三維離散支承浮置板軌道動力響應頻域模型研究

譚新宇，劉衛豐

（北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044）

近年來，城市軌道交通高速發展，與此同時，列車運行引發的環境振動問題愈發凸顯[1]。為緩解軌道交通環境振動對正常生產生活的不利影響，多種形式的減振軌道被應用到軌道交通線路之中。其中，鋼彈簧浮置板軌道由于其良好的減振性能被廣泛應用于對振動較為敏感的區域，如古建筑群、放置精密儀器的科研機構等區域[2]。由于應用浮置板軌道的區段通常對時域和頻域內的振動控制均有較高要求，故如何更加合理地模擬浮置板軌道，并精確計算其動力響應成為國內外專家學者關注的重點。

翟婉明等[3]將鋼軌和浮置板分別模擬為離散點支承的無限長歐拉梁和均布支承的有限長歐拉梁，建立了雙梁時域模型，對車輛運行下浮置板軌道的振動響應進行了分析。李增光等[4]在時域內建立了離散支承的雙梁模型，得到了定點諧振荷載激振下浮置板軌道的振動響應。黃強等[5]通過建立時域雙梁模型，計算了不同長度浮置板對軌道減振效果的影響。在頻域內，Hussein等[6-7]基于周期性原理，分別用有限長梁和無限長梁模擬浮置板，研究了移動諧振荷載作用下連續支承浮置板軌道的隔振性能。馬龍祥[8]建立了二維離散支承浮置板軌道頻域解析模型，分別計算了固定荷載和移動荷載作用下浮置板軌道的振動響應，并對其動力特性進行了較為細致的分析。

隨著對浮置板軌道振動響應計算精度要求的提高，部分學者開始用更加符合實際情況的板模型對浮置板進行模擬。Zhai等[9]基于薄板理論，在時域內建立了三維車輛-浮置板軌道耦合模型，并提出了浮置板軌道振動響應的求解思路。隨后，Yang等[10]基于此模型計算了強化浮置板板端支承剛度后系統的振動響應。Sheng等[11]基于周期性原理，在頻域內建立了三維半浮置板軌道模型，假設軌下支承力和板下支承力相同，計算了移動荷載作用下軌道的振動響應。

由上述文獻可知，相較于二維模型和時域模型，對浮置板軌道三維模型和頻域模型的研究尚少，且研究表明，實際情況中存在軌道左右軌上荷載幅值、激振頻率不同的現象[12]，這是無法通過二維模型進行計算的。而現有的三維模型中，時域模型的計算時間較長，且只能計算有限長度；頻域模型由于僅考慮實際軌道的一半，無法考慮左右側鋼軌之間的相互耦合，與實際情況間存有偏差。故需要對更加符合實際情況的、計算高效的三維頻域浮置板模型進行研究。本文基于無限周期結構理論，建立了離散支承的三維浮置板軌道頻域模型。通過計算一個板長范圍內軌道的動力響應，可得到無限長軌道上任一點的動力響應，大大提高計算效率。此外，當左右軌作用不同幅值和頻率的移動諧振荷載時，軌道振動響應也可通過此模型進行求解。

1 模型建立

1.1 浮置板軌道力學模型

本研究基于歐拉梁理論及Kirchhoff薄板理論，建立移動諧振荷載作用下無限長周期性三維浮置板軌道模型，如圖1所示。每塊浮置板連同其上鋼軌可視為一個周期，本文稱之為“基本元”。本模型中，鋼軌被模擬為離散支承在浮置板上的無限長歐拉梁，浮置板被模擬為離散支承在剛性基底上的有限長四邊自由薄板，并忽略相鄰板間間隙。軌下扣件和板下鋼彈簧均采用彈簧阻尼單元進行模擬。坐標系的正方向由右手螺旋法則確定。圖1中:Ls，Ws和hs分別為單塊浮置板的長、寬、高；kr和cr分別為扣件的支承剛度和阻尼；dr為間距；ks和cs分別為鋼彈簧的支承剛度和阻尼；ds為間距；FL和FR分別為作用于左右鋼軌上的諧振荷載；AL和AR分別為左右軌上荷載幅值；ωL和ωR為左右軌上荷載激振頻率；v為荷載移動速度。

圖1 移動諧振荷載作用下的周期性無限長浮置板軌道和軌道基本元Fig.1 Periodic-infinite floating slab track and a track basic cell subjected to the moving harmonic loads

1.2 浮置板軌道控制方程

本文針對三維浮置板軌道的豎向動力響應進行研究。當激振頻率為ωF的單位移動諧振荷載作用于鋼軌上時，基本元內左側、右側鋼軌及浮置板的頻域運動方程見式（1） ～式（3）。

