基于履帶環影響和功率譜方法的履帶車輛振動響應分析

喬新勇，靳 瑩，段 譽

（陸軍裝甲兵學院 車輛工程系，北京 100072）

由于履帶對車輛振動的影響，使履帶車輛在越野路面上行駛時的振動響應與輪式車輛有很大的區別。建立準確的履帶車輛動力學模型以及振動響應分析方法是研究車輛振動響應的重要技術手段[1-4]。考慮到履帶對車輛振動特性影響的復雜性，如何在履帶車輛動力學模型中準確的描述履帶的振動特性是確保模型精度的關鍵。丁法乾[5]從理論上定性描述了履帶對車輛振動的影響，但在后續建模中仍忽略了履帶作用。Campanelli[6]采用坐標簡化法將履帶環劃分為不同區間建立履帶的運動學方程，分析了履帶車輛的振動特性，但未對履帶環的影響進行分析。史力晨等[7]在建立履帶車輛數學模型時，將履帶對負重輪的約束力添加到負重輪的集中質量上，但未考慮履帶環的幾何約束。Scholar等[8]提出基于連續彈性體履帶的履帶車輛系統模型，為分析履帶的振動提供了參考。Han等[9]基于DADS軟件分別建立了采用剛性履帶和柔性履帶的履帶車輛模型，并開展了車輛行駛平順性的對比研究。孟磊等[10]采用LMS軟件建立了考慮剛性履帶的底盤系統模型和未考慮履帶的履帶車輛臺架試驗模型，并基于兩種模型計算了履帶車輛振動響應的差異。黃晉英等[11]建立了車輛運動過程動力學模型，分析了車速、路面激勵與車輛振動譜三者之間的關系。

以上研究中，研究人員建立了考慮履帶影響的履帶車輛振動模型，提高模型的計算精度，但并未對履帶自身的振動特性、履帶與車輛之間的相互作用關系以及履帶如何影響履帶車輛的振動進行深入的研究。

為了研究履帶對車輛振動特性的影響，基于多體動力學原理建立了簡化履帶的柔性履帶模型和復雜多剛體模型，采用特征值分析和功率譜分析等方法分析履帶環的固有振動特性、履帶與主動輪嚙合過程中的多邊形效應對車輛振動特性的影響。研究結果對定量分析履帶車輛振動特性，進而改善履帶車輛振動特性具有重要的意義。

1 履帶車輛行駛系統動力學

為了開展履帶對車輛振動響應特性的對比研究，分別建立了柔性履帶簡化模型和剛性履帶約束模型，進而建立履帶車輛行駛系統整車模型。

1.1 履帶約束方程

為了簡化履帶柔性部分的建模，假設柔性履帶是由不可伸長的帶子環繞各輪而成，與各個車輪間為軸平行約束，與硬路面通過接觸力約束。即柔性履帶模型忽略履帶板之間的相互作用，各車輪之間只有運動學約束關系，因而柔性履帶模型無法反映履帶的復雜振動特性。

根據履帶板的幾何尺寸構建單塊履帶板的幾何實體模型，履帶板間通過軸套約束，履帶板與主動輪、負重輪、誘導輪及托帶輪之間的相互作用按照接觸力處理[12-13]。履帶板由被橡膠軸套包裹的履帶銷依次連接。相鄰履帶板與連接銷的作用力簡化為履帶銷的軸套力和摩擦力矩，如圖1所示。在忽略摩擦力矩的情況下，履帶板間的接觸力包括產生平動和轉動效應的力和力矩，即

圖1 履帶板模型Fig.1 Track plate model

式中:KF和CF分別為履帶連接銷的平移剛度矩陣和阻尼矩陣；F0為預載荷；q和q·分別為作用點的位置和速度向量；KT和CT分別為履帶銷的扭轉剛度矩陣和阻尼矩陣；θ和θ·分別為履帶板間轉動的角位移向量和角速度向量。

