十二次二維準晶圓形弧段裂紋的熱應力分析

馬園園，趙雪芬，丁生虎

（1.寧夏大學 數學統計學院，銀川 750021；2.寧夏大學 新華學院，銀川 750021）

隨著耐高溫復合材料在工程實際中的應用日益廣泛，復合材料熱應力問題的研究引起了許多力學工作者的關注。Kattis等[1]采用二相復勢的方法研究了曲線邊界夾雜的平面熱彈性問題，得到了橢圓夾雜在無窮遠處均勻熱流作用下的熱彈性場。文獻[2]采用拉普拉斯變換和有限差分方法，研究了無牽引邊界條件下多層圓柱的熱彈性問題，得到了瞬態溫度場和熱應力場的解。文獻[3]采用疊加法求出軸對稱平面應變狀態下正交各向異性空心圓柱的熱彈性解。Wang等[4]利用解析延拓方法研究了兩個不完全黏結的半平面內嵌任意形狀熱夾雜問題。

準晶作為一種新材料，具有硬度高、摩擦因數低、耐高溫和耐磨等優良性能[5-6]。Li等[7]采用格林函數法研究了一維六方準晶的熱彈性解。文獻[8]研究了十次準晶復合材料橢圓夾雜的熱應力問題。Guo等[9]利用Stroh型形式解，導出了均勻熱流作用下含導電橢圓孔十次準晶的彈性解。文獻[10]采用擴展位移不連續法分析了一維六方周期平面裂紋的熱應力及裂紋尖端場的奇異性。雖然彈性材料中各種類型的熱應力分析[11-13]以及含缺陷準晶體的力學分析[14-17]已得到較充分的研究，但準晶夾雜中含缺陷的熱應力問題還未得到充分的討論。

本文研究了十二次二維準晶在點熱源作用下的共弧圓形界面裂紋的平面問題，分析了夾雜內外溫度場，聲子場及相位子場的熱應力。由此導出了含有兩條裂紋時，分區復勢函數和應力場的封閉解。

1 問題描述與基本公式

如圖1所示，無限大十二次二維準晶基體S-中包含一個半徑為R的圓形準晶夾雜S+。在無限大準晶基體S-內任意一點z0作用著一點熱源，其強度為q0。同時，在準晶基體與準晶夾雜界面上有n條互不相交的裂紋L′1，L′2，…，L′n，裂紋的尖端分別用aj和bj表示，記L′=L′1+L′2+…+L′n。 除裂紋L′外的剩余部分記為L，不失一般性，假設在L′上無面力作用。當準晶基體與準晶夾雜黏結完好時，在L上滿足位移和應力連續的界面條件。

圖1 點熱源作用在圓弧界面裂紋附近Fig.1 The point heat source acts near the circular arc interface cracks

設準晶圓形夾雜的中心在復平面z=x1+i x2的坐標原點，則夾雜與準晶基體界面上的點可表示為t=Reiθ。此時，界面上位移和應力的邊界條件可表示為

式中:σr，σrθ為極坐標中準晶夾雜和準晶基體聲子場的應力分量；Hr，Hrθ為極坐標中準晶相位子場的應力分量；u1和u2為直角坐標系下準晶夾雜和準晶基體聲子場的位移分量；w1和w2為直角坐標系下準晶基體與夾雜相位子場的位移分量；最后一個下標1和2分別為區域S+和S-；上標“+”和“-”為當z分別從S+和S-趨向于界面時函數所取的邊界值。

由文獻[18]知，夾雜和基體的聲子場和相位子場可用四個復勢應力函數 Ω（z），Θ（z），Λ（z） 和 Γ（z） 再加兩個溫度復函數g′1（z），g′2（z） 來確定，即