2 浮置板軌道動力響應求解

2.1 無限周期結構理論

本文將無限周期結構理論與模態疊加法應用到三維浮置板軌道振動響應的求解中。Belotserkovskiy[13]提出，移動諧振荷載作用在無限周期結構中時，結構上相隔一定周期的兩點的振動響應僅存在相位差異。馬龍祥等基于此理論建立了二維浮置板模型，通過求解結構任一基本元內的振動響應進而得到軌道內任一點的動力響應。當三維浮置板軌道僅在y向具有周期性時，無限周期結構理論仍然滿足，結構任一點的位移響應在時域滿足

由此可知，移動諧振荷載作用下，三維無限長浮置板結構中，相隔任意周期的兩點的振動響應僅在相位上存在差異。由此可實現通過計算某一基本元內的動力響應得到結構上任意位置處的響應。

進一步，通過傅里葉變換可得上述關系的頻域表達

由此可得，在激振頻率為ωF的移動諧振荷載作用下，三維浮置板軌道左軌、右軌和浮置板振動響應周期性關系的頻域表達為

2.2 振動響應求解的模態疊加法

通過上節給出的周期性關系，對軌道任一點振動響應的求解可通過求解該點在基本元內相應映射點的振動響應得到，本文選取y=0～Ls的浮置板軌道為基本元，求解其振動響應。

文獻[14]給出了移動諧振荷載作用下，無限周期軌道結構的頻域內響應的級數表達形式。以此為基礎，結合式（6）和式（7），可將三維浮置板軌道中鋼軌位移的形式寫為

式中:p為納入考慮的鋼軌模態數量，實際計算中取NMR=2N+1的有限項；ξp=2πp/Ls；Cp（ω，ωF）為鋼軌模態系數。 下文中，ej（ξp+ωF/v-ω/v）y將用表示Vp（xr，y，ω，ωF），稱之為鋼軌模態。

根據文獻[15]，對于四邊自由的矩形薄板，可采用雙向梁函數組合級數逼近的方法求解其振動響應，即薄板位移可表示為

式中:Xm（x）和Yn（y）分別為薄板x向和y向的自由梁第m階、第n階的模態振型；Nx，Ny分別為相應方向納入考慮的模態數量；Tmn（ω，ωF）為薄板模態系數。Xm（x）和Yn（y）的表達式為

式中，αm，βn，Am和Bn均為已知系數，具體取值見曹志遠的研究。

至此，可獲得方程數量為（NMR+NMR+Nx×Ny）的方程組，經整理，可得其的矩陣形式

式中:S為得到的NMR+NMR+Nx×Ny階已知方陣；T12（ω，ωF），…，T1Ny（ω，ωF），T21（ω，ωF），…，T2Ny（ω，ωF），…，TNx1（ω，ωF），…，TNxNy（ω，ωF）]T為待求模態系數列向量；F為（NMR+NMR+Nx×Ny）×1階已知的外荷載列向量，其取值為

對式（15）進行求解，可得到激振頻率為ωF的單位諧振荷載作用下任一角頻率ω所對應的鋼軌和浮置板模態系數。將相應的結果代入式（9）～式（11），可求得基本元內左軌、右軌和浮置板對應頻率為ω的位移響應，進而無限長浮置板軌道內拾振點的響應即可由式（6） ～式（8）得到。

由于軌道系統是線性的，當左右軌上諧振荷載的幅值或激振頻率不同時，可分別計算移動荷載分別作用在左側鋼軌或右側鋼軌兩種情況下的軌道響應，然后對兩者進行疊加，即可得到軌道最終的振動響應。隨后，基于理論推導結果，通過MATLAB進行編程，對多種荷載組合情況下的軌道動力響應進行計算分析。

3 模型驗證

馬龍祥在頻域內建立了二維浮置板軌道模型，計算了移動諧振荷載作用下軌道結構的動力響應。本文將以此為對照，對模型的準確性進行驗證。

令式（11）中Nx=1（僅考慮一階橫向梁模態），則X（x）≡1，即板同一橫截面上各點的垂向位移一致，此時模型退化為二維浮置板軌道模型。取浮置板軌道各部分的參數與馬龍祥研究中的參數一致。當激振頻率為50 Hz的單位移動諧振荷載以60 km/h的速度從坐標原點沿y正向移動時，位于浮置板軌道75 m處的拾振點位移振動響應見圖2。

