轉角雙層石墨烯在應變下的光電導率*

蔡瀟瀟 羅國語 李志強 賀言

(四川大學物理學院,成都 610065)

理論研究了轉角雙層石墨烯在施加不同單軸應變下的能帶結構和光電導率,用連續模型分別計算了轉角為1.05°和1.47°的轉角雙層石墨烯在應變下的能帶、態密度以及光電導率,發現這些量隨應變的變化是連續且顯著的.通過對能帶的分析以及光電導率的測量能夠獲得應變對平帶產生的實際影響,這為今后實驗對應變與平帶的研究打下基礎;此外樣品往往受到具有空間不均勻性的應變作用,測量其局域的光電導率便能夠估計應變的空間分布大小;同時應變對能帶的調制為原位調控轉角雙層石墨烯的強關聯、拓撲以及量子效應提供了思路.

1 引 言

轉角雙層石墨烯(twisted bilayer grapllene,TBG)是由兩層石墨烯以一定轉角堆疊在一起的二維材料,其轉角帶來的晶格失配使得表面形成莫爾條紋[1],這種莫爾周期性結構對TBG的電子能帶結構有很大的影響,其中最為重要的是在零能點附近形成兩條莫爾能帶.當轉角慢慢接近某些特定的角度(魔角)附近,這兩條能帶逐漸變得平緩形成平帶,而在這樣具有高態密度的平帶中,電子之間的相互作用變得不可忽略,這使TBG 成為研究電子強關聯態和超導態的重要體系[2-4].不僅如此,將公度堆疊的魔角TBG 放在六方氮化硼(hBN)基底上,由于彼此的晶格失配將破壞TBG 面內的C2對稱性,使狄拉克點打開能隙,石墨烯每個谷被分開的兩條平帶將具有相反的陳數(±1)[5,6];實驗發現在平帶3/4 填充時,由于自旋極化效應TBG將表現出鐵磁性[7],隨后便在這一基礎上發現了該體系中的量子反常霍爾效應[8].

無論是對于TBG 還是TBG-hBN 體系,平帶對于這些豐富物理現象的產生都是至關重要的.除了用轉角來調控平帶,應變也是一種重要的方法,在樣品的制備過程中,應變的產生幾乎是不可避免的,比如基底帶來的應變作用:當對兩層石墨烯施加不同的應變時,其莫爾能帶將會受到調制,原本非魔角下的TBG 在此應變下也能出現平帶[9,10];同時,應變不僅能夠使材料能帶拓撲數發生改變[10],也能夠使晶格產生重構,引發許多新奇的物理現象如孤子[11]、光子晶體[12]等;應變相對于轉角更易調控,只需要具有壓電性質的基底即可,這使得原位調控范德瓦耳斯材料中的強關聯、拓撲以及量子效應成為可能.由此可見,研究應變對于TBG的影響是在理論和實驗上都非常有意義的.

本文研究應變對TBG 這一重要體系的能帶以及光電導率[13]的影響:光電導率作為實驗研究上的重要物理量,不僅能夠表征材料光學性質,也能夠在一定程度上來揭示應變對于材料的電子能帶結構的變化.之前已有理論工作研究了TBG 在應變作用下的能帶結構[10]以及電子能譜[9,14],但是TBG 在應變作用下的光電導率還有待研究.有鑒于此,本文利用連續模型[10,15-17]理論計算了轉角為1.05°(魔角)和1.47°的TBG 在其兩層施加相反單軸應變時的能帶結構、態密度以及低溫下的光電導率:在應變的作用下,TBG的導帶與價帶的間隔增大,同時伴隨著范霍夫奇點的位置的移動;另外,導帶和價帶仍然由兩個狄拉克點相連,但是兩個狄拉克點的位置發生了偏移,在能量上不再簡并,這些變化都會對TBG的電子性質以及光學性質產生一定的影響.本文首先簡單介紹TBG 在施加應變后的連續模型,然后對TBG 在應變下的能帶、態密度以及低溫下的光電導率進行討論.

