混合策略改進灰狼優化算法的函數優化*

黨星海 王夢娟

（1.蘭州理工大學土木工程學院 蘭州 730050）（2.蘭州理工大學建筑勘察設計研究院 蘭州 730050）

1 引言

近20年來，群智能優化算法得到了快速發展，已經成為解決科學和工程領域優化問題的有效手段，典型的有粒子群算法、蟻群算法、差分進化算法、引力搜索算法等。它們各自體現了不同的優化性能，但目前仍沒有一種算法能夠解決所有優化問題，為此，探索新的、高效且適應范圍廣的優化算法十分必要［1～3］。

灰狼優化（Grey Wolf Optimizer，GWO）算法是由Mirjalili等［4］于2014年提出的一種新型的群智能優化算法。該算法一方面模擬了自然界灰狼群體覓食行動，表現出了驚人的群體智能，另一方面具有較少的設置參數和較優的全局搜索能力，因而得到人們日益增長的重視。目前，GWO算法已經成功應用于表面波參數優化、傳感器網絡訓練、直流電機最優控制、經濟調度指派問題等領域中。但是在實際使用中，人們發現基本GWO算法和其他優化算法一樣，存在易陷入局部最優的缺點。為了解決這個問題，國內外學者展開了研究。國外的研究，如：文獻［5］提出反向學習策略，用來實現GWO算法的并行化；文獻［6］提出在GWO算法中嵌入動態種群算子，用來增強算法的局部搜索能力；文獻［7］提出加權距離策略，用來調整GWO算法的位置更新方程。國內的研究，如：文獻［8］提出混沌和精英反向學習的混合策略來改進GWO算法，在求解高維優化問題上取得了顯著效果；文獻［9］構建了一種DE和GWO的混合算法，在一定程度上增強了算法的全局搜索能力；文獻［10］在GWO算法中嵌入選擇算子和更改線性收斂因子，提升了算法跳出局部最優的能力。盡管GWO算法得到了一些優化，但算法在搜索精度、尋優穩定性和收斂速度上仍不是很理想。

在前人研究的基礎上，本文提出了一種新型混合改進策略，旨在進一步增強GWO算法的尋優能力。主要貢獻有：1）提出了分群優化策略，以加強算法局部搜索和全局搜索之間的信息交換；2）提出了高斯變異和隨機擾動策略，以維持算法進化過程中的種群多樣性。通過引入包含單峰、多峰和固定維度多峰的多個基準測試函數，仿真實驗驗證了改進GWO算法的有效性。并與其他幾種先進優化算法的綜合比較與分析中，改進算法在搜索精度、尋優穩定性和收斂速度上體現出了明顯優勢。

2 基本灰狼優化算法

灰狼是一種體型健碩的犬科類物種，多以群居為主。它們通常以5～12頭灰狼聚集成一個具有嚴格社會等級制度的群體，如圖1所示。圖1描繪了灰狼群體內的金字塔等級制度，具體為金字塔頂端的狼稱為α，是整個灰狼群的領導者，負責群體各項事務的決策；第二層的狼稱為β，協助α的管理，當群體中缺失α時，β接替；第三層的狼稱為δ，聽從α和β的指令，可以指揮其他底層狼；最底層的狼稱為ω，負責群體內部關系的平衡，完成高層狼交代的任務［11～13］。

圖1 灰狼金字塔等級圖

灰狼群體狩獵時，由α帶隊，β和δ進行協助，其余ω聽從上層指揮，實施對獵物的包圍、獵捕和攻擊。首先，灰狼群對獵物進行包圍，該過程的數學描述為

其中：Xp表示獵物的位置；X(t)表示第t代時灰狼個體的位置；A和C為系數向量；r1和r2為［0，1］的隨機向量；a為收斂因子，a=2-2t/T，T為最大迭代次數。其次，灰狼群進行獵捕。該過程由α、β和δ狼來引導，更新灰狼個體位置，數學描述如下：|A|＞1灰狼散去，進行全局搜索。