圖2 兩種模型計算結果對比圖Fig.2 The results calculated by two models

可以看到，兩模型計算結果吻合良好，本文理論推導和程序編制的正確性得以證明。此外，從圖2（a）、圖2（b）中可以看出，當荷載尚未移動到拾振點所在板時，拾振點的振動響應較小，當荷載進入拾振點所在板時，拾振點的振動響應顯著提升。由圖2（c）、圖2（d）可知，荷載激振頻率附近的頻段內的軌道動力響應較大，且出現較為明顯的多普勒效應；由于不連續板的周期排列及扣件的離散支撐，出現了較為明顯的參數激勵。

4 移動諧振荷載作用下軌道動力響應

列車實際運行情況下，輪軌作用力可以表示成一系列簡諧荷載的疊加[16]。由于列車左右側車輪不圓順和左右側鋼軌不平順并非完全一致，導致作用在浮置板軌道左右兩鋼軌上簡諧荷載的幅值、相位存在差異，此時軌道的振動響應需要通過三維模型進行研究。本文針對這一問題進行基礎性研究，僅考慮單位移動簡諧荷載作用，求解軌道的振動響應，為后續列車-浮置板軌道耦合模型的研究做準備。

本節將首先計算單側鋼軌作用荷載時的軌道振動響應，與二維模型計算結果進行對比，分析兩種模型的計算差異；隨后計算左右側鋼軌作用不同激振頻率單位移動諧振荷載時的軌道振動響應。浮置板軌道模型的計算參數見表1[17-18]。拾振點位于y=135 m處（板中）。荷載在t=0時從鋼軌y=0處以60 km/h的速度沿y正向移動，計算的分析頻率為0～100 Hz，此時取NMR=61，Nx=Ny=20時可保證計算結果的準確性。

表1 浮置板軌道參數表Tab.1 Parameters of the floating slab track

4.1 移動諧振荷載作用于單側鋼軌

由于二維模型無法考慮左右軌之間的耦合振動，故此節將首先計算荷載作用于單軌時軌道的振動響應，與二維模型的計算結果進行對比，定量分析三維模型中左右軌之間的相互影響。

圖3給出了激振頻率為50 Hz的單位移動諧振荷載作用于左側鋼軌時，左右鋼軌及左右鋼彈簧位置處浮置板（后文稱為浮置板左、右側）在y=135 m（板中位置）處的位移響應。

從圖3（a）、圖3（b）兩時程圖中可以看出，在t=7.2～9.0 s時，軌道系統的振動響應顯著，此時荷載恰好在拾振點所屬浮置板范圍內移動，且當荷載移動到拾振點位置時（t=8.1 s），軌道振動響應達到峰值；而當荷載位于拾振點所在板之外的位置時，拾振點處的振動響應相對較小。此外，荷載在左軌移動時，同時會引起右軌和浮置板右側較為明顯的振動。由圖3（c）、圖3（d）兩頻譜圖可知，由于右軌的振動是由左軌振動經過浮置板傳遞所致，故其在頻域內的振動表現與浮置板較為相似，與左軌的頻域振動特征相差較大。

圖3 移動單位諧振荷載作用于左軌時的軌道振動響應圖Fig.3 The displacement response of the track when a unit harmonic load moves on the left rail

為進一步分析左右鋼軌間的耦合振動，本節同時應用二維模型計算了相同荷載作用下鋼軌的振動響應，與上述工況三維模型計算結果進行對比分析。圖4（a）給出了三維模型左側鋼軌作用激振頻率為50 Hz的單位移動諧振荷載時該軌的位移響應，以及相同荷載作用下二維模型的鋼軌位移響應。隨后，計算兩者間的位移差值，與該工況下三維模型右側鋼軌的位移響應進行比較，見圖4（b）。

圖4 移動單位諧振荷載作用下二、三維模型鋼軌位移對比圖Fig.4 Comparison between the rail displacement calculated by the 2D and the 3D model under a moving harmonic load

由圖4（a）可以看出，單位移動諧振荷載作用下，二維模型計算得到的鋼軌位移響應比三維模型計算得到的左側（荷載作用側）鋼軌位移響應稍大；圖4（b）顯示，二維模型鋼軌位移與三維模型左軌位移的差值同三維模型右軌位移值基本相等。結合兩圖可知，使用三維模型計算時，由于左右軌間相互耦合，故作用于左側鋼軌的荷載同時會引起右側鋼軌的振動，導致左軌位移響應的計算結果略小于二維模型鋼軌位移的計算結果，兩者的位移差基本等于該工況下三維模型右側鋼軌的位移。

