基于Abramovich射流理論的飛機(jī)尾流數(shù)值模擬?

潘衛(wèi)軍 張衡衡 殷浩然 王 昊 王 玄

（中國民航飛行學(xué)院空中交通管理學(xué)院 廣漢 618307）

1 引言

機(jī)場中跑道是飛機(jī)起飛和降落的場所，隨著航班數(shù)量的增多，飛機(jī)起飛和降落的時(shí)間和距離間隔不斷縮小，而飛機(jī)降落過程中產(chǎn)生的尾流消散則需要一定的時(shí)間，由此就會(huì)導(dǎo)致一些飛機(jī)將處于前機(jī)的尾流中，使后機(jī)的性能受到影響，小則影響后機(jī)降落的操縱性能，大則會(huì)導(dǎo)致后機(jī)產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)，使飛機(jī)失去控制。通過研究前機(jī)尾流對后機(jī)的影響，合理的縮減前后機(jī)的尾流間隔，提高機(jī)場等終端區(qū)的運(yùn)行效率。

2 模型基本定理

所有自然現(xiàn)象都可以用質(zhì)量守恒定量、能量守恒定律以及動(dòng)量守恒三大守恒定律解釋，飛機(jī)湍流運(yùn)動(dòng)作為流體運(yùn)動(dòng)中的一種，因此三大守恒定律方程也適用于此。

2.1 質(zhì)量守恒方程

質(zhì)量守恒定律可以表示物質(zhì)不論發(fā)生什么變化和過程，物質(zhì)的總質(zhì)量保持不變。該守恒方程可用式（1）表示：

式（1）中：S為參與變化和某種過程的物質(zhì)總質(zhì)量；Τ為變化或過程時(shí)間；ν為速度矢量；ρ為流體密度。

2.2 動(dòng)量守恒方程

動(dòng)量守恒定律可表示為作用在該微元體上的外力為零或外力矢量和為零。動(dòng)量守恒定律可用式（2）表示：

式（2）中各符號含義：F為外部體積力；Ρ為靜壓力；g為重力體積力；τ為黏性應(yīng)力張量。

2.3 能量守恒方程

能量守恒定律可表示為微元體作為孤立系統(tǒng)時(shí)總能量保持不變。該守恒方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為式（3）。

在求解上述三大方程時(shí)通常應(yīng)用直接數(shù)值模擬和非直接數(shù)值模擬的方法，由于直接數(shù)值模擬要求在小湍流下進(jìn)行，所以計(jì)算量很大，此方法目前只應(yīng)用在求解低雷諾數(shù)的流體問題上，非直接方法則要求簡單，因此經(jīng)常用作計(jì)算流體模型的方法，通常包括大渦模擬、雷諾平均和統(tǒng)計(jì)平均三種子方法［2］。

目前建立的飛機(jī)尾流模型有S-A模型，k-ε模型和k-ω SST模型。隨飛機(jī)的向前平飛，尾流區(qū)的湍流速度逐漸下降。經(jīng)過一段距離后，在周圍氣流作用下，風(fēng)速逐漸恢復(fù)。上述這些模型不能較準(zhǔn)確描述飛機(jī)尾流速度衰減和逐步恢復(fù)的整個(gè)過程。而采用Abramovich（1963）射流理論建立飛機(jī)全場尾流模型（簡稱AV尾流模型）能較準(zhǔn)確地模擬此過程。本文將使用基于Abramovich（1963）射流理論建立的尾流模型對飛機(jī)尾流進(jìn)行建模，并分析尾流的衰減和耗散趨勢［3］。

3 基于射流理論的尾流模型

AV尾流模型是在Abramovich（1963）射流理論基礎(chǔ)上發(fā)展的一種全場尾流模型，在使用AV尾流模型分析尾流區(qū)的速度特性過程中，首先根據(jù)尾流區(qū)的擴(kuò)散特點(diǎn)將尾流區(qū)分不同階段，在不同階段，尾渦的擴(kuò)散受到自身強(qiáng)度和背景風(fēng)場的影響，大雷諾數(shù)無邊界約束的自由湍流會(huì)與邊界上活躍的大氣混合將周圍氣流卷吸進(jìn)來并不斷擴(kuò)大，在此過程中尾渦的強(qiáng)度因不斷吸入周圍氣流消耗能量而環(huán)量減小，一段時(shí)間后，湍性射流則可用邊界層理論進(jìn)行計(jì)算分析。如圖1所示，在靜止流體中存在一不可壓縮平面湍性射流。其軸向平均速度ū（x，y）不等于零，整個(gè)區(qū)域由中心軸線和上下兩個(gè)“邊界層”組成，在圖1中理論邊界由虛線表示，因此定常平面湍性射流與湍流邊界層方程組近似成立，式（4）為湍流邊界層方程組。