2 理論方法

圖1 展示了轉角為5°的TBG 晶格結構,其莫爾條紋周期清晰可見,隨著TBG的轉角減小,所形成的莫爾條紋周期將會遠遠大于晶格常數,導致其不同谷之間的相互作用可以忽略,這時可以用連續模型來計算TBG的能帶結構.由連續模型給出的TBG的哈密頓量形式為[10,15-17]

圖1 TBG 在轉角為5°時的結構示意圖,其莫爾周期結構清晰可見Fig.1.Schematic of TBG structure at θ=5°,the resulted moiré pattern can be clearly seen.

式中,h1(k),h2(k) 分別為兩層單層石墨烯自身的哈密頓量;T(r) 代表由莫爾超晶格引起的具有空間分布的層間隧穿[16],其表達式為

由于應變和轉角的作用,單層石墨烯的哈密頓量hl(k)的表達式變為[10]

式中,l=1,2 代表第一、第二層石墨烯;費米速度vF=106m/s,由此得到?vF/a=2.68eV;I為2×2的單位矩陣;ε代表了應變與轉角的作用項,其表達式為

Dl,ξ為在應變和轉角下的狄拉克費米子的位置[10],其形式為

其中Kξ為無轉角和應變下的石墨烯兩個谷的位置,β=3.14 為跳躍因子.

這里考慮對兩層石墨烯分別施加大小相同方向相反的單軸應變與轉角,即ε2=?ε1=,單軸應變S由幅度λ和方向φ決定,其形式為[10]

其中v=0.16 為石墨烯的泊松比.

利用連續模型得到的本征波函數再結合庫伯公式可以計算出TBG的光電導率,其形式為[18]

其中,積分取遍所有本征態,S代表積分區域面積,f(ε)為費米分布函數,εα(εβ)和|α〉(|β〉) 分別代表本征值和本征態,vx=?(i/?)[x,H] 為速度算符,η取3 meV 代表展寬.本文計算的所有光電導率值都是以單層石墨烯能帶線性區域所貢獻的光電導率值σmono為單位:

其中gs和gv分別為自旋與谷自由度,其大小為2.

有實驗[14]表明TBG的單軸應變的幅度范圍大小0%—7%,所以本文分別計算了當應變幅度λ為0%,0.3%,0.6%,應變方向φ為30°時,轉角為1.05°和1.47° TBG的能帶以及光電導率.

3 理論結果與討論

圖2(a)展示了TBG 在未考慮應變時的第一莫爾布里淵區示意圖,由于施加的應變幅度較小,在應變下的第一莫爾布里淵區形狀相比之前差別并不大.我們沿著“K1-Γ-K2-M2-Γ-M1-K1”的路徑繪制了轉角為1.05°和1.47°時TBG 在不同應變下的能帶(圖3).可見在轉角為1.05°且未施加應變時,零能附近形成了兩條平帶(圖3(a)),帶寬約為17 meV,在施加應變后(圖3(b)和圖3(c)),兩條平帶間隔增大,變化量與施加的應變大小成正比;其他位置處能帶之間的間距也隨著施加應變的增加而增大.同樣對于轉角為1.47°的能帶(圖3(d)—(f)),除了本身未形成平帶之外,應變帶來的影響與1.05°時幾乎相同.值得一提的是,對于魔角1.05°的TBG,其莫爾能帶在應變的作用下依然保持平帶的特征,這為平帶的調控提供了額外的思路.另外,單軸應變的施加并未打破TBG的二重旋轉與時間反演(C2Γ)對稱性,這使連接導帶和價帶的兩個狄拉克點依然存在,但TBG的面內鏡面對稱性受到破壞[19,20],狄拉克點的位置將發生偏移,偏移的大小與施加的應變有關,圖2(b)展示了轉角為1.05°、應變大小為6%時狄拉克點附近的能帶,所沿路徑為圖2(a)中的虛線,此時狄拉克點位置由虛線路徑中的黑點標注.

圖2 (a) TBG 莫爾布里淵區示意圖:兩個大正六邊形代表上下兩層單層石墨烯的第一布里淵區,小正六邊形為轉角形成的莫爾布里淵區;(b) 偏移后的狄拉克點附近能帶:紅色和藍色曲線分別代表圖(a)中莫爾布里淵區同色虛線路徑的能帶,虛線路徑中的黑點代表狄拉克點的位置Fig.2.(a) Schematic of TBG moiré Brillouin zone:The two large regular hexagons represent the first Brillouin zone of the upper and lower graphene layers,the small regular hexagons refer to the moiré Brillouin zone.(b) The band structures near the shifted Dirac points:Red and blue curve lines represent the band structures follow the same colored dashed lines path in the panel(a) respectively,the Dirac points are marked by the black dots in dash lines.