4.2 荷載激振頻率不同

在列車輪對不圓順和軌道不平順的影響下，作用于軌道兩鋼軌的荷載激振頻率成分存在差異，當兩側鋼軌作用不同激振頻率的移動荷載時，軌道的振動響應會相應發生變化，而目前對此研究較少。本節將設置不同的荷載激振頻率，利用本文三維模型，對浮置板軌道兩側鋼軌作用不同激振頻率單位移動諧振荷載時的軌道振動響應進行初步研究。

圖5給出了左、右鋼軌分別作用激振頻率為30 Hz，50 Hz的單位移動諧振荷載時，鋼軌和浮置板的位移響應，拾振點位置與上節相同。

圖5 左軌、右軌分別作用激振頻率為30 Hz，50 Hz移動單位諧振荷載時的軌道振動響應圖Fig.5 The track displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 30 Hz and 50 Hz

由圖5可知，相較于單一頻率荷載作用，左右軌作用不同頻率的單位移動諧振荷載時軌道的振動響應更為復雜，同時能夠更明顯地看出荷載從遠離拾振點的浮置板向拾振點所在浮置板移動的過程，每通過一塊浮置板的時間為1.8 s。 由圖5（a）、圖5（b）兩時程圖可知，左側鋼軌的振動響應明顯大于右側鋼軌。從圖5（c）、圖5（d）兩頻譜圖看出，左側鋼軌的振動響應峰值在本側荷載激振頻率f=30 Hz附近，而在右側荷載激振頻率f=50 Hz附近，雖也出現較大的振動響應，但相比峰值響應要小兩個數量級。右側鋼軌的振動響應則出現兩個大小相近的峰值，峰值頻率分別對應左、右軌上荷載的激振頻率，浮置板也具有相同的振動特征。

為進一步探究兩側鋼軌作用不同激振頻率的移動荷載時，軌道振動響應的特征及規律，本節計算了激振頻率分別為50 Hz，70 Hz以及70 Hz，100 Hz兩組單位移動諧振荷載分別作用于左、右側鋼軌時，鋼軌的振動響應，見圖6及圖7。

圖6 左軌、右軌分別作用激振頻率為50 Hz，70 Hz單位諧振荷載時的鋼軌振動響應圖Fig.6 The rail displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 50 Hz and 70 Hz

圖7 左軌、右軌分別作用激振頻率為70 Hz，100 Hz單位諧振荷載時的鋼軌振動響應圖Fig.7 The rail displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 70 Hz and 100 Hz

綜合圖5（a）、圖6（a）和圖7（a）可知，時域內，激振頻率不同的單位移動諧振荷載作用于兩側鋼軌時，較低激振頻率荷載作用側的鋼軌振動較另一側更大。由圖5（b）、圖6（b）和圖7（b）三頻譜圖可知，每種工況下，左右側鋼軌均在兩荷載激振頻率處出現峰值，但左右側鋼軌在低頻荷載激振頻率處的位移差明顯小于在高頻荷載激振頻率處的位移差。以圖7（b）為例，100 Hz處右側鋼軌與左側鋼軌間的位移差約為70 Hz處左側鋼軌與右側鋼軌間位移差的1.5倍。由此可知，在左右鋼軌耦合振動的情況下，低頻荷載對高頻荷載作用側軌道振動響應的影響比高頻荷載對低頻荷載作用側軌道振動響應的影響大。

5 結 論

本文基于歐拉梁理論和Kirchhoff薄板理論建立了無限長三維浮置板軌道模型，并利用周期無限結構的性質，通過計算軌道任一點在基本元內對應位置處的響應來最終獲得該點動力響應，大大提高計算效率。在對程序的正確性進行驗證之后，本文計算了多種單位移動諧振荷載作用于浮置板軌道兩鋼軌時的軌道動力響應，得到如下結論:

（1）當移動荷載移動到拾振點所屬浮置板范圍內時，拾振點的振動響應較為顯著，且軌道振動響應的顯著頻段集中在移動諧振荷載激振頻率兩側。

（2）由于浮置板的存在，左右側鋼軌間存在耦合振動，當移動荷載作用于左側鋼軌時，右側的鋼軌相應發生振動，其位移響應在數值上同二維模型鋼軌與三維模型左側鋼軌的位移差基本一致，且右軌的頻域振動響應特征與浮置板振動響應特征相近。

（3）當雙軌作用激振頻率不同的移動單位諧振荷載時，作用激振頻率較低的荷載側的軌道振動響應更大；在頻域內，軌道的振動響應在兩荷載激振頻率附近出現峰值，且低頻荷載對高頻荷載作用側的軌道振動響應影響比高頻荷載對低頻荷載作用側的軌道振動響應的影響大。