履帶板與負重輪等各輪之間的相互作用力按接觸力處理，各輪與履帶板接觸面的變形量為σi，接觸力作用于接觸面的法向，即

式中:k為剛度系數；c為阻尼系數。

履帶板與地面之間的約束關系模型，當按硬路面處理時，假設履帶板與路面接觸點履帶對地面的透穿深度為σz，則履帶與地面間的接觸力為

接觸面上存在相對滑動的切向摩擦力。該摩擦力即為確保車輛能夠提供可靠牽引力的地面附著力

式中:kr，cr為履帶板與路面之間的剛度系數和阻尼系數；μ為摩擦因數。

各部件間的運動學約束以旋轉副為主，對于剛體i和剛體j，旋轉副約束方程為

1.2 履帶車輛模型拓撲結構

以某型號高速履帶車輛為例，在建立車輛多體系統動力學模型時[14]，為了方便計算，作出如下簡化:①所有部件均假設為剛體，其中，上裝、動力傳動系統與車身合并為單個質量塊；②懸掛系統由平衡肘與車身間的彈簧阻尼力矩代替；③張緊機構中曲臂通過轉動副連接誘導輪和車身，其傳動裝置簡化為通過平動副和彈簧阻尼力約束的滑柱和套筒，二者通過轉動副分別與車身、曲臂相約束。根據上述簡化，結合履帶車輛各部件間的連接關系，分別得到柔性履帶和剛性履帶車輛行駛系統拓撲結構圖，如圖2和圖3所示。

圖2 柔性履帶行駛系統拓撲結構圖Fig.2 Topological structure of drive system with flexible track

圖3 剛性履帶行駛系統拓撲結構圖Fig.3 Topological structure of drive system with rigid track

系統拓撲結構圖中的部件和約束詳情見表1、表2。其中柔性履帶車輛行駛系統模型由41個剛體和22個柔性履帶組成，共有122個自由度。剛性履帶車輛行駛系統模型由231個剛體組成，共有1 182個自由度。

表1 履帶車輛行駛系統模型部件表Tab.1 Parts of drive system model

表2 履帶車輛行駛系統模型約束表Tab.2 Constraints of drive system model

1.3 車輛行駛系統動力學方程

采用笛卡兒坐標系下的第一類拉格朗日方程建立高速履帶車輛行駛系統動力學方程。剛體質心的笛卡爾坐標和反映剛體方位的歐拉角組成其廣義坐標，即q=[x，y，z，ψ，θ，φ]T。 模型廣義坐標矩陣為

履帶車輛模型中剛體的約束方程為

式（8）對時間求導得到速度約束方程為

式中:Φq為約束方程的雅可比矩陣；q·為廣義速度矩陣。

式（9）對時間求導得到加速度約束方程為

履帶車輛模型中剛體的動力學方程為

式中:M為模型的廣義質量矩陣；λ為拉格朗日乘子；Fe為廣義外力矩陣；Fv為慣性力矩陣。

聯立式（10）和式（11）得到的歐拉-拉格朗日方程組為

根據上述理論分析和車輛參數，構建履帶車輛動力學模型并進行求解。

1.4 隨機路面模型

車輛平順性仿真需要構建多種路面。按照國際標準ISO2631，根據各種典型路面的實測功率譜密度，可將路面不平度等級分為A級～H級，路面行駛條件從A級～H級越來越惡劣，其中裝甲車輛行駛路面一般為D級、E級和F級路面，例如搓板路、砂石路、起伏土路等。根據要生成的路面等級選取標準中相應的路面不平度系數Gq（n0），選用諧波疊加法計算得到路面不平度隨機過程q（x）為

式中:x為路面縱向距離；φi為相角，為[0，2π]區間均勻分布的隨機數；N為參考空間中心頻率數；ni為在[nl，nu]區間內第i各參考空間的中心頻率，每個區間長度為Δn；A為對應離散空間不平度幅值，即

以E級路面為例，對各種典型隨機路面環境進行模擬，E級路面和功率譜的仿真結果如圖4和圖5所示。

圖4 E級路面模型Fig.4 Class E road model

2 履帶振動特性分析

2.1 車輛振動響應

車輛行駛過程中，履帶對車輛振動的影響主要體現在以下幾個方面:

（1）路面激勵通過履帶傳遞時，由于履帶板與地面近似為部分點接觸，一方面相當于將路面離散成以履帶板節距為間隔的路面，濾掉了路面激勵中波長大于履帶板節距的成分，使履帶板的空間頻率成為路面激勵的空間頻率上限；另一方面兩塊履帶板間的連接處的振動又為路面不平度增添了周期性激勵，其頻率與履帶板節距以及車速相關。

（2）履帶與主動輪嚙合過程中由于每塊履帶板有節距，造成了履帶板與主動輪嚙合形成的多邊形效應。多邊形效應的存在使嚙合的履帶板與主動輪之間產生較大的沖擊振動，沖擊振動的激振頻率與履帶板的節距以及車輛的行駛速度相關。

