基于少數參數表征的西紅柿形態三維幾何建模

劉 瑩 王滿生 曲文娟 馬海樂 潘忠禮 蔣群輝

(1. 江蘇大學食品物理加工研究院，江蘇 鎮江 212013；2. 中國農業科學院麻類研究所，湖南 長沙 410205；3. 美國加州大學戴維斯分校生物與農業工程系，美國 加州 95616；4. 鎮江美博紅外科技有限公司，江蘇 鎮江 212013)

西紅柿是中國主要農作物之一，產量和消費量逐年上升，其加工產品種類也越來越多。但目前對于西紅柿果實幾何建模的研究相對薄弱，其精深加工程度遠遠落后于世界先進水平，產品附加值低。

近年來，隨著農業基礎知識的拓寬和計算機圖像處理技術的不斷發展，農作物幾何建模技術應運而生，目前國內外學者已經開發了一些幾何模型用以模擬農業材料，例如簡化幾何模型[1]、三維重建模型[2-3]以及參數化建模方法[4]等。其中，參數化建模技術[5]是目前最常用的建模方法，它是用參數來構造產品的幾何形態，能夠對產品進行快速建模，為產品的快速可視化提供了基礎。但是目前參數化幾何建模方法在西紅柿形狀表征方面的應用依然具有較大的挑戰：首先，西紅柿精準的幾何模型還沒有完全發展起來。西紅柿呈較扁的橢圓形[6-8]，莖花軸向尺寸均勻，特別的是，西紅柿莖端(莖部瘢痕)的縮進特征是其一個重要的局部形狀特征[6-7,9]，直接影響著其剝皮、分選、質檢等一系列加工操作[10-12]，但目前未見有對西紅柿莖端局部縮進特征進行精確描述的相關研究報道，現有研究[13-14]報道的曲面和自由曲線的參數化建模方法通常是建立在物體近似曲面的幾何形態基礎上的，不能準確表征西紅柿莖端局部縮進的特征，因此無法應用于西紅柿相關的計算機輔助設計和仿真中。而且曲面和自由曲線幾何模型的表征參數較多，不僅有位置參數，還有積分參數和微分參數[5]，包含了大量的數字化數據，數據處理復雜。

研究擬通過建立少數參數表征的三維幾何模型快速且直觀地構造出西紅柿的真實幾何形狀，準確捕捉其重要的莖端局部縮進特征，為西紅柿相關的計算機輔助設計、仿真以及剝皮、分選、質檢等一系列加工提供基礎數據，為其產業精深加工提供技術支撐。

1 材料與方法

1.1 試驗原料

西紅柿：無機械和蟲咬等傷害，市售。

1.2 主要儀器與設備

電子天平：SQP型，北京賽多利斯科技有限公司；

游標卡尺：MNT-150型，上海美耐特實業有限公司。

1.3 試驗方法

1.3.1 西紅柿尺寸的測量和幾何關系建立 表征西紅柿形態屬性的主要參數包括總高度(H)、最大直徑到底部的垂直位置(P)、最大直徑(W)、肩高(S)、花端曲率半徑(R90)和莖端曲率半徑(R270)(見圖1)。使用精度0.1 mm的游標卡尺來測量上述參數。

圖1 西紅柿的形態屬性參數Figure 1 Morphological attribute parameters of tomato

由圖1可知，各參數之間存在如下關系：

L=H-S，

(1)

L=R90+R270，

(2)

式中：

L——西紅柿長度，mm；

R90——花端曲率半徑，mm；

R270——莖端曲率半徑，mm；

H——西紅柿總高度，mm；

S——西紅柿肩高，mm。

根據所選取西紅柿的形態特征，由于其最大直徑(W)并不等于果實高度中點所對應的直徑，而是位于其水平軸的下方，因此d表示為：

d=H-(P+R90)。

(3)

1.3.2 西紅柿幾何模型的構建 先采用正弦冪級數的三次項[15]來描述西紅柿的曲面形狀，再通過引入4個形狀描述系數(a、b、c1、c2)來精確表征西紅柿的莖端局部縮進特征，具體幾何模型的表達式為：