圖3 TBG的能帶 (a)—(c) TBG 在轉角為1.05°,應變大小分別為0%,3%和6%時的能帶;(d)—(f) TBG 在轉角為1.47°,應變大小分別為0%,3%和6%時的能帶Fig.3.Band structures of TBG:(a)-(c) The band structures with 0%,0.3%,0.6% uniaxial heterostrain at twisted angle θ=1.05°,respectively;(d)-(f) the band structures with 0%,0.3%,0.6% uniaxial heterostrain of at twisted angle θ=1.47°,respectively.

圖4 展示了轉角為1.05°的TBG 在施加0.6%應變后的能帶(圖4(a))、態密度(圖4(b))以及低溫下的光電導率(圖4(c)),目的是為了分析能帶、態密度與光電導率的對應關系.態密度是單位能量中態的個數,即能帶越平,態密度越大,如圖4(a)能帶中的兩個莫爾平帶貢獻了態密度(圖4(b))中最大的兩個范霍夫奇點,其他能帶的鞍點也對應于態密度的小峰值.本文所計算的光電導率源于費米面附近的帶內躍遷以及導帶與價帶的帶間躍遷(直接躍遷),帶內躍遷只主導零能附近的光電導率,因此對光電導率其他非零處吸收峰的貢獻均來自具有相同動量的兩個態之間的帶間躍遷,也就是說影響非零能處光電導率的因素有兩個:1) 相同動量處基態與激發態的態密度;2) 躍遷概率.圖4(c)用綠色、紅色與藍色箭頭分別表示光電導率的3 個主特征峰,對應于圖4(a)中同色箭頭所代表的帶間躍遷,其他未標注的吸收峰同樣也來自不同能帶之間的帶間躍遷:圖4(c)中紅色箭頭表示的特征峰對應于莫爾價帶對第一非莫爾導帶之間的躍遷,貢獻了光電導率中最大的峰值;藍色箭頭則對應躍遷能量在200 meV 之上最顯著的吸收峰;綠色箭頭表示的特征峰以及其附近的小峰均源于兩個莫爾能帶之間的躍遷,而這兩個能帶在相同動量處的態密度極大,卻并未貢獻出最大的吸收峰,這是因為兩個莫爾能帶之間的躍遷概率是很小的.特別地,當哈密頓量((1)式)具有電子空穴對稱性時,價帶與相對應的導帶之間的帶間躍遷概率為零[18],比如兩個莫爾能帶的M點之間并不能發生帶間躍遷.

圖4 TBG 在轉角為1.05°、施加0.6%大小的應變時的能帶(a)、態密度(b)以及光電導(c),圖(c)中綠色、紅色與藍色箭頭對應的吸收峰分別對應于圖(a)中的同色箭頭代表的帶間躍遷Fig.4.(a) Band structure,(b) density of states and(c) corresponding optical conductivity of TBG with 0.6% uniaxial heterostrain at 1.05°.The green,red and blue arrows in panel(c) correspond to the interband transition marked with arrows of the same color in panel(a).