（3）一定數量的履帶板環繞主動輪、負重輪、誘導輪、托帶輪組成封閉鏈環。在車輛行駛過程中，履帶環對行駛部分有幾何約束和力學約束作用[15]。前者反映在履帶環周長固定，后者體現為履帶的張緊力。車輛通過不平路面時，車輛的俯仰角振動造成非驅動段履帶長度和起履帶牽引力的變化，迫使車輛產生“牽連”的縱向運動，有助于車身振動的減振。履帶預張緊力會降低懸掛彈性元件對后續障礙物的緩沖作用，使車身的俯仰振動加劇。

由以上分析可知，履帶板與地面之間的相互作用以及履帶與主動輪嚙合過程中產生的多邊形效應主要影響車身高頻部分的振動，而履帶環的幾何及力學約束主要影響車身低頻部分的振動。

2.2 履帶環振動固有特性分析

為了研究履帶環的固有振動特性，將履帶車輛多剛體模型中的履帶環作為連續彈性體進行分析，非接地段履帶環模型由第一負重輪、第六負重輪、誘導輪、主動輪和托帶輪之間的六段履帶組成，如圖6所示。

圖6 履帶環模型Fig.6 Track circuit model

2.2.1 連續彈性體履帶的振動分析

用連續彈性體模型來描述第段履帶在平面內的運動，i=1，2，3，4，5，6。 圖7表示第i段履帶在自身重力作用下產生下垂，達到靜平衡位置時近似為拋物線，其曲率為Ki，此時履帶滿足條件ki=KiLi＜1。令函數Vi（x，t），Ui（x，t）分別為履帶縱向振動位移和橫向振動位移。 其中:x為履帶微元的位置坐標，x∈（0，Li）；t為時間變量。

圖7 第i段履帶振動狀態Fig.7 Vibration status of the i th track depart

由牛頓定律得到履帶模型自由振動的運動微分方程為

其中，

式中:vl，vt分別為縱向波和橫向波的傳播速度；ρg為履帶段的線密度；EA為履帶段的軸向剛度；P0為履帶段的預緊張力。

一般的履帶模型中，通常將振動波傳播的速度離散為橫向和縱向速度，縱向傳播速度遠大于橫向傳播速度。基于這種情況，可認為履帶的拉伸是準靜態的，因此式（15）描述履帶的縱向運動可近似為靜態的，即

將式（18）進行兩次積分，代入式（16）得

采用分離變量法，設各函數的解依次為

式中，ω為固有頻率。將式（20）代入式（16）和式（19）得

其中，

將式（21）代入式（20）中得到第i段的縱向振動位移Vi（x，t）和橫向振動位移Ui（x，t），通過履帶自由振動振動的邊界條件即可求解其各階固有頻率和模態振型。

2.2.2 履帶環模型特征值計算

用于求解履帶自由振動的邊界條件如下。首先在主動輪、托帶輪、誘導輪處，由履帶位移的連續性可得前后兩段履帶的縱向位移相同，即

由力矩平衡方程得

其中，

式中，εi為第i段履帶環的動應變。按照之前所作的假設，各段履帶環上發生的動應變完全一致，相鄰履帶環的動應變差值導致了其附著的各輪的轉動。其轉動角度與履帶振動的縱向位移相關，即

不考慮負重輪的位移和主動輪與履帶板嚙合的多邊形效應，則第一、第六負重輪處縱向位移和橫向位移為0，主動輪、誘導輪、托帶輪處橫向位移為0，即

用已推導出的縱向振動位移和橫向振動位移通解式（20）代入邊界條件方程式（23）～式（28）中進行求解，得到的特征值方程為

式中:R（ω）為一個關于特征值的函數的矩陣；H為包含等常數項的特征矢量，即

采用特征值計算的方法求解履帶環的振動固有頻率，其中前5階固有頻率及其振型如圖8所示。

圖8 履帶環前5階模態振型Fig.8 The first 5 orders vibration model of rack circuit

由履帶環固有特性的分析計算結果可以看出，履帶環的振動固有頻率主要在3～10 Hz的頻帶范圍內，跟履帶板與地面之間以及履帶板與主動輪之間嚙合產生的多邊形效應的激振頻率相比，屬于低頻振動。當車輛在典型起伏路面行駛時，地面的起伏波動很容易引起履帶環的低頻橫向振動，造成上支履帶環的上下波動，嚴重時上支履帶板可能會撞擊車身兩側的翼子板，對車輛造成一定的損傷。