圖1 平面湍性射流

根據(jù)以上方程，H.賴夏特等進(jìn)行了完整的理論分析。其主要結(jié)論為

1）射流不同位置處的寬度與該位置到射流源的距離成正比，如果忽略雷諾數(shù)的影響，此射流大約以13°半角向后擴(kuò)張；

2）射流速度分布為

3）射流軸線上的最大速度與到射流出口的距離的平方根成反比。

飛機(jī)尾流要比不可壓縮流體的常壓自由射流更復(fù)雜。飛機(jī)尾流的形成如同氣流在旋轉(zhuǎn)發(fā)生器中高速噴出，旋轉(zhuǎn)向后噴向一個(gè)無邊界空間，即旋轉(zhuǎn)射流。旋轉(zhuǎn)射流中既有直流射流的軸向分速和徑向分速，又有一個(gè)切向分速，而且其徑向分速比直流射流中的徑向分速大得多。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，自由旋轉(zhuǎn)射流的任一截面上，旋轉(zhuǎn)動(dòng)量矩和軸向動(dòng)量矩都為固定常數(shù)，即：

式中Gφ為旋轉(zhuǎn)動(dòng)量矩，Gx為軸向動(dòng)量通量，Wt和Wa分別為軸向分速和切向分速，P為射流任意斷面的靜壓，R為射流任意斷面的半徑。

由于這些動(dòng)量通量可以看成是旋轉(zhuǎn)射流空氣動(dòng)力學(xué)的特征，所以可用旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度準(zhǔn)則或旋轉(zhuǎn)數(shù)來表征旋轉(zhuǎn)射流的特性，即：

式中R0為尾流渦核的定性尺寸，一般取其半徑，在飛機(jī)尾流中，渦核半徑約為機(jī)翼展長的5%～10%。旋轉(zhuǎn)動(dòng)量矩Gφ越大，表明氣流旋轉(zhuǎn)越強(qiáng)烈；軸向動(dòng)量矩Gx表示氣流向前運(yùn)動(dòng)的能力，軸向速度越大，前進(jìn)能力越強(qiáng)［4］。

實(shí)驗(yàn)表明，旋轉(zhuǎn)數(shù)S也是由幾何上相似的渦核所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)射流的重要相似準(zhǔn)則。旋轉(zhuǎn)射流的軸向和切向速度特征，卷吸量、擴(kuò)張角和射流的射程等重要參數(shù)都與旋轉(zhuǎn)數(shù)S有關(guān)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)數(shù)低于一定數(shù)值時(shí)，軸向反向壓力梯度不夠大，不足以引起內(nèi)部回流，軸向速度均為正值，稱之為弱旋轉(zhuǎn)射流。由風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)可得，當(dāng)S=0時(shí)，無旋流；S≤0.6時(shí)為弱旋流，S＞0.6時(shí)為強(qiáng)旋流。飛機(jī)尾流一般為 S≤0.6的弱旋流［5］。

3.1 速度變化趨勢

旋轉(zhuǎn)射流包括切向速度vθ，軸向速度vx和徑向速度vr，流體在旋轉(zhuǎn)發(fā)生器中高速噴出后，其三種速度隨軸向的變化趨勢如圖2所示，其中d為翼展寬度，x為某一截面a到渦核的軸向距離。隨著增大，當(dāng)時(shí)，切向速度vθ、軸向速度vx和徑向速度vr急劇減小，當(dāng)以后，vθ、vr基本上消失，只有vx存在。如圖1為三種速度變化趨勢圖，其中 A曲線表示 vθmax/vθ，B曲線表示vxmax/vx，C曲線表示 vrmax/vr。

圖2 速度變化趨勢

3.2 軸向速度分布

在一個(gè)切向空氣旋轉(zhuǎn)發(fā)生器上進(jìn)行了試驗(yàn)，其結(jié)果如圖3所示。其中橫坐標(biāo)表示為某一截面a的半徑b，縱坐標(biāo)表示為某一圓形截面a上隨半徑的增大，軸向速度與該截面a上最大速度的比值，從圖3上可以看出，當(dāng)S值小于0.6時(shí)，某一截面上的軸向速度的分布隨S值的增大，軸向速度截面的半徑越大，且各個(gè)S下的軸向速度變化趨勢是相似的，而且其分布都服從高斯方程。

