立足概念教學，培養思維概括

徐瑞

數學概念是數學知識之本，解題之源，數學概念學習的成功與否直接影響數學思維以及創新能力的發展.但由于課時緊張、考試壓力等種種原因，有些教師在實際概念教學中還是以教師講解為主，留給學生探索、交流概念形成的時間很少.這種忽視概念形成過程的教學，違背了學生的認知發展規律，學生僅機械識記，導致停留在概念的表面.由于沒有深層次的理解概念，學生概念學習不久后便會出現概念混淆、遺忘的現象，不能靈活應用概念解決問題，不利于學生能力的發展.基于此，筆者在反思性研究的基礎上，以浙教版教材八年級上冊“2.6逆命題和逆定理”為例，對概念學習的設計做了一些探究和嘗試，印證“學生先行，交流呈現，教師斷后”的教學設計，現闡述如下，以期拋磚引玉.

一、教學設計

1、情境創設，激活思維

環節1：閱讀幻燈片內容，獨立思考完成

預設問題1：幻燈片上 “綠水青山就是金山銀山”這句話，用第一章學過的數學名詞來表示，它應該叫什么？

預設問題2：： 觀察下列4個句子，依序回答句后三個小問題：

①對頂角相等. ②作一個角等于已知角.③兩個無理數的和仍是無理數.④線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

（1）下列句子哪些是命題？

（2）若是命題，請判斷真假.

（3）若是真命題，請寫成“如果…那么…”的形式，并說出命題的條件和結論.

教師活動：順勢給出關于命題的思維導圖幻燈片。

設計意圖：設計問題，引領復習，既體現學科育人理念，又自然引出命題的概念復習舊知，為課題學習做好鋪墊。學生通過對該環節的問題思考、解答、交流，并借助思維導圖，經歷了與本節課逆命題和逆定理有關的各種因素的再認識過程，觸及到了本節課的概念雛形。

2、活動引領，形成概念

環節1：小組交流討論完成表格.要求組內每位成員先闡述自己的見解，然后交流達成共識，并做好展示交流準備.

預設問題1：觀察下面命題的條件和結論，你發現了什么？

①如果a=b，那么a2=b2. ②兩內角相等的三角形是等腰三角形.

③同位角相等，兩直線平行.④如果a2=b2，那么a=b.

⑤等腰三角形兩個底角相等.⑥兩直線平行，同位角相等.

環節2：師生共同參與發現可以通過交換命題的條件和結論的方法來構造新命題，并形成逆命題的概念.而這節課的研究對象就是由此產生的新命題（揭示課題），

預設問題2：你能寫出“綠水青山就是金山銀山”的逆命題嗎？

預設問題3：以上命題哪幾個是定理 ，它們之間有什么關系？

環節3：師生一起歸納互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫互逆定理.

設計意圖：學生通過自己操作，在打亂的3對命題中找到條件結論互換的特征，充分激發學生學習興趣，經歷了原命題與逆命題是條件、結論互換的過程，進而得出互逆命題的定義.并乘熱打鐵，以典型、豐富的實例為載體，通過小組討論的方式，展開觀察、分析屬性，抽象概括出共同本質特征，自然地引出互逆定理的概念.也體現了“以學為中心”的課改理念.

3、問題驅動，探究本質

預設問題1：寫出下列各題的逆命題？并判斷原命題和逆命題的真假

（1）如果|a|=|b|，那么a=b.

（2）等邊三角形的三個角都是60°

（3）兩個全等三角形的面積相等

（讓學生自己動手操作，畫出兩個面積相等的三角形但不全等，并讓學生上臺展示，如有不同情況的，還可上來補充，教師則利用幾何畫板動態演示面積相等的兩個三角形不全等.）

預設問題2：下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，請說出逆定理：

（1）內錯角相等，兩直線平行.

（2）對頂角相等.

（3）三邊對應相等的兩個三角形全等

預設問題3：歸納反思

（1）每個命題都有逆命題嗎？（2）真命題的逆命題一定是真命題嗎？

（3）每個定理都有逆命題嗎？（4）每個定理的逆命題都有真命題嗎？

設計意圖：概念得出后，學生只是建立了一個抽象、概括的語句框架，只有通過解題，學生才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內涵和外延.本環節設置了3個題組，層層遞進，讓學生動手、大膽猜想充分激發學生學習的興趣，全方位調動學生學習的積極性.通過討論思考，學生經歷了定理與逆命題的關系，以及他們之間的真假性沒有因果關系的過程，抓住本質.