3 履帶車輛系統振動響應分析

為了研究履帶對車輛整體振動響應的影響，分別對建立的柔性履帶和剛性履帶的車輛系統模型進行仿真分析，并對計算結果進行對比研究。

3.1 仿真工況

為研究履帶對車輛振動的作用規律，進行上述兩種模型在多種典型工況下的動力學仿真，輸出給定激勵下駕駛員座椅處的垂向振動響應信號。考慮不同路面等級和車速的影響，分別進行以20 km/h和30 km/h速度在D級、E級和F級隨機路面下行駛工況的仿真計算。仿真過程的采樣頻率為200 Hz，采樣時間為10 s（不包括落車以及車身恢復平穩時間）。

3.2 仿真結果分析

圖9為仿真模型在F級路面30 km/h行駛工況下駕駛員座椅處的垂向加速度響應曲線的對比，從時域曲線可以看出，剛性履帶模型中由于考慮了履帶振動的影響，使時域曲線中剛性模型的峰值振動加速度要大于柔性履帶模型。

圖9 F級路面30 km/h垂向加速度曲線對比Fig.9 The vertical vibration acceleration signals at 30 km/h on class F road

采用Welch算法計算得到的各個工況下功率譜密度曲線對比，如圖10所示。從中可以看出加速度信號的頻率成分主要區分為低頻段和高頻段，其中低頻成分的頻率范圍在15 Hz以內，高頻成分的頻率范圍在30 Hz以上，只有剛性履帶會激發高頻成分。

圖10 各工況加速度功率譜密度曲線對比Fig.10 PSD of vibration acceleration signals in deferent conditions

功率譜密度曲線中，低頻帶1～2 Hz內主要反映的是車身的俯仰振動和垂直振動固有頻率。在不同行駛工況下，俯仰振動的固有頻率在0.8～1.0 Hz頻率范圍內變化，垂直振動的固有頻率在1.3～2.0 Hz頻率范圍內變化。柔性履帶模型和剛性履帶模型計算得到的俯仰振動和垂直振動固有頻率會有一定的差異，這主要是由于模型簡化過程中，兩種模型的整體質量、剛度等屬性之間有一定差異造成的，同時剛性履帶模型中，履帶環的存在也會對車身俯仰和垂直振動產生一定影響。其中，圖10（a）中由于車速較低、路面狀況較好，俯仰振動頻率不明顯，柔性履帶模型和剛性履帶模型的垂直振動頻率分別為1.36 Hz，1.37 Hz；圖10（b）中兩種模型的俯仰振動頻率分別為0.78 Hz，0.97 Hz，垂直振動頻率均為1.76 Hz；圖10（c）、圖10（d）、圖10（e）中兩種模型的俯仰振動頻率均為0.97 Hz，前兩者垂直振動頻率分別為1.66 Hz，1.76 Hz，圖10（e）中為2.05 Hz；圖10（f）中兩種模型的俯仰振動頻率均為1.36 Hz，柔性履帶整車模型的垂直振動頻率為1.95 Hz，剛性履帶模型中垂直振動不明顯。

功率譜密度曲線中，4～10 Hz的較低頻帶范圍內主要包含負重輪軸距引起的軸距效應以及履帶環的整體振動效應，柔性履帶模型中，由于不考慮履帶環的幾何約束作用，軸距效應相對更加顯著，而履帶環的幾何效應會對剛性履帶模型中的軸距效應起一定的抑止作用，但是剛性履帶環固有振動效應會比較顯著。

功率譜密度曲線中，30～60 Hz的高頻成分主要為剛性履帶板節距引起的周期性激勵以及履帶與主動輪嚙合產生的多邊形效應引起的激振頻率，其頻率大小與節距l、車速u相關，即

選定車型的履帶板節距為0.153 m，當車輛分別以20 km/h和30 km/h車速行駛時，對應的履帶板激振頻率分別為36.33 Hz和54.64 Hz。 圖10（a）、圖10（c）、圖10（e）中，由剛性履帶模型計算得到的相應峰值頻率分別為35.16 Hz，36.91 Hz和35.55 Hz；圖10（b）、圖10（d）、圖10（f）中計算得到的峰值頻率分別為54.32 Hz，54.35 Hz，54.14 Hz。 從中可以看出，仿真計算與理論推算結果具有很好的一致性。而柔性履帶模型中，由于不考慮履帶的多邊形效應，因而無法反映履帶的高頻振動的影響。