(4)

式中：

R(θ)——坐標原點(O)到西紅柿表面不同位置的徑向距離，mm；

θ——極坐標的角度；

a、b、c1和c2——形狀描述系數。

1.3.3 西紅柿幾何模型描述系數的計算 為定量描述西紅柿形狀，需要確定4個形狀描述系數(a、b、c1、c2)，按照如下步驟計算：

(1) 確定系數“a”：當θ= -π/2和π/2時，式(4)可以簡化為式(5)和式(6)：

R90=a(1+c1+c2)，

(5)

R270=a(1-c1-c2)。

(6)

通過將式(5)和式(6)相加合并得：

(7)

由于R90和R270還滿足式(1)和式(2)的關系，因此代入式(7)，a可以表示為：

(8)

(2) 確定系數“b”：西紅柿果實在不同位置上的直徑W(θ)可通過θ來表示，其函數：

W(θ)=2R(θ)cos(θ)。

(9)

(10)

根據最大直徑W(θ)在閉區間[0,2π]范圍內的求導結果等于零，得出式(10)中θ應滿足以下條件：

(11)

此外，由于函數W(θ)的最大值是在端點處或臨界點處得出的，從幾何角度看，如果僅觀察最大直徑的一半(W/2)，θw也應滿足直角三角[如圖1(b)所示]的關系：

(12)

將式(12)代入式(11)，求解系數“b”為：

(13)

(3) 確定系數“c2”：通過R90除以R270，根據式(5)和式(6)，系數“c1”和“c2”之間的關系可以表示為：

(14)

或

(15)

將式(14)、式(15)和式(2)重新整合，c2可以用c1表示為：

(16)

(4) 確定系數“c1”：另一個直角三角[如圖1(b)所示]關系：

(17)

將式(17)的左側以式(4)的形式展開，將式(8)、式(13)、式(16)中的系數a、b、c2代入式(17)中得到：

(18)

此外，c1可以通過假設二階或更高階的sin(θw)來表示，函數的階次越高，收斂性和計算精度越高[18]，式(18)可變為：

(19)

將式(3)、式(8)、式(12)代入式(19)，由此得出c1為：

(20)

上述西紅柿形狀描述系數的具體計算數學方程詳見表1，此外還給出了4個系數計算時需要用到的實際測量尺寸參數。

表1 西紅柿形狀系數的數學方程及與西紅柿實際尺寸參數的關聯

1.3.4 西紅柿質量和表面積的預測值計算和實測值測定

假設西紅柿是圍繞其莖花對稱軸旋轉的固體，可以根據帕普斯第一定理[19]，推導出西紅柿體積的計算公式：

(21)

式中：

V——西紅柿體積，mm3；

θ1——角積分下限；

θ2——角積分上限。

假設西紅柿果實密度為常數，可以用式(22)計算西紅柿質量(m)。

m=

(22)

根據帕普斯第二定理[19]和辛普森公式[20]計算西紅柿表面積(SA)，其計算公式如下：

(23)

通過式(22)和式(23)計算獲得西紅柿質量和表面積的預測值。此外，根據阿基米德原理，采用0.2 g/mL蔗糖溶液體積置換法測定西紅柿的密度[21]。使用電子天平測定西紅柿質量的實測值。采用圓臺法[22]測定西紅柿表面積的實測值。

分別以相對百分誤差(ERPE)、均方根誤差(ERMSE)和確定系數(R2)來反映預測值與實測值之間擬合度的優劣，其中ERPE和ERMSE計算公式：

(24)

(25)