由二維熱傳導理論知，熱流Q，熱流強度q和溫度T可以由單個復溫度函數表示為

式中:κt為熱傳導系數；qx，qy和qρ，qφ分別為熱流強度的直角坐標分量和極坐標方向的分量；Re和Im分別為對復數函數取實部和虛部。

2 溫度場

準晶基體中的復溫度函數可以表示為

令

則成立

由推廣的Schwarz鏡像延拓方法[19]，可得

于是準晶基體S-中的溫度函數F′2（z）經邊界可延拓到S+內，表達式為

考慮式（14） 和式（17），函數F′2（z） 在沿邊界割開的除z0，z*，∞和0點外的全平面全純，則F′2（z）可改寫為

式中:Q0G（z） 為奇性主部；F′20（z） 為全平面內的全純部分。其中

由于S+內無熱載荷作用，則F′1（z）全純，可用級數形式表示為

用上述方法將F′1（z） 延拓到S-內，有

在該問題中，考慮到界面裂紋是非滲透的，則在邊界上熱流強度和溫度連續邊界條件可表示為

式中，qρ為徑向極坐標下的熱流強度。

由式（11）、式（13）、式（21） 和式（22） 可得

即

由推廣的Liouville定理可得

由式（10） 和式（21） 可得

對式（26）兩邊關于φ求導，有

因為在邊界L上有

從而成立

把式（28） 代入式（27），得到

再把式（25）代入式（29）的右邊，得到

其中，

由文獻[20]可知，邊值問題式（30）的解為

其中，

這里X0（z）是沿L割開的平面上的任一單值分支，且有

Pn（z）是與X0（z）在無窮遠處性質有關的任一多項式，其一般形式如下

計算式（31）的積分，得到

式中，G0（z），G∞（z），Gz0（z），Gz*（z） 為被積函數在z=0，∞，z0，z*點處的奇性主部。

對于式 （33），還需要確定n個常數c1，c2，…，cn。為確定這些常數，先把式（33）代入式（25），得到

把式（34）在無窮遠域展開后與式（14）和式（15）比較前的系數，可得到有關方程，進而求得前的系數。

為了確保L上溫度的連續性，還需要補充n個端點溫度相等條件。先假定端點a1處溫度確定，則可得到n-1個方程

由式（25），可得

則式（35）是n-1個方程，可確定n-1個未知數，至此F′1（z） 和F′2（z） 可完全確定，這樣表示整個溫度場也完全確定。

3 聲子場熱應力分析

準晶夾雜和基體中的復勢函數，設為

式中:Aj為實常數；Ωj0（z），Θj0（z） 為對應區域內的全純函數，且在無窮遠鄰域內趨于0。

由聲子場位移單值性可得

把式（36） 和式（37） 代入，由于ln（z-z0） 和互為共軛，模相同而輻角相反，從而得

式中，κt2為準晶基體中的熱傳導系數。

運用推廣的Schwarz鏡像延拓方法，在區域S+內定義延拓函數

這樣，Ω2（z） 可經過圓弧L′解析到S+內，把式（36）、式（37） 代入式（39），得到

對式（40）進行主部分析，得到Ω2（z）在全平面的表達式為

同理，在S-內引入函數

這樣，Ω1（z） 可經過圓弧L′解析到S-內。

考慮邊界條件式（1）、式（2），把式（39） 和式（43）代入，即得

即

由廣義Liouville定理，可得

式中，D0為常數。

由邊界條件式（1）、式（8） 和式（43） 可得

把式（41）和式（46）代入，整理得

式中，g，h，K，W，I（t） 見附錄A中式（A.1）。

這是一個R-H邊值問題，它的解為

其中，

且X1（z）是沿L割開平面上的一單值分支，滿足

P*n（z）為不超過n次冪的多項式

計算式（48）的積分后，再代入式（41）和式（46）后，即可得到 Ω1（z） 和 Ω2（z）。由式（39） 和式（43），可知

這樣，準晶夾雜和準晶基體聲子場的復勢函數形式解已經求出。下面來確定c0，c1，c2，…，cn和D0這n+2個常數。由于無窮遠處應力為0，得Ω2（∞）=0，則由式（41）和式（49）可得c0=0。

