數(shù)列裂項(xiàng)終不悔，只為消得式“憔悴”

2019-08-03 08:00:40福建

教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2019年4期

福建

數(shù)列裂項(xiàng)相消求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))進(jìn)行分解，然后重新組合，使之在求和中能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到目的,這也是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.

“裂項(xiàng)相消求和法”是數(shù)列求和的重要方法之一，反復(fù)出現(xiàn)在全國各省市的高考命題中，命題角度靈活多變.“裂項(xiàng)”是求和過程中的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它的模式多樣，需要具有敏銳的觀察力、豐富的聯(lián)想、靈活的構(gòu)思和創(chuàng)造性的思維，才能根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行裂項(xiàng)，以達(dá)到求和的目的.裂項(xiàng)相消求和的本質(zhì)是將數(shù)列{an}的通項(xiàng)分裂成新數(shù)列鄰項(xiàng)或隔項(xiàng)的差，即an=bn-bn+1或an=bn-bn+k，進(jìn)而在求和過程中實(shí)現(xiàn)消項(xiàng)并得出結(jié)論.本文根據(jù)可裂項(xiàng)相消求和數(shù)列通項(xiàng)的特征，歸納如下類型供讀者參考.

類型一：通項(xiàng)如型

我們把上述類型的數(shù)列稱為分式數(shù)列，若分式數(shù)列是等比數(shù)列，直接利用公式求其前n項(xiàng)和；若分式數(shù)列不是等比數(shù)列，通項(xiàng)an的分母又是自然數(shù)積的形式，在求分式數(shù)列前n項(xiàng)和的時(shí)候，需要裂變an成兩項(xiàng)的差，使得求和時(shí)大部分的項(xiàng)能被消去，從而達(dá)到簡化和式的目的.

【例1】(2014·全國大綱卷理·18)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;

解：(Ⅰ)an=-3n+13.(過程略)

Tn=b1+b2+…+bn

【評析】通項(xiàng)公式an中分母雖然是兩個(gè)式子的積，但是分子次數(shù)與分母次數(shù)相同，通項(xiàng)不是真分式，無法直接裂項(xiàng)，這種情況可以采用先分離常數(shù)，將其化為通項(xiàng)是真分式的分式數(shù)列，然后再裂項(xiàng)求和.

【例2】(2018·天津卷理·18)設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*)，

(i)求Tn；

解：(Ⅰ)an=2n-1;bn=n.(過程略)

類型二：通項(xiàng)如cn=(An+B)qn(A,B為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1)型

在學(xué)習(xí)數(shù)列求和過程中，也常會(huì)遇到形如{anbn}數(shù)列的求和({an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)，通常我們可采用錯(cuò)位相減法求和，但其過程計(jì)算量大、煩瑣.那么，能否考慮用裂項(xiàng)相消法來替代呢？答案是肯定的.

【例3】(2014·四川卷理·19)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).

(Ⅰ)若a1=-2，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；