4、概念應用，拓展提升

環節1：教師引導，學生參與，共同解決教材例1：說出線段垂直平分線的性質定理“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題.

預設問題1：定理中的條件和結論分別是什么？能不能只是把原命題的條件和結論交換位置呢？（可以提示學生注意組織適當的語句敘述出逆命題.）

預設問題2：（1）過P作PC⊥AB，交于點O.要證明PC平分AB（即OA=OC）只要證明什么？怎么證明？（2）這條直線上有一點沒法采用這種方法去證明，是哪一點？這一點怎么證明？

環節2：給出學法指導提示：① 根據題意畫出圖形. ② 在圖形上標注已知條件.③ 寫出已知與求證. ④ 分析要證的點P 在線段AB 的垂直平分線上，需要做什么. ⑤ 根據分析結果進行推理證明.教師在學生獨立完成任務的基礎上，組織學生相互反饋，同時示范證明的過程

環節3：拓展提高，提升自我.

預設問題3：寫出定理“等腰三角形底邊上的高與中線重合”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題

設計意圖：例1要直接證明點P在線段AB的垂直平分線上是不常見的，我們可以轉化為證明AB的垂線PC平分線段AB.當一種證明過程不能代表全部情況時，需分別討論，分別敘述.（通過幾何畫板演示，P點在線段AB上時情況）幾何語言：∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上（或過點P作AB的垂線平分AB，或過點P和AB的中點的直線垂直AB）.這里需要注意兩點：①注意組織適當的語句敘述出逆命題，不能只是把原命題的條件和結論交換位置.②引導學生運用轉化思想轉化等價命題和分類討論等數學思想的必要性.

5、回顧反思，小結收獲

預設問題1：本節課研究了哪些內容？

借助具體問題的解答過程，通過師生交流梳理出如下圖所示的思維導圖：

設計意圖：用思維導圖的形式對概念的學習過程進行回顧與梳理，既讓學生明確概念從哪里來，到哪里去，又方便學生從整體上掌握概念，使得學生的認知結構化、系統化.

二、教學立意

在這堂課的教學設計中，筆者緊緊圍繞 “立足概念教學，培養思維概括 ”這一主題，在領會教材內涵的基礎上，開拓創新，通過讓學生動手、大膽猜想、觀看多媒體、幾何畫板演示等，充分激發學生學習的興趣，全方位調動學生學習的積極性，使學生在整個課堂學習過程中，既動手又動腦，既參與小組討論又鍛煉自己獨立的幾何言語表達，既提高解決幾何問題的能力又培養規范的幾何證明書寫習慣.

1、突出表現“以本為本”和“以學定教”

在整個教學設計過程中嚴格按照教材的設計思路，但又不囿于教材，實現了教教材和用教材教的轉變.通過整個教學設計可以看出，第一部分的問題1中表格與教材相比多了一對命題，而且在打亂的三對命題中讓學生找到條件結論互換的特征.另外所有的題目都來自于教材，但又進行了一定的整合，通過題目為本串起了一條“暗線”------三對互逆命題中有兩對原命題和逆命題都是真命題，通過小組討論的方式，體驗互逆定理的定義產生過程.

2、重點落實“學科育人”和“核心素養”

在整個設計環節中對“學科育人”做了初步嘗試，具體體現在用“綠水青山就是金山銀山”引出命題的概念，滲透了節約資源、保護環境的德育理念.學會學習是中國學生發展的六大核心素養之一，其基本要點就是勤于反思，在整個設計過程中的4個反思性小問題及最后的反思總結把學生對相關知識的理解引入深處，為學生的自主反思作出了一定的努力.

3、精心設計“思維導圖”和“過程教育”

在整個設計環節中，一前一后都精心設置了思維導圖，首尾呼應以幫助學生梳理知識，使學生認知結構化、系統化.而且該設計還包括概念的形成過程和蘊含的數學活動經驗，認知過程既包括在構造具體命題的逆命題基礎上的定義，以獲得逆命題和逆定理的概念，也包括獲得概念之后的反思.這種設計不但能使學生獲得逆命題和逆定理的概念，也能使學生積累構造逆命題的經驗，做到了“思維”與“導圖”齊飛，“過程”與“方法”交融.

參考文獻：

[1]王媛媛. 基于“四基”的初中數學概念教學設計研究[D]. 重慶師范大學，2013.

[2]邵光華，章建躍. 數學概念的分類、特征及其教學探討[J]. 課程.教材.教法，2009（7）：47-51.