最后，灰狼群進行攻擊，完成捕獲獵物這一目標，即GWO算法獲得的最優解。攻擊行為主要依據式（3）中a值由2遞減到0來實現。當|A|＜1時，灰狼群對獵物集中攻擊，對應于局部搜索；當

3 改進灰狼優化算法

3.1 分群優化策略

混合蛙跳算法［14］是一種模擬青蛙覓食行為的群智能算法。青蛙群覓食過程中，各個不同種群的青蛙分別覓食，種群內最差的青蛙不斷調整覓食位置，向種群內最好的青蛙靠攏；調整完成后，所有青蛙聚集在一起，交換覓食信息；交換完信息后，再次分群覓食。該過程將局部搜索與全局搜索結合起來，使得算法向著全局最優解的方向進行。借鑒混合蛙跳算法局部和全局信息交換的思想，本文將其應用于灰狼優化算法，構建一種基于分群優化的灰狼優化算法，如圖2所示。

圖2 算法的分群優化過程

對于一個d維的優化問題，首先，隨機生成具有F個灰狼（解）組成初始群體(X1,X2,…,XF)。其中，表示問題的第i個解。每個灰狼具有獨自的環境適應能力。通過量化灰狼的環境適應能力，則可以將所有灰狼個體依據適應度值大小進行排列。通過給定灰狼子群體M，將適應能力排名第1的灰狼劃分入第1子群體，排名第2的灰狼劃分入第2子群體，排名第M的灰狼分入第M子群體。接著，將排名第M+1的灰狼分入第1子群體，排名第M+2的灰狼分入第2子群體，以此類推，一直劃分完所有的灰狼個體。劃分完成后的每個子群體實施局部深度搜索，即在每個子群體內實行GWO。最后，當所有的灰狼子群體局部搜索完成后，所有的灰狼個體匯集并依據適應度值大小重新排列，并再次劃分灰狼子群體實施局部深度搜索，如此反復直到滿足預設的混合迭代次數結束。

3.2 基于貪婪策略的高斯變異和隨機擾動

在進化后期，GWO算法內灰狼種群個體多樣性大量減少，即重復的個體越來越多，如果發生局部收斂情況，那么GWO算法將很難跳出該收斂情況。對于進化類算法，一種比較好的解決思路是維持種群的多樣性［15］。跟隨這種思路，本文提出高斯變異和隨機擾動策略，以維持GWO算法進化過程中的種群多樣性，進而增強算法擺脫局部最優解的能力，保證算法的搜索精度。

在每代灰狼種群更新之前，首先計算當前種群的平均適應度值，然后對該種群所有適應度優于平均適應度值的個體X1(t)采用高斯變異，否則進行隨機擾動。高斯變異的新個體為

其中：N(0,1))表示期望為0，標準差為1的正態分布隨機數。基于貪婪策略的個體更新如下：

對于該種群所有適應度劣于平均適應度值的個體X2(t)采用隨機擾動，隨機擾動的新個體為

其中：lb和ub分別為灰狼個體位置的下界與上界；r3為［0，1］的隨機向量。基于貪婪策略的隨機擾動個體更新如下：

進化前期，高斯變異、隨機擾動策略使得算法快速尋找最優解；進化后期，增加種群多樣性，為跳出局部最優創造了條件。

3.3 改進灰狼優化算法實施步驟

圖3給出了改進灰狼優化算法的基本流程。

圖3 IGWO算法流程

其具體實施步驟如下。

步驟1參數初始化。給定灰狼子群數M，子群內灰狼數N，子群內搜索次數I，混合迭代次數J，并初始化a、A和C參數；

步驟2依據搜索問題的上界和下界，隨機初始化灰狼種群F=NM；

步驟3通過適應度函數量化每個灰狼個體的適應能力，并依據適應能力優劣排列所有灰狼個體，按照3.1節所述分群策略依次劃分到各個給定的子群體中；

步驟4通過適應度函數計算當前子群體的平均適應度值，如果適應度優于平均適應度值的灰狼個體，按照式（12）、（13）進行高斯變異；否則，按照式（14）、（15）進行隨機擾動；

