中的隨機數發生器來產生特定概率的隨機數，參與 NPV的計算，最后通過調用相應的程序使得 NPV循環計算，并對實驗模擬結果進行統計分析。

蒙特卡洛模擬的前提是產生相當數量的“隨機數”，之后對模型中的隨機變量建立抽樣方法，實現從已知的概率分布抽樣；由于各種概率模型都可以看成是由已知的概率分布構成的，因此產生特定概率分布的隨機變量就成了實現蒙特卡洛模擬的重要方法。其中最簡單、最直接的分布就是（0,1）分布，其他分布都可以看成是由（0,1）分布通過某種特定的方法轉化而來，如利用“逆轉方法”和“拒絕——接受法”來產生隨機數[12]。

在實際應用中產生均勻隨機分布隨機數的方法有很多，但應用最廣泛的是線性同余法生成隨機數，公式如下：

式中，a為乘子；函數mod為求余函數；m為足夠大的一個正整數。

使用該方法時必須給定一個初始值x0，也稱種子值（Seed），而且種子值的選取須在1和最大值m之間。原則上參數可以根據自身需要設定，但是為了避免出現全周期情況，參數應按規則選取，才能使得生成的隨機數滿足問題的需要[8-9]。

生成相關隨機數之后通過調用相關程序，將會對若干隨機數進行統計分析，得出其平均值、標準偏差、最大值和最小值。之后采用“逆轉方法”產生目標問題的隨機數即可。

1.3 蒙特卡洛模擬實驗

在產生相應的隨機數之后進行蒙特卡洛模擬實驗，通過編制相應的程序對項目凈現值進行1000次的蒙特卡洛模擬實驗。需要注意的是在模擬過程中是用“偽隨機數”來代替隨機數，最終將產生的偽隨機數代入 NPV的表達式中進行計算，求解出1000次模擬實驗的NPV值，最后對其進行統計分析。通過分析結果對項目凈現值做出科學的判斷，進而為項目的投資提供科學的支撐。蒙特卡洛模擬凈現值計算過程如圖1所示。

圖1 基于蒙特卡洛模擬的NPV計算過程

2 工程實例

山陽秦鼎礦業公司設計前期露天開采，后期地下開采。項目預計 2025年全面建成，達產后黃金產量有望達到5 t以上。該礦山為國家級綠色礦山（試點）單位。截至 2019年底，礦山項目保有黃金資源儲量為172 t，平均品位為1.99 g/t。礦山的詳細資料見表1。

表1 秦鼎礦業公司相關地質資料

根據礦山相關資料，利用蒙特卡洛模擬法對項目凈現值進行計算。

凈現值法判斷的依據是：若最終計算NPV≥0，則說明該項目風險較小，是可以接受的；若NPV＜0，則說明該項目風險較大，是不可以接受的。

由公式（4）可知隨機變量有A、Q、ρ、α等。對該礦山相關變量進行統計，結果見表2。

對表2中礦床工業儲量Q進行統計分析和正態性檢驗，如圖2所示。由圖2可知，礦床的工業儲量隨時間變化的曲線服從N（172，5.22）的正態分布。對該礦山礦石入選品位α進行統計分析和正態性檢驗，如圖3所示。由圖3可知，礦石入選品位隨時間變化的曲線服從N(1.99，0.012)的正態分布。對該礦山的礦石銷售價格γ進行統計分析和正態性檢驗，如圖4所示。由圖4可知，礦石的銷售價格隨時間變化的曲線服從 N（362.34，5.22）的正態分布。對礦石的銷售成本c進行統計分析和正態性檢驗，如圖5所示。由圖5可知，礦石的銷售成本隨時間變化曲線服從N(176，3.22)的正態分布。并對折舊費、所得稅率、礦山的年產量、采礦回采率、礦石回采率等進行統計分析和正態性檢驗，結果均不服從正態分布。

圖2 礦床工業儲量變化規律

圖3 礦石入選品位變化規律

圖4 礦石銷售價格變化規律

圖5 礦石銷售成本變化規律

表2 秦鼎礦業2000-2020年相關參數

在 Stata中通過編制相應的程序計算基于若干隨機數變量的NPV，之后再對蒙特卡洛模擬得到的1000個凈現值進行統計分析，從總體上對項目凈現值做出判斷，為項目的評價提供科學的支撐。

其原理如下：對于模型中的每一個隨機變量進行一次模擬計算需要一個隨機數參與；而每產生一個隨機數，對應就產生一個凈現值，本次模擬實驗進行1000次，也就產生了1000個對應的隨機數和1000個凈現值。最后對模擬結果進行統計分析，如圖6所示。

由圖6可知，該項目的NPV均值為3 756 799元，最大值為3 800 265元，最小值為253 456元，均大于 0，說明該項目在理論上是可行的；之后基于這1000次模擬的凈現值樣本在98% 的置信區間對其進行分析，結果見表3。由表3可知，該項目凈現值均值分布范圍為（3 712 543, 4 001 055），也就是說凈現值均值落在（3 712 543, 4 001 055）上的概率為 98%，再次驗證該礦山項目的投資是可行的。

圖6 蒙特卡洛模擬1000次的凈現值頻率分布直方圖

表3 模擬1000次的凈現值在98%置信區間分析結果

3 結論

（1）在Stata中既可以確定隨機變量服從的概率分布，也可以直接對 NPV進行蒙特卡洛模擬實驗，并將計算結果以圖表的形式輸出，從圖表中可以直觀看出凈現值的相關情況，為項目經濟性評價提供科學的支撐，具有較強的可操作性和實用性。

（2）基于蒙特卡洛模擬的凈現值NPV計算，充分考慮了“隨機變量”對 NPV的影響，完善了以往在其計算過程中對變量的處理方法，同時在98%置信區間對模擬結果進行統計分析，使得結果更加合理可靠。

（3）蒙特卡洛模擬法的實質是基于已知隨機變量產生特定隨機數的前提下進行的，因此實驗的可靠性與相關隨機變量服從的概率分布準確與否有關，若隨機變量服從的概率分布有偏差，則可能導致實驗結果存在較大誤差。