由于在無窮遠鄰域內

與式（41）在無窮遠鄰域內的洛朗級數展開式比較可得一個方程。

又考慮到 Ω1（∞）=D0，再代入式（43），即得

為了保證位移連續條件還需補充在n個端點位移相等的條件。考慮相對剛體位移，可假設其中b1重合，則有n-1個獨立條件，由此可得

把式（41）、式（46） 代入整理得

式中，h1，h2，h3見附錄A中式（A.2）。 至此，Ω1（z） 和Ω2（z）求得，聲子場熱應力可完全確定。

4 相位子場熱應力分析

由于十二次二維準晶聲子場和相位子場的不耦合性，相位子場在點熱源q0作用下的熱應力分析需進行計算。

設相位子場的復勢函數為

式中:ξj為實常數；Γj0（z），Λj0（z） 為S-中的全純函數，且在無窮遠鄰域趨于0。

由相位子場位移的單值性可知

把式（54） 和式（55） 代入，即得

運用推廣的Schwarz鏡像延拓方法，在S+內定義Γ2（z） 的延拓函數

這樣，Γ2（z） 可經過圓弧L′解析到S+內。

把式（54） 和式（55） 代入式（56），即得

對式（57）進行主部分析，可得到

同樣在S-內引入一函數

考慮邊界條件式（2），并把式（56）和式（60）代入，在整個圓周L+L′上成立

由廣義Liouville定理可得

式中，D1為常數。

利用邊界條件式（1），由式（58） 和式（62） 可得

式中，g1，h4，W1，K*見附錄A中式（A.3）。

式（63） 的解為

其中，

X2（z）是沿L割開平面上的任一單值分支，滿足

計算式（64） 的積分后，代入式（58） 和式（62），得Γ1（z），Γ2（z）。將 Γj（z） 的表達式代入式（56） 和式（60），即可求得

其中，

進而相位子場復勢函數的表達式已求出。下面仍需確定c0，c1，c2，…，cn和D1，這n+2個常數。由無窮遠處應力為0，得 Γ2（∞） =0，則由式（58） 和式（63） 可得:c0=0。

由于在無窮遠鄰域內

與式（58）在無窮遠鄰域的展開式比較系數，可得一方程，進而求得前的系數。

又考慮到 Γ1（∞）=D0，代入式（60） 得

由位移的連續性條件，考慮相對剛體位移，假設其中b1重合，則有n-1個獨立條件，由此可得

把式（69）和式（73）代入上式，可得到n-1個方程，即

至此，全部常數已確定，從而相位子場的復勢函數已求出。

5 典型問題

5.1 一條裂紋

如圖2所示，考慮在準晶基體內任意一點z0作用強度為q0的點熱源，在圓形夾雜界面上只含有一條裂紋b， 不失一般性，假設圓弧裂紋關于x軸對稱，在圓形界面=R上有端點a=R e-iα，b=R eiα。

圖2 含一條關于x軸對稱的界面裂紋Fig.2 The case of an interface crack with respect to the x-axis symmetry

此時c0=0，n=1，由式（33） 可得

其中，

與式（20）比較系數得c1=0，因此

對式（71） 和式（72） 積分可得F1（z），F2（z），解析表達式見附錄B中式（B.1）。

將上述解答退化到無裂紋圓形夾雜，即α=0，a=b=R，由式（69） 和式（70） 得

本文的結果與Chao等的研究結果一致，驗證了本文結果的有效性。

5.1.2 聲子場熱應力

當n=1，c1=0時，D0=0，c1=A2。由此可得

式中，G′0（z），G′z0（z），G′z*（z），G′∞（z） 分別為被積函數在z=0，z0，z*，∞點處的奇性主部，具體表示見附錄B中式（B.2）。這樣聲子場復勢函數中的待定常數都已求出，聲子場熱應力也可確定。

5.1.3 相位子場熱應力分析

當n=1，c0=0時，D1=0，c1=δ2。此時

5.2 兩條裂紋

如圖3所示，考慮在準晶基體內任意一點z0作用著強度為q0的點熱源，在圓形夾雜界面上含有兩條裂紋不失一般性，假設兩條圓弧裂紋分別關于x軸對稱，在圓形界面=R上有端點a=R e-iα，b=R eiα，a′=R ei（π-α），b′=R ei（π+α）。

