六軸工業機器人的運動學分析

朱奕錕

（武漢紡織大學 機械工程與自動化學院，湖北 武漢 430073）

1 六軸工業機器人的介紹

通過研究六軸工業機器人的動力學結構設計能夠較為明顯地減輕機器人的重量。同時因為大臂是中空的結構，所有的外接設備以及電纜都可以放在大臂之中，這樣一來，機器人的場地適應能力增強，大大提升了機器人的靈活程度。六軸工業機器人的安裝是比較簡單實用的，如果正常使用的話，則采取正裝的方法；如果需要倒立安裝，則應該安裝在天花板上。以FANUC ARC100i 型六軸工業機器人為例，其常規自由度數為6，重復定位精度為0.08，臂腕處的負載為6kg。

2 六軸工業機器人的數學理論基礎研究

想要操作工業機器人，需要控制工業機器人的末端操作器，利用操作器來操作相關的零件與工具在空間之中進行運動，常常采用的方法便是將問題放到坐標系之中技能型研究進行坐標系的定義和表述。

2.1 位置、姿態與坐標系

選定一個坐標系，并采用3×1 的位置矢量來任意選定坐標系中的某一點。采用三個互相正交的單位矢量來表示直角坐標系{A}，點AP 的位置由一個矢量來表示，其中AP 表示點P 相對于直角坐標系中{A}的位置，即AP=[PxPYPZ]。

其中圖1 表示的是AP 相對于坐標系的位置。

圖1 AP 相對于坐標系的位置

空間中某個點的位置都可以采用矢量的方法進行表示，重新建設一個新的直角坐標系{B}，坐標系{B}的原點重合于點P，用XB、YB、ZB來表示直角坐標系{B}中X、Y、Z三軸的單位矢量。AXB、AYB、AZB則是采用直角坐標系{A}下進行表達，此直角坐標系下組成的旋轉矩陣采用ABR 來表示，即

圖2 表示的是新建坐標系與原有坐標系之間的位置關系。

圖2 位置關系確定

構建坐標系來確定位置關系的主要目的是準確描述機械臂的位置，通過確定空間坐標系下的三個矢量，來組合成一個完整的坐標系位置矢量。

2.2 坐標映射

在兩個坐標系位置相同的情況下，對于位于不同坐標系中的矢量通常會采用平移的手段來進行處理。但是除了平移之外，坐標系還可以繞X、Y、Z 三軸進行旋轉。常規坐標系的映射是指兩個坐標系的原點不重合，存在著一定的矢量偏移，必須要同時經過平移以及旋轉才能夠保證兩個坐標下進行重合，其內容采用公式表示為以下內容：

3 建模分析

3.1 連桿參數及其數據分析

由于六軸工業機器人是一個連桿機構，因此，在本文章的研究過程中需要將其理解成為開環系統進行分析，整個系統具有六個轉動關節、六個連桿。在整個系統之中基座并不屬于連桿結構的范疇，為此可以將基座命名為連桿0 號，然后按照數字順序從1 到6，來命名剩余的連桿部位。將基座標系與工業機器人的固定底座連接到一起，并且在每個坐標系中建立一個標準的坐標系，然后將坐標系之間通過齊次變換矩陣，矩陣中的元素通過連桿長度、連桿轉交、連桿偏距以及關節角四個連桿參數內容進行組成。

如圖3 所示，i 為中間的連桿，i-1 以及i+1 分別代表i 連桿左右兩邊的相連接連桿。其中的垂線長度由a 表示，評價夾角由α 來表示，連桿之間的間距則是由d 表示，平面之間的夾角則是由θ 表示。根據六軸工業機器人的結構順序，可以將腰結構命名為關節1，轉角命名為θ1。肩結構則是命名為關節2，轉角命名為θ2。以此類推，則是對六軸工業機器人的整個結構進行關節命名。下面則是構建坐標系，沿著關節軸畫出延長線，其中軸線i 以及軸線i+1 之間畫出公垂線，并將其與關節軸i 進行連接，連接的交點作為坐標系的原點，將關節軸i 作為z軸，公垂線作為x 軸方向，y 軸則是采用右手定則來判斷而出。當六軸工業機器人的第一關節矢量為0 的時候，一坐標系與0 坐標系重合在一起，此時六軸工業機器人的連桿所構成的坐標系則是如圖4 所示。

