諧振子勢阱中雙費米原子光鐘的碰撞頻移*

陳澤銳 劉光存 俞振華

(中山大學物理與天文學院,廣東省量子精密測量與傳感重點實驗室,珠海 519082)

原子鐘提供了時間的標準,但原子間的相互作用往往限制原子鐘的精度.本文理論研究了諧振子勢阱中雙費米原子光鐘由于原子間的短程相互作用而在拉比頻譜中引起的碰撞頻移.考慮到原子光鐘中短程相互作用一般較弱,并且晶格光的參數在Lamb-Dicke 區間中,本文近似費米原子的外態不發生改變,進而推導出原子內態在拉比探測光驅動下滿足的運動方程.微擾求解運動方程,得到一階解的解析表達式,從而得到了拉比頻譜的碰撞頻移依賴于拉比探測光參數與在原子特定外態中相互作用的表達式.最后,利用諧振子勢阱中格林函數的解析表達式,得到了有限溫下碰撞頻移與原子間相互作用的關系.研究結果表明,實驗中可以通過精密測量原子光鐘的頻移獲得原子間相互作用的信息.

1 引 言

作為定義時間的科學標準,原子鐘從上個世紀開始就是一個眾多學者致力研究的活躍領域[1,2].而近期迅速發展的光頻原子鐘預示著新一代的時間標準.原子鐘性能的每一步提升都難能可貴,人們通過大量的理論研究和實驗探索,逐漸實現了將抑制原子鐘精度的各種效應所引發的時鐘頻移限制在相對更低的量級下,諸如多普勒效應、光晶格頻移、光子反沖等.長期以來,原子間短程相互作用導致的碰撞頻移在各個階段往往是抑制原子鐘性能的重要因素.所以,對原子光鐘碰撞頻移的研究,不僅對于更高精度原子鐘的研制具有重要意義,而且能夠加深我們對原子相互作用的認識[3?9].

從原子相干性對Ramsey 條紋的影響[10],到費米原子氣體中冷碰撞頻移免疫論斷的推翻[11,12],及玻色原子氣體中碰撞頻移令人困惑的 2 ? 因子的問題[13?17],再到實驗上測量Yb 晶格光鐘的冷碰撞頻移獲得p 波相互作用的貢獻[18,19],人們關于原子光鐘碰撞頻移的認知越來越豐富.而最近實現的三維光晶格中的費米原子氣體可以達到晶格格點上的單位填充[20,21],使得完全避免由原子間短程相互作用引起的碰撞頻移成為可能.

另一方面,對原子光鐘碰撞頻移的精密測量可以提供原子間相互作用的寶貴信息,本研究也明顯地展示了這一點.本文理論研究了諧振子勢阱中雙費米原子光鐘由于原子間的短程相互作用而在拉比頻譜中引起的碰撞頻移,從而得到了拉比頻譜的碰撞頻移依賴于拉比探測光參數與在原子特定外態中相互作用的表達式.并且,利用諧振子勢阱中格林函數的解析表達式,得到了有限溫下碰撞頻移與原子間相互作用的關系.這些結果都表明精密測量原子光鐘的頻移可以成為探測原子間相互作用勢能性質的重要實驗手段.

2 理論模型

本文研究的物理過程是諧振子勢阱中費米原子光鐘在拉比脈沖作用下的光鐘躍遷.為揭示原子間短程相互作用對光鐘躍遷的影響,考慮在諧振子勢阱中的雙費米原子系統.對于該問題,系統的哈密頓量如下:

式中,下標j代表第j個原子,m為原子質量,|g〉和|e〉為原子內態的兩個鐘態,Eg和Ee表示對應能級.原子間的相互作用Hint被分解到兩個原子內態的單重態和三重態子空間中:

假設各子空間中的勢場Uα(r)(α=d,z,u)為中心勢場.本文考慮的諧振子勢阱為一般情況,即3 個方向的束縛頻率ωx,ωy,ωz各不相同.驅動哈密頓量Hdrive來源于拉比探測光與原子電偶極矩的耦合.由于選擇激光頻率ωL接近原子的光鐘躍遷頻率ω0≡Ee ?Eg,即失諧量δ≡ωL?ω0的模量遠小于ω0,我們已采用了旋轉波近似.原則上,拉比頻率Ω(r) 依賴于原子位置r.

3 運動方程

一般情況下,原子間的相互作用能比諧振子勢阱的束縛頻率小很多.假設先不考慮拉比探測光的驅動,那么對于兩個費米原子而言,如果內態處在三重態,則外態波函數應為相應地,如果內態處在單重態,那么外態波函數應為這里的?a(r) 是諧振子勢阱中單原子的本征波函數,具有本征能量?a.而當加上拉比探測光時,為防止在拉比探測光作用下原子光鐘躍遷的同時發生反沖,諧振子勢阱的束縛頻率往往被調得很大,使系統處在Lamb-Dicke 區域,即原子的外態不會發生改變.

顯然,相互作用能的大小依賴于兩個原子空間波函數的交疊情況.由于原子間的相互作用能很小,連同初始值d(t=0)=1,z(t=0)=u(t=0)=0 解析求解(13)式到Uα,ab的一階(詳細結果見附錄A).