圖3 含兩條界面裂紋Fig.3 The case of two interface crack

5.2.1 溫度場

此時c0=0，n=2，由式（33） 得

與式（20）比較系數得c1=0，由式（35）得確定常數c2的方程

由留數定理得c2=N1。

式（75）可改寫為

把式（76） 代入式（34），得

對式（71） 和式（72） 積分可得F1（z），F2（z），解析表達式見附錄C中式（C.1）。

將上述解答退化到無裂紋圓形夾雜，即α=0，a=b=R，按照這個過程，通過比較本文解與文獻[21]解得一致性，驗證了本文結果的有效性。

5.2.2 聲子場熱應力

當n=2，c1=0時，D0=0，考慮式（50），比較Ω2（z） 在無窮遠展開的的系數，即得c1=A2，由式（53）得確定常數c2的方程

式中，G′0（z），G′z0（z），G′z*（z），G′∞（z） 分別為被積函數在z=0，z0，z*，∞點處的奇性主部，具體表示見附錄C中式（C.2）。

5.2.3 相位子場熱應力分析

當n=2，c0=0時，D1=0，此時

至此，相位子場的復勢函數已確定。

5.3 裂紋尖端熱應力強度因子

由于對稱性，我們只考慮一條裂紋中一個裂紋尖端的熱應力強度因子。為了計算圓弧裂紋端b點的熱應力強度因子，首先做如下坐標變化

這樣在Z平面X軸與裂紋相切與端點 （Z平面），且

在b1點領域的奇性主項可寫為

從式（85）和式（86）中可以看出，裂紋尖端的聲子場和相位子場熱應力強度因子與夾雜的半徑以及熱源的強度有關。

6 數值結果

本文利用復變函數方法研究了十二次二維準晶圓形弧段界面多裂紋的熱應力問題，分別給出了熱應力和裂紋尖端應力強度因子的解析解。利用此結果，求得一條裂紋，兩條裂紋時熱應力和裂尖應力強度因子的解析解。通過與現有結果的比對，可以驗證本文所得結論的正確性，同時也可以說明本文所研究的問題具有的普遍性。

取準晶夾雜、基體的材料參數如表1所示。

表1 十二次二維準晶材料參數Tab.1 Material parameter of dedecagonal two-dimensional quasicrystals

對應力和應力強度因子進行無量綱處理

圖4和圖5給出了含一條裂紋時，不同強度點熱源作用下，無量綱場熱應力隨極坐標轉換角度θ的變化關系。結果表明，隨著熱源強度的增大，熱應力增大，并且在θ=45°和θ=315°附近熱應力集中。圖6和圖7給出了含兩條裂紋時，不同強度點熱源作用下，無量綱場熱應力隨極坐標轉換角度θ的變化關系。結果表明，隨著熱源強度的增大，熱應力增大，兩者呈線性關系。并且在θ=30°，θ=150°，θ=210°和θ=330°附近熱應力集中。

圖4 不同q0時邊界上的徑向應力σr0，α=45°Fig.4 The nondimensional radial stressσr0 for different q0，α=45°

圖5 不同q0時邊界上的切向應力 σrθ0，α=45°Fig.5 The nondimensional shear stressσrθ0 for different q0，α=45°

圖6 不同q0時邊界上的徑向應力σr0，α=30°Fig.6 The nondimensional radial stressσr0 for different q0，α=30°

圖7 不同q0時邊界上的切向應力 σrθ0，α=30°Fig.7 The nondimensional shear stressσrθ0 for different q0，α=30°

根據式（82）的定義，引入應力強度因子來分析裂紋尖端熱應力的變化。圖8和圖9顯示了不同夾雜半徑下，無量綱熱應力強度因子K10及K20隨裂紋角度α的變化關系。從圖8可以看出，無量綱熱應力強度因子K10隨著裂紋角度α的增大而變大，從圖9可以看出，無量綱熱應力強度因子K20隨著裂紋角度α的增大先減小，在α=45°附近達到最小值，然后隨之增大。因此在實際工程中可以適當調整夾雜半徑來降低裂紋尖端的集中。

圖8 不同R時K10隨裂紋角度α的變化Fig.8 Change of the nondimensional K10 with crack angle for different R

圖9 不同R時K20隨裂紋角度α的變化Fig.9 Change of the nondimensional K20 with crack angle for different R

圖10和圖11顯示了點熱源強度不同時，無量綱熱應力強度因子K10及K20隨裂紋角度α的變化關系。可以觀察到熱源強度不會影響熱應力強度因子的變化趨勢，但會影響到熱應力強度的大小，并且熱源強度越大熱應力強度因子越大。從圖10可以看出，無量綱熱應力強度因子K10隨著裂紋角度α的增大而變大，從圖11可以看出，無量綱熱應力強度因子K20隨著裂紋角度α的增大先減小，在α=40°附近達到最小值，然后隨之增大。

圖10 不同q0時K10隨裂紋角度α的變化Fig.10 Change of the nondimensional K10 with crack angle for different q0

圖11 不同q0時K20隨裂紋角度α的變化Fig.11 Change of the nondimensional K20 with crack angle for different q0

7 結 論

利用Muskhelishvilv復變函數方法，通過復應力函數奇性主部分析和Riemann-Schwarz解析延拓原理法，獲得了在集中熱源作用下，不同材料界面裂紋熱彈性問題的溫度場和彈性場的一般解答，分別求出了含一條和兩條界面裂紋時熱應力的解析表達式，并以圖表的形式討論了不同準晶復合材料隨裂紋幾何條件變化對裂紋尖端熱應力強度因子的影響規律。結果顯示在點熱源作用下含界面裂紋圓形夾雜的裂紋尖端具有應力振蕩奇異性。本文的結果可作為若干實際問題的力學模型，為準晶材料的細觀結構設計以及界面破壞機理提供了科學依據。

附錄A

附錄B

附錄C