圖3 相鄰連桿改進的D-H 參數

圖4 六軸工業機器人的連桿坐標系

根據六軸工業機器人的使用說明，將各個連桿的起始位置參數整合在一起，如表1 所示。

表1 六軸工業機器人的D-H 參數數據表格

3.2 根據坐標線構建運動學方程

為了讓圖解清晰以及方便描述，每個連桿定義為三個中間坐標系，分別為坐標系P、坐標系Q、坐標系R，如圖5 所示。在確定完坐標系之下，則是標出x 軸以及z軸，因為坐標系以及軸之間存在著空間位置的關系，為了區分，可以采取如下方法。

圖5 D-H 坐標系

首先，坐標系R 與坐標系i-1 之間的空間位置可以通過i-1 軸旋轉α 來得到。坐標系Q 以及坐標系R 則是可以由軸i-1 在位移a 距離之后得到。坐標系P 以及坐標系Q 則是可以由i-1 軸通過位移距離d 之后得到。坐標系i 以及坐標系P 則是由i-1 軸通過旋轉θ 得到。在確定各個坐標系以及軸的位置之后，在矩陣的基礎上，采用齊次變換的方式來對坐標系來對工業機器人進行平移與旋轉，并嘗試利用鏈式的原理，將相對坐標系的矩陣進行變換，即

通過對上面的公式進行平移、旋轉等變換時，可以發現，每個公式所包含的連桿參數只有一個，這表明圖5 之中的坐標系，可以表示為以下公式：

將各個參數代入到變換的矩陣之中便可以計算出一般表達式，一般表達式如下。

想要獲得機器人肘關節六個變化的參數，需要對其建立坐標系，并通過分析坐標系的連桿參數。我們可以將這些變量分別進行命名，采用符號加上數字的形式，如θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6。對于基座的末端操縱器來講，想要實現矩陣變換，也應該圍繞上述六個參數開展，其表達公式則是如下所示：

此函數是關于六軸工業機器人六個關節變量的函數，根據此關節變量函數可以推斷出其他變換矩陣的表達公式如下所示：

4 運動學研究

通過上面的分析，我們已經知道了機器人的連桿參數以及肘關節轉動的角度，加之已經求得末端操作器的位置矩陣方程，那么只需要將這些內容代入到運動學方程中，并對得到的方程進行矩陣變換，便可以求出相對于遠點的坐標系矩陣方程，即為下面的公式：

在上述的表達公式中，Px、Py、Pz分別表示末端操作器的位置。nx、ny、nz、ox、oy、oz、ax、ay、az分別表述末端操作器的姿態。如果將六軸工業機器人的各個關節角分別命名為θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6。將這些參數整合到公式之中，可以得到以下公式：

在這些公式之中，s1=sinθ1、c1=cosθ1、s23=sin（θ2+θ3）、c23=cos（θ2+θ3）。如果在初始位置過程時，工業機器人每個關節結構的變量都按照0 來計算，那么D-H 參數可以準確求出運動學公式的結果，如下面公式所示。

5 六軸工業機器人運動學仿真

5.1 六軸工業機器人建模

在建模過程中我們使用的是MATLAB 這款軟件。這款軟件主要是利用程序之中的算法，將復雜的數據進行復雜的計算，從而實現數據的可視化目的。實現數據可視化這一工程主要是因為該款軟件具有圖形處理的功能。這樣一來，使用人員便可以從復雜的數學計算工作中脫離出來，而將這種數學計算的復雜任務交給該軟件。同時，該軟件除了數學計算的功能之外，還蘊含了其他大量的工具，這些工具在處理圖形和構建數學模式上有著獨特的優勢。

5.2 六軸工業機器人正運動學仿真驗證

本小節內容主要采用對比的方法來驗證機器人的運動學方程是否正確。步驟如下，首先在了解工業機器人初始狀態下各個關節軸轉動角度的基礎上，將這些參數代入到運動學方程之中，并將其輸入到MATLAB 程序中，從而得出正確的答案。如果人工計算和軟件計算的方式是一樣的，那么可以驗證答案為正確的，但是如果二者的答案不一樣，這說明運動學方程是存在這樣一定誤差或者錯誤的。

計算結果如表2 所示。

表2

通過對表格進行深入分析，我們可以發現計算的答案與軟件程度得到的答案是完全一致的，這說明文章中的工業機器人正逆運動學方程是正確的。

6 結束語

文章首先介紹了本文的研究對象為六軸工業機器人，分析了六軸工業機器人的數學內容，然后采用參數方法建立了運動學方程。通過齊次變換的形式推導出了答案。為了驗證答案，利用了MATLAB 軟件，最終證明正逆運動學方程式正確。將六軸工業機器人應用在實際的生產之中，能夠有效提升生產的效率，對于中國現代化建設有著積極的意義。