4 光鐘頻移

光鐘拉比頻譜的工作程序是將原子制備到|g〉初態,然后拉比探測光施加一個時長為tπ的π脈沖,即Ωtπ=π,接著再測量激發到|e〉態的原子概率Pe.對于本文研究的雙費米原子的問題

拉比頻譜確定頻移的方法是找到兩個拉比探測光的失諧量δr(<0)和δb(>0) ,使得在 π 脈沖后

頻移δs就被定義為

要從(16)式和(19)式推導出δs的解析表達式,我們在藍失諧側選取一個較小的參考失諧量δR(>0) .根據(20)式的定義,有

仍然利用原子間的相互作用能比較小的特點,這樣頻移δs也會比較小.泰勒展開(22)式左邊到δs的一階,得到

將(16)式和(19)式代入(23)式,計算得到

其中

(24)式反映了 π 脈沖激光參數ν=δR/Ω和原子間相互作用能Uα,ab(α=d,z,u)對頻移δs的貢獻.δs只依賴于Uα,ab(α=d,z,u)的差值,因為如果Uα,ab(α=d,z,u)都相同的話,(13)式中相互作用能只是把三重態的能量整體頻移了一下,不可能影響光鐘頻移.圖1 顯示在實驗關心的區間δR/Ω～1/2,A和B的模量都是1的量級.從另一個角度看,(24)式表明通過測量δs在兩個不同δR時的值,就可以反推出Uα,ab(α=d,z,u)之間的差值.如要獲得單獨Uα,ab(α=d,z,u)的值,實驗則需選取特定的量子態使得至少一個Uα,ab(α=d,z,u)的值為 0 .

圖1 光鐘頻移系數(a) A(δR/Ω) 與(b)B(δR/Ω)Fig.1.Coefficient(a) A(δR/Ω) and(b) B(δR/Ω) for clock shift.

在此值得強調的是,以上求解鐘頻移的方法要求拉比譜的線形是光滑的.這一前提對于本文考慮的弱相互作用情形是滿足的,但當相互作用足夠強時,拉比譜會出現邊帶峰[18],這種情況下以上求解鐘頻移的方法就不再適用了.

5 有限溫平均

其中,歸一化系數Z為

6 結 論

圖2 系數 C? 隨溫度的變化 (a) C1;(b) C2Fig.2.Coefficient C? versus temperature:(a) C1;(b) C2.

圖3 當溫度較高時,系數 C? 隨溫度的變化,這里橫軸和縱軸都取對數 (a)線性擬合表達式為 y =5.54203x-3.83918 ;(b)線性擬合表達式為y=6.5296x-0.119146Fig.3.Coefficient C? versus temperature for higher temperature.The horizontal coordinate and the vertical coordinate are logarithmic here:(a) Linear fitting function is y =5.54203x-3.83918 ;(b) linear fitting function is y =6.5296x-0.119146 .

本文研究了雙費米原子拉比激發過程中短程相互作用引起的碰撞頻移.計算結果給出了碰撞頻移依賴于原子相互作用的關系.相較 以前碰撞頻移的理論研究只考慮了s 波及p 波,本文提供了各階貢獻的統一表達式.本文的結果意味著通過精密測量碰撞頻移可以獲得原子間相互作用的重要信息.如果要將本文雙費米原子的結果拓展到多費米原子的情況,可以預見的是,在弱相互作用極限下,多原子體系的相互作用效應仍應來源于原子兩兩之間的碰撞,即相互作用能是所有粒子對的總和,形式為這里fi為費米原子在第i個諧振子本征態上的占據數,gij是占據i和j本征態原子發生碰撞而導致的耦合系數.對多費米原子情況的研究將是我們下一步的課題.

附錄A 運動方程(13)的零階解和一階解

通過微擾的方法可解得運動方程(13)的零階解:

附錄B (29)式的推導

附錄C 高階分波對鐘頻移的貢獻

為了定量化高階分波對鐘頻移的貢獻隨溫度的變化,由(36)式計算截斷求和到第?階的值,即(?) .為了完成定量計算,采用方勢阱模型勢Uα(r)=Uα,0θ(r-r0) .這里勢阱力程r0應為范德瓦耳斯半徑的量級,取成r0=1 nm.而勢阱深度的取值,參考實驗論文[18],分別為Ud,0=0,Ut,0=-4.4π Hz 以及Uu,0=-0.44π Hz.當δR/Ω=1/2 時,如圖C1 所示,當溫度很低時,同時考慮s 波至d 波(s,p,d)時的鐘頻移(?=2) 同只考慮s 波至p 波時的鐘頻移(?=1)的差值極小,即d 波分量引起的鐘頻移接近零.當溫度升高時,以上兩者差值逐漸增大,表明d 波貢獻的鐘頻移量也在逐漸增大.由本文的解析表達式可推知,更高分波的貢獻也有相同的趨勢.

圖C1 同時考慮s 波至d 波時的鐘頻移(?=2) 與只考慮s 波和p 波時的鐘頻移 (?=1)的相對誤差Fig.C1.Relative error of clock shifts between considering s,p,d partial waves((?=2)) and only considering s,p partial waves((?=1)).