圖3 軸向速度分布圖

相似的軸向速度分布圖滿足于如下的指數(shù)方程：

式中Wa和Wam表示某截面任意點(diǎn)上的軸向速度和最大軸向速度；KU為分布常數(shù)，它隨旋轉(zhuǎn)數(shù)而變，由經(jīng)驗(yàn)公式確定；r為徑向坐標(biāo)；a為渦核原點(diǎn)距離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

3.3 切向速度分布

切向速度Wt的徑向分布以對r/(x+a)的形式表示在圖4上。從該圖可以看出，某一截面處從距離渦核兩個(gè)直徑距離起，在所有被研究的旋轉(zhuǎn)數(shù)下，切向速度的分布圖中變化趨勢是相似的。切向速度分布圖的內(nèi)區(qū)是線性的，相應(yīng)于固體物體的旋轉(zhuǎn)特性，也即相應(yīng)于具有角速度的強(qiáng)制旋渦型流動(dòng)［6］。

圖4 切向速度分布

切向速度分布圖的外區(qū)相應(yīng)于常數(shù)的自由旋渦型流動(dòng)，相似的切向速度分布圖可以由一個(gè)三階多項(xiàng)式予以描述即：

式中C、D和E為實(shí)驗(yàn)常數(shù)，a為渦核距離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，r為徑向坐標(biāo)。

3.4 射流速度的衰減

根據(jù)理論上的推導(dǎo)，最大軸向速度的衰減和最大切向速度的衰減由下列公式表示：

式（15）中，K1為軸向速度衰減常數(shù)；K2為切向速度衰減常數(shù)；其中為ξ=r/(x+a)。

軸向速度最大值的衰減情況示于圖5上。圖中Wamo是x=0處最大值。弱旋轉(zhuǎn)射流的勢能能擴(kuò)張到兩個(gè)渦核直徑的距離，并且在四個(gè)直徑以后按雙曲線規(guī)律衰減。衰減常數(shù)K1是根據(jù)在完全發(fā)展區(qū)中速度最大值的平均斜率來確定的。

圖5 軸向速度最大值的衰減情況

圖6 切向速度最大值的衰減圖

3.5 射流的擴(kuò)張角

射流的擴(kuò)張角α，對弱旋轉(zhuǎn)射流來說是隨旋轉(zhuǎn)數(shù)S的增加而增加的，它由式（16）確定：

一些人的試驗(yàn)結(jié)果指出，射流的擴(kuò)張角并不一直隨S而增加，而趨向于達(dá)到某一漸近值。而另一些人的試驗(yàn)指出，α與S是一個(gè)線性增加的關(guān)系。Chigier等在研究了各個(gè)試驗(yàn)者所用的不同的試驗(yàn)條件后指出，如果在旋轉(zhuǎn)發(fā)生器孔口的平面上與軸線垂直有一約束的情況，擴(kuò)張角α就不一直隨S的增加而增加。如果沒有這樣一約束，則α一直隨S的增加而增加［8］。

3.6 射流的卷吸

弱旋轉(zhuǎn)射流由于沒有中心回流，因而它只是從射流的外側(cè)進(jìn)行卷吸。通過射流中任一截面的流量都是由對該截面的軸向速度圖積分而得到的。試驗(yàn)指出，弱旋轉(zhuǎn)射流的卷吸量既隨旋轉(zhuǎn)數(shù)S而增加，又隨x而增加。即

4 基于Abramovich射流理論的飛機(jī)尾流分析

以單側(cè)尾渦為例，將飛機(jī)尾流區(qū)分成三個(gè)階段，如圖7所示。在每個(gè)耗散階段，尾流增長速率與自身環(huán)量和背景風(fēng)場有關(guān)［9］。

圖7 飛機(jī)尾流模型幾何輪廓圖

1）階段一是飛機(jī)近場尾流區(qū)，該區(qū)域從渦核延伸到錐形均勻流的末端。其尾流增長速率只決定于自身環(huán)量，背景風(fēng)場影響可忽略不計(jì)。

