一道高考數(shù)學(xué)題的3D設(shè)計解題方案

徐勤波

3D技術(shù)作為一種新興技術(shù)逐漸興起，在許多高科技領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。3D打印技術(shù)在空間幾何學(xué)的應(yīng)用研究領(lǐng)域具有得天獨厚的優(yōu)勢，對學(xué)生空間思維能力的培養(yǎng)發(fā)揮著較大作用。

立體幾何是考察學(xué)生空間思維能力的重要途徑，對學(xué)生的空間思維能力提出了更高的要求。3D打印技術(shù)的出現(xiàn)將難懂的空間想象變?yōu)橹庇^的數(shù)學(xué)模型，大大降低了解決問題的難度。現(xiàn)以2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ的填空題第16題為例，運用3D方案作解題說明。

（2019全國Ⅲ.16）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖。該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐 O-EFGH后得到的幾何體，其中O為長方體的中心，E、F、G、H分別為所在棱的中點， AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原材料的質(zhì)量為（ ? ?）。

這是一道典型的立體幾何圖形題，只要頭腦中有清晰的立體圖形概念，分三步即可得出答案。第一步：求出四棱錐的體積;第二步：用六面體的體積減去四棱錐的體積;第三步：用體積乘以密度得到質(zhì)量。在此題中第一步尤為關(guān)鍵，如果先求出底面積，再乘以高，這樣的過程在考試中不僅耗時，在思維上也缺乏一定的空間整體性。

∵E、F、G、H分別為所在棱的中點， AB=BC=6cm，AA1=4cm，

∴四棱錐O-EFGH的體積

又∵長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V2=6×6×4=144（cm3）

∴該模型的體積V=V2-V1=132（cm3），

∴制作該模型所需原材料的質(zhì)量為132cm3×0.9g/cm3=118.9g。

上述解答，完全脫離后可以看出，題中3D僅僅是一頂高大上的帽子，解決問題的思路與3D毫無關(guān)聯(lián)，給人以“穿新鞋、走老路”的感覺。

上述高考題的解題思路在于建立空間立體圖形概念，如果學(xué)生具備3D網(wǎng)絡(luò)建模經(jīng)驗，很快就能構(gòu)思出如圖1的空間圖形。

本題的關(guān)鍵是求出b的體積，而b的體積是a減去c的體積所得。d為b加上c的還原圖形。在熟練掌握3Done建模軟件的基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)行如下三步操作。

第一步：按題目要求建立一個六面體。草圖繪制一個正方形，通過拉伸平面創(chuàng)建六面體，求得體積為長×寬×高，即6cm×6cm×4cm=144cm3。

第二步：繪制一個符合題目要求的四棱錐。通過草圖繪制把右側(cè)面中的點連接成平行四邊形，隱藏六面體并保留四棱錐的底面，再對四棱錐進(jìn)行放樣操作，可以得出c的面積為右側(cè)面的一半，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，根據(jù)四棱錐的體積公式V= ? ?Sh，得知其體積為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =12cm3。

第三步，將a和c的體積相減，得出b的體積。通過顯示立方體，把立方體和四棱錐放在一起，再通過減法運算，便可得出b的形狀，這是本道題的關(guān)鍵圖形。

其體積為六面體體積減去四棱錐的體積，即144cm3-12cm3=132cm3。

打印制作該模型所需原料的質(zhì)量為：體積乘以密度，即132×0.9=118.8（g）。

【題目拓展】

本題是一道數(shù)學(xué)與實際應(yīng)用的結(jié)合題，通過題目的設(shè)計，讓數(shù)學(xué)貼近于生活，我們可以有更多的思考和實踐驗證3D打印技術(shù)在生活中的應(yīng)用，從而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。

拓展一：使用相等的材料，如果四棱錐的頂點不變，底面還可以是什么樣的形狀？

拓展二：如果底面保持不變，四棱錐的頂點還可以在什么位置？

針對拓展一的問題：e為右側(cè)面的上視圖，可以看出，四棱錐的底面積為右側(cè)面的一半。所以，可以改變四邊形的形狀，保持其中一組對角線上兩個點的連線平行于六面體的棱，如f所示，就可以使底面積始終保持不變。另外，除了底面是四邊形之外，還可以是三角形，如g所示，底面積也是右側(cè)面的一半。

針對拓展二的問題，如果底面不變，可以改變四棱錐的頂點位置，只要保持在經(jīng)過長方體的中心且平行于四棱錐底面的截面上，則四棱錐的調(diào)試就沒有變化，體積也不會發(fā)生變化。

【打印驗證】

通過理論研究，我們可以設(shè)計不同的建模圖形，3D打印機的切片軟件可以更直觀地檢測設(shè)計物體所使用材料的長度及質(zhì)量，從而與題目中的3D打印的質(zhì)量對應(yīng)起來。

3D打印技術(shù)與各學(xué)科知識融合有利于加深學(xué)生對學(xué)科知識的理解，增加學(xué)生主動獲取知識的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)動力。我們可以將3D打印與各學(xué)科教學(xué)有機融合。比如，將中國古代青銅器的藝術(shù)文化與歷史、美術(shù)、數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科知識融合。通過了解青銅文化、紙質(zhì)繪圖、網(wǎng)絡(luò)建模、打印作品、小組展示等課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，創(chuàng)作出學(xué)生們喜歡的個性化3D作品。