式中：

MV——實測值；

PV——預測值；

n——樣本量。

2 結果與討論

2.1 西紅柿幾何模型中描述系數的計算

取超市購買的75個西紅柿為樣本，測定其實際尺寸參數，實測結果如表2所示。由表2可知，將實測值代入表1中的數學方程計算獲得幾何模型中的4個描述系數，描述系數a和b的平均值(24.50，32.82 mm)非常接近實測果實高度(H=54.97 mm)和最大直徑(W=65.09 mm)的一半，表明二者描述系數的數值大小與西紅柿實測尺寸參數直接相關，可以由H和W直接計算獲得。此外由表1的計算方程還發現，描述系數c1和c2(0.33，0.11 mm)也與西紅柿實測尺寸參數H、W、P、S、R90直接相關。同樣地，Narushin等[23]采用參數方程描述禽蛋的形狀時也發現幾何模型的描述參數與實測樣品的尺寸密切相關。綜上所述，研究建立的西紅柿形狀幾何模型中的4個系數均與西紅柿實際尺寸參數密切相關，具有實際物理意義，可以全面表征西紅柿曲面形狀以及重要的莖端局部縮進特征，可在西紅柿相關的計算機輔助設計、仿真等相關工程應用中發揮重要作用。

表2 西紅柿實測尺寸參數與幾何模型計算系數的統計描述

2.2 西紅柿幾何模型系數與質量和高度關系的分析

西紅柿形狀變化的預測受果實質量和大小的約束，如果能將西紅柿質量和高度一起整合到西紅柿幾何模型中，對用少量的參數快速表征西紅柿真實的幾何形狀具有重要意義。章文英等[24]在對蘋果的形狀進行研究時發現高度對于蘋果形狀的表征起到了關鍵性的作用。因此研究分析西紅柿形狀描述系數(a、b、c1、c2)與其實際質量(m)和高度(H)的關系，結果見圖2和圖3。根據圖2中建立的兩個回歸方程發現，回歸相關系數R2均在0.85以上，表明西紅柿質量(m)與系數b、西紅柿高度(H)與系數a之間存在顯著的線性相關性，因此，西紅柿描述系數a和b可以通過直接測量西紅柿實際高度和質量來獲得，比表1中通過測量W、H、P、S和R90來獲得更為簡便和快速，表明研究所建幾何模型可以實現以少量參數對西紅柿真實幾何形態的快速表征。同樣地，Rashidi等[25]的研究報道也得出可以通過參數簡化幾何模型進而準確描述獼猴桃的幾何形狀。

圖2 系數b和a與西紅柿質量(m)和高度(H)的關系Figure 2 Relationship between coefficients b and a and tomato weight (m) and height (H)

圖3為系數c1和c2與西紅柿質量(m)和高度(H)的關聯結果，研究發現，系數c1和c2與西紅柿質量和高度均無良好的線性相關性，其數值的計算仍需通過西紅柿5個尺寸參數(H、S、R90、W和P)的測量來獲得，這是因為c1和c2的數值大小反映了西紅柿莖端縮進特征的局部細節變化，決定了其形狀的均勻性和同質性[26]，而不是西紅柿整體大小的變化，因此其與質量和高度的相關性較低。

圖3 系數c1和c2與西紅柿質量(m)和高度(H)的關系Figure 3 Relationship between coefficients c1 and c2 and tomato weight (m) and height (H)

2.3 西紅柿三維幾何模型的構建

在建立的二維幾何模型基礎上，將西紅柿剖面繞莖花對稱軸旋轉，得到其三維幾何的轉換，并將數學方程[式(4)]以及4個描述系數(a、b、c1、c2)的平均值代入MATLAB算法中創建西紅柿的三維幾何模型，結果見圖4。由圖4可知，該模型直觀準確地描述了西紅柿莖端局部縮進的特征，增強了模型的真實感，強化了模型的可視化功能，可以作為計算機模擬西紅柿幾何形狀的一種直觀準確的計算工具[27]。紀平等[28]也利用番茄的半徑等參數采用MATLAB算法獲得了果實的輪廓圖像，但是其采用的MATLAB算法操作步驟較為復雜，且識別率不高，并不是一種快速表征西紅柿幾何形狀的好方法。