2）階段二是尾流過渡區(qū)。階段二同階段一有相同的尾流增長速率，它主要決定于自身環(huán)量，但是背景風(fēng)場也將產(chǎn)生一定的影響。

3）階段三是飛機(jī)遠(yuǎn)場尾流區(qū)，自身環(huán)量的作用下降，尾流增長速率取決于背景風(fēng)場的作用。

4.1 階段一的尾流特性

在基于Abramovich（1963）射流理論的基礎(chǔ)上，階段一的速度剖面可表示為

式中V∞為渦核前自由流風(fēng)速；V0為渦核后階段一內(nèi)的均勻流風(fēng)速；r為某點(diǎn)到尾流中心旋轉(zhuǎn)軸的距離。

式中r21為階段一末無量綱化尾流半徑，XH為階段一的長度，R0為初始尾流半徑，Rd為渦核半徑，r0為無量綱初始尾流半徑，m為初始速度比。

a為尾流軸向速度誘導(dǎo)因子。

階段一內(nèi)邊界層厚度b為自由流與均勻流之間的距離：

在階段一末端，r1=0，b=r2=r21，于是由于自身環(huán)量引起的邊界層增長速率為

背景風(fēng)場在靜止大氣和旋轉(zhuǎn)射流中同時(shí)存在且影響邊界層的兩側(cè)，因此邊界層增長速率為［10］

式中α為由背景風(fēng)場引起的邊界層增長速率

dα/dx與大氣邊界層中Pasquill穩(wěn)定級相關(guān)，由于階段一末的尾流半徑為r21，則階段一的長度xH為

4.2 階段二的尾流特性

根據(jù)Abramovich射流理論：

4.3 階段三的尾流特性

這個(gè)區(qū)域的尾流增長速率在開始時(shí)是由自身環(huán)量和背景風(fēng)場共同決定的，隨著x的增加，自身環(huán)量的影響逐漸減小到零，尾流增長速率完全決定于背景風(fēng)場的影響。另外該區(qū)域的速度剖面是自相似的，因此在任意x處都有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式?；谏淞骼碚摻o出［11］

4.4 各階段速度剖面

如果x≤xH，則所討論的區(qū)域在階段一，η＞1時(shí)，r在渦核后均勻流核心內(nèi)v1=1/m；η＜0時(shí)，r在尾流邊界層外v1=1；0＜η＜1時(shí)，r在尾流邊界層內(nèi)：

4.5 基于AV尾流模型模擬的飛機(jī)速度剖面

圖8和圖9是基于Abramovich的尾流模型模擬的尾流速度剖面與瑞典航空研究院（FFA）風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，Vc為尾流中心速度損耗，由圖8可知；基于Abramovich的尾流模型在一定程度上模擬了飛機(jī)尾流區(qū)的速度分布；在遠(yuǎn)場尾流區(qū)（x/D=6;x/D=8），尾流半徑的計(jì)算結(jié)果明顯比實(shí)驗(yàn)結(jié)果大，而在尾流影響的主要區(qū)域（-0.5＜y/D＜0.5），由于基于Abramovich的尾流模型計(jì)算時(shí)的背景風(fēng)場和FAA風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時(shí)不同，所以速度的計(jì)算結(jié)果比實(shí)驗(yàn)結(jié)果要大。

圖8 尾流區(qū)中心線平均速度分布

圖9 尾流區(qū)截面內(nèi)平均速度分布

飛機(jī)尾流區(qū)內(nèi)，離渦核越近的截面，速度損失越大，同一截面內(nèi)，離渦核中心旋轉(zhuǎn)軸線越近，速度損失越大。在所測量的三個(gè)截面中，其最大速度損失都出現(xiàn)在渦核軸線上；離渦核越近的截面內(nèi)，其尾流影響區(qū)域稍小一些；尾流區(qū)中心線上平均速度隨坐標(biāo)增加而逐漸恢復(fù)，在近場尾流區(qū)其恢復(fù)得更快一些。

5 結(jié)語

本文首先針對尾流區(qū)內(nèi)速度和尾流半徑的變化規(guī)律，利用Abramovich射流理論對尾流區(qū)不同區(qū)域的切向、軸向和徑向速度分布等速度特征進(jìn)行分析，基于Abramovich的尾流模型的分析對飛機(jī)尾流區(qū)各區(qū)域進(jìn)行建模，將計(jì)算結(jié)果與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較得出：可以用基于Abramovich射流理論的尾流模型來模擬飛機(jī)尾流區(qū)速度特征分布，計(jì)算處于尾流區(qū)后機(jī)飛行性能。綜上所述，基于Abramovich的尾流模型計(jì)算尾流區(qū)飛機(jī)性能是可行的。