通過計算功率譜密度的均方根值來定量分析履帶對車身振動的影響，按式（32）計算

式中:Ga（f）為功率譜密度函數；fu為計算頻率上限。表3給出了兩種模型駕駛員座椅處垂向振動加速度功率譜密度均方根值的對比結果。

表3 振動功率譜密度均方根值對比Tab.3 RMScomparison of vibration PSD

對柔性履帶和剛性履帶車輛模型的功率譜計算得到，履帶部分的振動能量占車輛系統整體振動能量的10%～25%左右。工況6由于路面條件惡劣，履帶車輛的低頻振動加劇，履帶對車輛振動的影響極小。從表3中柔性履帶和剛性履帶均方根值的差值來看，從D～F，其差值越來越小，也就是說二者差別減小，因此隨著路面不平度等級的降低，履帶環因素對車輛振動的影響越來越小；隨著車速的升高，履帶部分的振動影響同樣有所下降。

4 實車試驗驗證

在某試驗場進行高速履帶車輛振動試驗，測試裝置及試驗道路如圖11所示，通過數據采集系統采集車輛行駛過程中炮長座椅處垂向加速度信號。

圖11 實車試驗裝置及道路Fig.11 Test system and road for vehicle test

圖12為某試驗場進行的高速履帶車輛振動試驗中，保持車輛在30 km/h左右的時間段，車輛行駛速度隨時間的變化曲線。試驗道路為實測路面不平度等級為E級的典型越野路面，以1 kHz的采樣頻率分別采集車輛平均速度為20 km/h和30 km/h時的測試信號。試驗過程中測得主動輪轉速，將其加載到仿真模型的主動輪上以驅動車輛仿真。

圖12 試驗車速-時間變化曲線Fig.12 The speed signal of vehicle

選取車速為20 km/h和30 km/h時炮長座椅處的垂向加速度測試信號進行頻譜分析，得到的功率譜密度曲線與相同工況下的柔性履帶模型和剛性履帶模型得仿真結果對比，如圖13、圖14所示。

圖13 20 km/h時功率譜密度曲線對比Fig.13 Comparison of PSD at 20 km/h

圖14 30 km/h時功率譜密度曲線對比Fig.14 Comparison of PSD at 30 km/h

綜合圖13、圖14可以看到，實車振動的高頻成分頻帶范圍較寬，這是由于實車試驗中速度呈現較大的擾動性，使與履帶板節距相關的激振頻率不斷變化導致的。例如圖12中車速在24.2～34.5 km/h內變化，相應的高頻振動頻率在53～62 Hz。圖13、圖14中，仿真結果與試驗結果的低頻振動響應一致，剛性履帶模型的高頻振動峰值頻率與試驗結果相近，而柔性履帶模型沒有高頻振動響應。因此，可認為所建立的剛性履帶車輛動力學模型較為合理，其仿真結果具有一定的參考價值，能較為真實地反映實車振動響應特性。其中，剛性履帶模型要比柔性履帶模型與試驗結果更接近，而柔性履帶模型計算效率相對較高，在實際中可以根據精度要求來選擇剛性履帶模型或柔性履帶模型進行仿真計算。

5 結 論

對履帶振動特性的研究結果對于定量描述履帶對車輛振動特性的影響，并進而改善履帶車輛的振動特性具有重要的意義。

（1）采用多體動力學方法建立了包含柔性履帶和剛性履帶的履帶車輛行駛系統模型。采用特征值分析的方法計算了履帶環的固有振動特性。采用功率譜分析的方法研究了履帶與地面激振頻率、履帶與主動輪嚙合過程中的多邊形效應等對車輛振動特性的影響。

（2）計算結果表明，履帶環的固有振動頻率在3～10 Hz的較低頻帶范圍。當車輛在典型起伏路面行駛時，地面低頻激勵容易引起履帶環的振動。而履帶板與地面之間的相互作用以及履帶板與主動輪嚙合時引起的多邊形效應會引起車輛的高頻振動，振動頻率與履帶板節距以及車速相關。

（3）從柔性履帶和剛性履帶車輛模型的功率譜計算來看，一般工況下履帶部分的振動能量占車輛系統整體振動能量的10%～25%；隨著路面狀況的惡劣或者車速的提升，履帶對車輛振動的影響逐漸變小。通過試驗數據的對比表明，剛性履帶模型的計算結果與試驗結果更加接近。