圖4 西紅柿的三維幾何模型Figure 4 Three-dimensional geometric modelof tomatoes

2.4 西紅柿幾何模型的驗證

幾何模型可以用于計算西紅柿的一些幾何屬性，如質量[29]、體積[23,30]、表面積[28]、曲率半徑[29]、圓周長[23]等。因此，研究也應用所建立的幾何模型對西紅柿質量和表面積等幾何屬性進行預測，并通過分析預測值與實測值來驗證模型的準確性和可靠性。從圖5發現，質量和表面積的實測值與預測值之間均存在良好的線性相關性。由表3可知，質量實測值與預測值之間的ERMSE值為10.11，ERPE為5.46%，R2為0.85，由已有報道[31]得知，該模型誤差在可接受的范圍內，表明質量實測值與理論預測值之間存在良好的線性相關性；表面積實測值與預測值之間的ERMSE值為44.75，ERPE為10.24%，R2為0.81，主要是由于西紅柿個體差異較大造成的，但總體而言，表面積實測值與預測值之間具有較高的擬合精度。這與王浩云等[30]研究發現蘋果的外形指標與真實值之間具有較高相關性的結論一致。由此得出，研究所建西紅柿三維幾何模型可以用于量化西紅柿的質量和表面積幾何屬性，是一種快速、準確表征西紅柿幾何形狀的新型方法。

圖5 西紅柿質量和表面積的預測值與實測值的比較Figure 5 Comparison of predicted and measured values of tomato weight and surface area

表3 西紅柿幾何模型的擬合度檢驗結果Table 3 Fitting test results of tomato geometric model

理想狀況下是通過測定西紅柿邊界上每個點的曲率半徑來捕獲西紅柿形狀的所有特征，然而，這種方法測量效率低且計算復雜。為解決這些問題，研究構建了一個以少數參數表征西紅柿形狀的三維幾何模型，實現了對西紅柿真實幾何形狀的直觀、精準且快速表征。此外，Datta等[32]認為幾何建模的最終目的是應用于實際加工中。因此研究又將建立模型應用于西紅柿質量和表面積等幾何屬性的預測，可為西紅柿相關加工產業的科學合理設計提供便利[33]，可將其作為原料模型用于脫皮熱處理過程中的傳熱模擬以及設備加熱均勻性優化的依據，還可為西紅柿其他加工工程應用推薦合適的參數，例如，在水果連續化加工作業中可以通過原料模型快速地估計水果形狀和大小，實現對質量檢驗對象的準確定位等[34]。綜上，西紅柿幾何形態的定量描述滿足了其形態表征設計需求，可適用于各種西紅柿加工技術和相關機械裝備的設計，因此研究建立的幾何模型具有良好的實用價值。

3 結論

研究根據尺寸參數和形狀描述系數精確地描述了西紅柿的莖端局部縮進特征，計算獲得形態描述系數a、b、c1、c2的適用范圍分別為21.78～28.58，30.50～34.54，0.19～0.53，0.04～0.31 mm，具有較寬的適用性。研究發現描述系數a和b與西紅柿實際高度和質量高度線性相關(R2>0.85)，說明該幾何模型可以實現以少量的參數快速表征西紅柿真實幾何形態的目的。實際應用中，質量和表面積實測值與預測值之間的預測效果良好，表明該模型可以用于量化西紅柿質量和表面積等幾何屬性。研究建立的西紅柿模型能夠直觀、迅速且精確地表征西紅柿的幾何形狀，可以滿足西紅柿形態表征設計的需求，在西紅柿相關的計算機輔助設計和仿真中具有良好的應用潛力。西紅柿幾何模型中的形態描述系數與實際樣品尺寸參數之間具有線性相關性的原因主要體現于原料的自身特性，遺傳育種能夠保持產品尺寸與整體形狀的相對穩定。但是，西紅柿品種的不同依舊會導致形狀特征的差異。因此，有必要對不同品種的西紅柿形狀描述系數展開深入研究，進一步完善幾何模型，拓寬其適用性。