不同梁理論下功能梯度梁的自由振動分析★

莫淇茗，楊小蝶，李騰飛，談志康，魯 東，金春花

(南通大學交通與土木工程學院,江蘇 南通 226019)

1 概述

功能梯度梁(Functionally Graded Beam,FGB)是一種由功能梯度材料(Functionally Graded Material,FGM)構成的具有抗高溫和抗裂性能的新型梁。其材料特性從一個表面到另一個表面連續變換,可以消除層狀復合材料中界面處的應力集中[1]。因此,FGB也引起了學術界和工程界越來越多的關注并得到廣泛應用。例如,微懸臂梁的諧振特性可用于高靈敏度的生物傳感器,可以滿足多種高精度要求的探測用途[2];由微梁制成的氣體傳感器,能檢測各種氣體的成分和濃度,被廣泛應用于探測各種有毒有害氣體,各種可燃性氣體,溫室效應與分析食品的氣味和人的呼氣以了解食品的新鮮度及人體的健康狀況等[3]。

在求解結構中梁的動力學性能時,弱式求積單元法(Weak Form Quadrature Element Method,QEM)性能優越,當前在結構力學領域得到了越來越多的應用,包括結構元件和結構的靜力彎曲特性、屈曲特性、自由振動、動態響應分析以及應力強度因子計算等,結果均證明了QEM的準確、高效和可以根據收斂性要求自適應的優點[4]。該法本質上也是一種高階有限元。其差別在于QEM針對用變分形式描述的問題進行必要的單元劃分,借助微分求積法則對泛函的積分式進行數學離散近似,然后利用變分原理得到代數方程組進行求解。由于使用數值積分和微分求積法則對問題的變分表達和場變量進行高階近似,因此具有高效、準確的特點,數值求解能力出色。

為了解決FGB的振動問題,國內外許多科研人士利用不同的梁理論研究了FGB梁的橫向振動問題[5-6]。特別是經典的歐拉—伯努利梁理論,以及考慮了剪應力和轉動慣性對振動變形的影響的鐵木辛柯梁理論,這些理論廣泛應用于各類常規梁、層合梁以及波長接近厚度的高頻激勵梁。本文基于這兩種理論,借助弱式求積單元法用較小的計算資源求得高精度結果的特點,分析FGB的自由振動性能。通過討論梯度指數以及高跨比來研究梁的自由振動頻率,為FGB的設計和應用提供了參考。

2 FGM振動方程

考慮如圖1所示的功能梯度梁,長為l,橫截面是高和寬分別為h和b的矩形。e為幾何中面與物理中面之間的距離。梁材料密度和模量均沿y方向梯度分布,則可以設密度為ρ(y),彈性模量為E(y),剪切模量為G(y)。

為了便于比較,材料屬性假設沿厚度方向依據冪指數的變化:

(1)

其中,c，m分別為陶瓷和金屬。P(y)或者是彈性模量E(y)或者是質量密度ρ(y),冪指數k是一個非負變量。很容易就可以看出梁底面(y=-h/2)是純金屬,梁表面(y=+h/2)的材料是純陶瓷。

在鐵木辛柯梁理論下,其位移場假設為:

(2)

其中,u*(x,y,t)，w*(x,y,t)分別為梁的軸向和橫向位移分量；u(x,t)，w(x,t)分別為梁中面上任意點處的軸向和橫向的位移分量;t為時間,且當γ(x,t)=0時,該位移場退化為歐拉伯努利梁理論。此時的動能和應變能可表示為:

(3)

(4)

其中,Axx,Bxx,Dxx,Axz以及Axx的具體表達式和I0,I1和I2的定義可以參見文獻[4],此處由于篇幅有限,不再贅述。借助弱式求積單元法,功能梯度材料梁單元的自由振動分析動力學方程可以簡寫為如下形式:

[k]{Q}=ω2[m]{Q}

(5)

其中,ω為圓頻率；[m]，[k]分別為質量矩陣和剛度矩陣。采用廣義特征值求解器求解方程(5)后就得到梁的頻率和相應的振型。

3 算例分析和討論

在工程實際中常常需要考慮梁的自由振動,算例中材料密度和彈性模量根據冪指數取值沿厚度方向發生變化,為了方便比較,選取l/h=5和l/h=20跨高比,冪指數k分別取0(均勻材料)，0.2，0.5，1，2，5，10和1020(純金屬)。上下表面兩種組分材料屬性如表1所示,頻率參數λ的定義如下:

表1 功能梯度材料屬性

(6)

考慮楊氏模量和質量密度同時按照式(1)梯度變化,則當跨高比l/h=20時,一端固定一端自由的懸臂梁在兩種理論下的數值解與已有文獻數值對比情況如圖2所示,而兩端固定時的情況如圖3所示。

從圖中可以看出,兩種邊界條件下隨著冪指數的增大,無量綱頻率參數值均不斷降低,且降幅較大;而不管是哪種邊界條件,對跨高比為l/h=20的梁來說,歐拉—伯努利梁理論下求解的結果更好,誤差很小,而鐵木辛柯梁理論下的計算結果誤差較大,說明歐拉—伯努利梁理論更適用于細長梁,鐵木辛柯梁理論過度考慮了剪切變形對梁固有頻率的影響。

從圖2和圖3的數值對比來看,同樣跨高比情況下,梁端約束對自由振動頻率的影響比較大,兩端固支梁的基礎頻率遠高于懸臂梁的基礎頻率。

對于短粗梁情況,考慮跨高比為l/h=5的情況,此時在鐵木辛柯梁理論下的自由振動數值結果如圖4所示,從圖4可以看出,不管是兩端固定的CC梁還是一端固定一端自由的CF梁,基礎頻率數值結果和現有文獻吻合較好,說明對于短粗梁來講,剪切變形對梁自由振動的影響非常重要,不能忽略,鐵木辛柯梁理論比較適宜該種情形。同時,也可以看出隨著梯度指數k的增大,梁振動的無量綱頻率參數也在不斷變小,尤其是兩端固定約束情形下,下降趨勢更為明顯。這也說明了梁兩端的約束方式直接影響到功能梯度梁的自由振動頻率。

4 結論

1)功能梯度梁的自由振動問題中,歐拉—伯努利梁理論更適用于細長梁,而考慮剪切變形的鐵木辛柯梁理論更適用于粗短梁,計算其固有頻率時必須考慮梁的跨高比,從而選擇合適的梁理論。

2)對于功能梯度梁,增大梯度指數k值將使梁的自由振動基礎頻率變小,故在工程中可以通過調節梁組分的梯度指數來調整頻率,從而避免共振問題的出現。