HPM視角下數學核心素養的教學研究
——以等比數列為例

栗 艷

（首都師范大學附屬中學 北京 101149）

一、研究背景

（一）HPM理論簡介

HPM源自于1972年在英國舉行的第二屆國際數學教育大會（ICME—2）上成立的數學史與數學教學關系國際研究小組。HPM關注的內容包括：數學與其他學科的關系、多元文化的數學、數學史與學生的認知發展、數學史與發生教育法、數學史與學生的困難、數學原始文獻在教學中的應用等等。HPM研究的最終目的是通過數學史的運用，提高教育教學的水平。數學教育在學生掌握數學知識、數學思想、培養學生的理性思維方面起著重要作用，數學史對于認識數學與自然、數學與人類社會的關系，認識數學的科學價值、文化價值方面具有不可替代的作用[1]。在提高數學教育的水平方面，數學史與數學教育相輔相成，不可偏廢。

（二）數學核心素養簡介

在2017年版的普通高中數學課程標準中凝練了學科核心素養的概念，各學科基于學科本質又凝練了本學科的核心素養，明確了學生學習該學科課程后應達成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體。

二、等比數列概念的教學設計片段及設計意圖

（一）學習內容分析

等比數列是人教版必修5第2章第4節的知識，其主要內容包括等比數列的概念，等比中項和等比數列的通項公式，以及這三者的應用。這節課有著承上啟下的作用，“承上”體現在承接了等差數列的相關知識和方法，“啟下”體現在等比數列的性質和前n項和的探究為其提供了方法和理論基礎。

利用數列知識的特性，利用等比數列與等差數列內容和思想方法上的相似性，加強對數學規律的探究，提高學生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力，發展學生的邏輯推理和數學運算等數學學科核心素養[2]。

（二）學生情況分析

學生已經系統學習了等差數列的基礎知識，具備了研究特殊數列的基本思路和方法。在進行數列遞推公式的學習時已經接觸了“疊加”“疊乘”兩種方法，在等差數列通項公式的推導時又運用了“疊加法”，故通過類比可以順利地完成等比數列通項公式的推導。對于數列中歸納的思想、方程的思想，在學習等差數列時，學生已有體會。

（三）教學目標

1.認識、理解數列的等比關系，歸納等比數列的概念；

2.類比等差數列的研究過程，探究等比中項、等比數列的通項公式；

3.了解古代人的數學智慧之美，體會類比、歸納的思想方法研究數學問題。

（四）教學重點與難點

教學重點：等比數列的概念及等比數列通項公式的推導。

教學難點：等比數列概念的形成和理解，通項公式的推導和證明。

（五）教學過程

1.問題提出，引入新課

（1）根據對數列的理解，請寫出一個數列，并說明這個數列項與項之間的關系特征。

預設①：1，3，5，7，9，…

預設②：1，1，1，1，1，…

預設③：1，-1，1，-1，1，…

預設④：1，2，1，2，1，…

預設⑤：1，2，4，8，16，…

預設⑥：1，3，9，27，81，…

（2）數學史中的等比數列

約公元前2700年，蘇美爾泥版MS3047上已經出現了等比數列。古巴比倫時期的泥版Ist.O3826上載有等比數列9，92，93，94，…910。我國古代《孫子算經》中記載了“出門望堤”問題：“今有出門望見九堤。堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何。”成書于13世紀，由斐波那契所著的《計算之書》中也記載了類似問題：“7位婦女去羅馬，每個人牽著7匹騾子，每匹騾子負7只麻袋，每只袋子裝7塊面包，每塊面包配有7把小刀，每把刀配有7個刀鞘，問婦女、騾子、袋子、面包、刀、鞘各多少。”[3]從上面問題中抽象出等比數列。

（3）生活中的等比數列

①閱讀教材P48頁。②列舉生活中等比數列例子，分小組討論列舉例子的合理性并進行分享。

設計意圖：從數學史的角度詮釋研究等比數列的必要性，在數學史書中的問題抽象出等比數列，增加學生的積極性和對古代數學智慧的敬畏情緒。從生活中的例子詮釋研究等比數列的必要性，讓學生自己舉例，觀察發現等比數列項與項之間的關系，以上教學環節設計有助于完成教學目標1中認識、理解數列中的等比關系。

2.抽象概括，概念建構

3.正反辨析，概念深化

例1 判斷下列數列是否為等比數列，如果是，求出公比，如果不是，請說明理由。

（2）2，2，2，2，2，…（3）0，1，2，4，8，…

思考：等比數列的項和公比能否為0？

例2 求出下列等比數列中的未知項。

（1）2，a，8.

等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫作a與b的等比中項。

思考：a，b的符號有什么特點？你能用a與b表示G嗎？

設計意圖：通過正反例的辨析，使學生感受和理解定義中的意義，深化學生對“等比”這一本質特征的認識，并注意因為“等比”的做商性，所以等比數列的項和公比不能為0。

4.類比研究，公式推理

（1）你能寫出該數列的第5項，第100項嗎？

（2）你是用哪些量來計算上述數列的第100項，刻畫數列的通項公式的？

（3）你又是用什么方法得到通項公式的呢？例3 在等比數列{an}中，

（1）已知a1=3，q=-2，求a6。

（2）已知a1=1，q=2，an=6，求n。

設計意圖：通過問題串的形式指出研究通項公式的合理性和必要性。引導學生類比等差數列通項公式的推導方法（累加法），類比得到累乘法。類比的思想在“累乘法”的引出時得到了進一步強化。在累乘法的推導中還要注意嚴謹性。

思考：在同一直角坐標系中，通項公式為an=2n-1的數列的圖象和函數y=2x-1的圖象，體會他們之間的關系。

趣味辨析：某數學家曾言：如果能將一張紙對折38次，就能順著它爬上月球。請課后去算算（紙張厚度以0.07mm為標準），這位科學家為何敢夸下海口？

設計意圖：體會等比數學與指數函數之間的聯系，理解數列是特殊的函數。

三、教學反思

（一）把學習的主動權還給學生

就本課而言，學生已學習了“數列”和“等差數列”，對數列的感性認識非常豐富，有了一定的學習經驗。引入一個既開放又具有思想性的問題，能有效推動學生主動思考，且需每一個學生都能給出自己的答案。對比體會研究等比數列的必要性，結合史實和生活中的問題詮釋研究等比數列的必要性。

（二）讓學生體驗系統思維的過程

教學中以“代數學的根源在于代數運算和運算律”為指導思想，類比于實數的加、減、乘、除運算，從運算的角度引導學生發現和提出問題、認識和解決問題，這就是一種系統思維的方式。等差數列的要素是“作差”和“差相等”，等比數列的要素是“作比”和“比相等”，前者是“運算”后者是“結果”。當然，還有等和、等積數列，但它們的研究價值不大，這也從側面論證了研究等差、等比數列的必要性、合理性。

（三）讓合作學習成為課堂教學的常態

本節等比數列的概念課，老師摒棄傳統的“一個定義，三項注意，馬上解題”的教學模式，獨白式的講解很少，而是精心設計好一系列的問題串以“小組合作”的形式展開本節課的教學。通過“小組合作”的方式，構建了“微型學習共同體”。