步驟5選擇適應度最優的前三頭狼α、β和δ；

步驟6依據式（5）～（11）更新其他狼位置；

步驟7更新參數a、A和C；

步驟8如果達到子群內搜索次數I，則轉到步驟9，否則返回步驟4；

步驟9將所有子群體的狼混合；

步驟10如果達到混合迭代次數J，則輸出混合群體中最優α的適應度值，否則返回步驟3。

4 仿真實驗

4.1 測試函數和實驗設置

為了說明改進灰狼優化算法（IGWO）優越性，本文利用文獻［9］提出的HGWO算法、本文提出的IGWO算法以及基本GWO算法和其他智能優化算法GSA和DE對18個基準測試函數［16］進行了一一測試。這18個基準測試函數主要分為三類：第一類為單峰基準測試函數F1～F6，見表1；第二類為多峰基準測試函數F7～F12，見表2；第三類為固定維度多峰基準測試函數F13～F18，見表3。為保證公平，統一設置了所有算法的種群規模和最大迭代次數分別為30和500。此外，DE縮放因子為0.5，交叉概率為0.2；IGWO參數設置為M=10，N=30，I=50，J=10，以上參數設置均保證了各算法達到收斂狀態。

表1 單峰基準測試函數

表2 多峰基準測試函數

表3 固定維度多峰基準測試函數

4.2 實驗結果與分析

實驗中考慮了優化算法搜索結果的隨機性，故分別獨立運行各個算法30次，并以該30次運行結果的均值和標準差分別評價算法搜索精度和穩定性兩項指標，測試結果見表4～6。

表4 單峰基準測試函數測試結果

從表4～6中可以看出，相較于HGWO算法，除函數F3、F7、F9和F11外，IGWO算法的搜索精度更優，穩定性更好；相較于基本GWO算法，除函數F3外，IGWO算法的無論在搜索精度還是尋優穩定性上均明顯好于GWO算法；相較于GSA和DE算法，針對單峰、多峰以及固定維度多峰基準測試函數，IGWO算法在搜索精度上均體現出了明顯優勢，且尋優十分穩定。綜上，說明了IGWO算法是一種具備搜索精度和穩定性皆好的優化算法。

表5 多峰基準測試函數測試結果

表6 固定維度多峰基準測試函數測試結果

為了直觀體現IGWO算法的優越性，圖4給出了五種優化算法對不同基準測試函數的平均收斂曲線。考慮到篇幅限制，僅代表性地給出了針對種群1的單峰基準測試函數F1、多峰基準測試函數F7和固定維度多峰基準測試函數F13的平均收斂曲線。可以看出，IGWO算法的收斂精度明顯優于另外四種優化算法，且在收斂速度上也具備一定優勢。

圖4 函數F1、F7和F13的收斂曲線

5 結語

灰狼優化算法是一種新型的群智能算法，針對其易陷入局部最優的缺點，本文提出了一種混合改進策略。受混合蛙跳算法的啟發，提出分群優化策略，加強了算法局部搜索和全局搜索之間的信息交換；通過采用高斯變異和隨機擾動策略，維持了算法進化過程中的種群多樣性。通過18個基準測試函數的數值實驗，驗證了改進算法的有效性。相比于四種先進的優化算法：混合灰狼優化算法、基本灰狼優化算法、引力搜索算法和差分進化算法，本文所提改進灰狼優化算法在搜索精度、尋優穩定性和收斂速度上體現出了明顯優勢，進一步推進了灰狼優化算法的改進研究。針對目前卷積神經網絡、長短時記憶網絡、深度置信網絡等深度網絡搭建過程中的網絡層數、神經元、學習率等參數難確定問題，下一步工作將集中于改進灰狼優化算法在深度學習模型參數優化中的應用。