為了探究應變對于TBG 光學性質的影響,比較了TBG 在不同應變下的態密度(圖5)以及光電導率實部(圖6),兩個圖中的曲線從下到上分別代表施加的應變幅度為0%,3%,6%.在兩個轉角下,態密度極值峰的半高全寬隨著應變的增大而逐漸增大(圖5),對應于能帶帶寬的增大,同時也伴隨著態密度峰值大小的減小—這些變化將使光學吸收峰變得扁平(圖6).從圖6 可見,TBG 光電導率的峰值集中在躍遷能量600 meV 以內,而在大于600 meV的區域,光電導值約為2 倍σmono.轉角為1.05°時的主峰位于86 meV 能量處,1.47°時的主峰位于188 meV 能量處,在應變作用下,這兩個峰的能量位置變化不大,峰型變得扁平.其他位置的光電導率特征峰在施加應變后一部分發生合并,一部分發生劈裂,如圖6(a)的①區域中原本處于能量259 和302 meV 處的兩個峰在施加應變后合并成了在270 meV 處的單峰(在1.47°時也有類似的現象),這些變化均源于能帶在應變下的改變,而從態密度中可以更加直觀地展現這些變化:峰的合并源于態密度在施加應變后峰型變得扁平,如圖5(a)的①區域,該區域所代表的能帶與第一非莫爾價帶躍遷貢獻出圖6(a)中的特征峰值;峰的劈裂在1.47°時尤其突出,如圖5(b)中的②區域,其態密度自下而上從未施加應變時的“尖銳邊緣型”劈裂為施加應變后的“階梯型”,而由此區域能帶與莫爾價帶之間的躍遷貢獻了圖6(b)中的光電導率特征峰,所以光電導率的特征峰也由“邊緣型”轉變為“階梯型”.對于1.05°的TBG,原本未施加應變時零能處的單個范霍夫奇點在應變下產生劈裂(圖5(a)),莫爾能帶在應變下分離(圖3),這種結果將導致電子的關聯效應減弱,不利于實驗對電子強關聯性質的研究;而伴隨著單個范霍夫奇點的劈裂,1.05°下零能處的Drude峰(圖6(a)中黑色曲線的零點峰)也一并消失,此時光學吸收譜只包含帶間躍遷的貢獻,這一效應在之前掃描隧道顯微鏡的實驗[14]中得到證實.

圖5 TBG的態密度 (a) TBG 在轉角為1.05°,應變大小分別為0%(黑色),0.3%(藍色),0.6%(紅色)時的態密度;(b) TBG 在轉角為1.47°,應變大小分別為0%(黑色),0.3%(藍色),0.6%(紅色)時的態密度;藍色虛線表示正文中所討論的①,②區域的邊界Fig.5.(a) Density of states(DOS) of TBG with 0%(black curve),0.3%(blue curve) and 0.6%(red curve) uniaxial heterostrain at 1.05°;(b) DOS of TBG with 0%(black curve),0.3%(blue curve) and 0.6%(red curve) uniaxial heterostrain at 1.47°.Blue dash lines in panel(a) and(b) represent the boundary of ①,② region,respectively.

圖6 TBG的光電導 (a) TBG 在轉角為1.05°,應變大小分別為0%(黑色),0.3%(藍色),0.6%(紅色)時的光電導;(b) TBG 在轉角為1.47°,應變大小分別為0%(黑色),0.3%(藍色),0.6%(紅色)時的光電導;藍色虛線表示正文中所討論的①,②區域的邊界Fig.6.(a) Optical conductivity of TBG with 0%(black curve),0.3%(blue curve) and 0.6%(red curve) uniaxial heterostrain at 1.05°;(b) optical conductivity of TBG with 0%(black curve),0.3%(blue curve) and 0.6%(red curve) uniaxial heterostrain at 1.47°.Blue dash lines in panel(a) and(b) represent the boundary of ①,② region,respectively.

由此可見,施加一個比較大的應變對TBG的能帶和光電導率均能產生較大的影響,所以通過改變施加應變的大小便能夠調控TBG的電子性質.在實驗上,TBG 樣品往往受到具有空間不均勻性的應變作用,而本文的結果表明測量TBG 局域的光電導率就可以估計其局域的應變大小,從而得到應變的空間分布.

4 總 結

本文用連續模型從理論上研究了轉角為1.05°和1.47°的TBG 光電導率在施加不同大小的單軸應變下所產生的變化.可見在兩個轉角下電導率譜主要由600 meV 以下的幾個特征峰表征,這些特征峰與態密度中的一些范霍夫奇點能量位置之差相對應.隨著應變的逐漸施加,能帶與電導率譜也發生幾乎連續的變化,而這些變化是比較明顯的.也就是說,在實驗上若不考慮應變對于TBG的影響將會使理論結果與實際偏離.對于魔角TBG,應變使得平帶帶寬增大,這不利于研究強關聯效應,所以實驗在對于魔角TBG 系統中強關聯態進行研究時應盡量減小應變;而對于非魔角處的石墨烯,應變的施加也可以使其形成平帶[9,10].這表明通過原位改變應變大小來調控TBG 電子的強關聯效應是可行的.本文的理論結果也為用局域光電導率確定TBG的空間應變大小分布提供了參考.