跨越數形

吳安

摘要：數學是研究數量關系（數）與空間形式（形）的學科，聚焦于數和形有效的統一。以數論形，形有數時更入微，讓數的量化研究形的直觀;以形表數，數有形時析本質，讓形的表象具化數的精確;數形結合，實現數的可視化和形的數量化，形數互聯提思維。

關鍵詞：以數論形 以形表數 數形互聯 持續發展

引言

雖然數形結合思想是小學階段學習中最常用的數學思想之一，但是實際教學中，教師更偏重以形解數，即基于幾何直觀，利用圖示等直觀的特性，探究已知條件和問題之間的數量關系，輔助解決實際問題。而圖形現象算法化，數形結合相印證的課堂實踐相對甚少，《分數乘分數》一課是一個很好的載體，本文試圖從數形結合角度出發，從以數論形、以形表數和數形結合三方面對《分數乘分數》一課進行解析和架構，探索數形結合思想在課堂教學中的實踐與應用。

一、以數論形，形有數時更入微

數學抽象于現實世界，對數學的學習能不斷完善學生已有認知的知識結構體系，因此我們的數學教學和學習具有抽象性、關聯性及延展性。開展《分數乘分數》教學的基礎是學生已經掌握分數與涂色表示的一一對應關系以及求一個數的幾分之幾是多少可以用乘法計算等，為實現從靜態觀察到動態生成，突出分數乘分數產生的過程，展示思維思考層次。教學從一張紙的二分之一展開，“你想到哪個分數，為什么？”接著再出示涂色二分之一的四分之一（圖1）。

讓學生想想這時候又該用哪個分數表示，有的學生說是四分之一，有的學生說是八分之一。此時產生認知沖突，引發思考：同一個涂色部分為什么會用兩個分數表示，這兩個分數之間有什么聯系？學生不難發現單位“1”不同，長方形二分之一的四分之一就是這個長方形的八分之一，繼而記錄二分之一的四分之一是八分之一;帶領學生經歷圖形產生的過程之后，出示第二幅圖（圖2）。

這時候的涂色部分可以用哪些分數表示，它們之間有什么聯系？得出二分之一的四分之三是八分之三;接著讓學生通過圖形分析的含義列出算式，認識到從簡單的涂色開始研究出新的分數乘分數的內容，也讓學生感受到以數論形可以讓圖形呈現的信息更細致，促進學生感知知識產生過程，架構分數乘分數的概念本質，接著出示（圖3）。

讓學生再來說說這幅圖表示什么意思。算式呢？交流明白五分之三的四分之三是二十分之九，即五分之三乘四分之三等于二十分之九。相較于前面的分法，這個稍有難度，只為進一步提高學生以數論圖的能力。

當回顧前面看圖、識圖的過程，提問今天學習分數及涂色表示和以前學習的分數有什么不同時，學生經歷由扶到放，能夠明白這其中還蘊含著分數乘分數的計算，也能切實感受到分數乘分數的本質其實就是“先分——先取——再分——再取”的過程。從圖形的表象描述到數據的深入刻畫，相信能夠導向學生看形思數的思考方式，引導學生養成基于圖形視覺感知的過程領悟數量關系的能力。

二、以形表數，數有形時析本質

數學的課堂教學不僅僅是知識的傳授，還有數學學習方法的獲取，從現象的感知到本質的探究是學習和認知向更高層次發展的過程，也是學生規律探究、結論生成、模型建構的漸進過程。通過前面以數論形的先見，根據已有經驗或觀察、或思考，學生不難發現分數乘分數的算法是分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但這只是表象的猜想，事實是否如此，我們需要進一步的驗證，出示書本例子（圖4）。

三分之二分別乘五分之一和五分之四表示什么意思？它們的結果是多少？你能通過畫圖驗證嗎？在開放的情境中自主探究數的運算與圖示表征之間的關系，在“發現問題——提出猜想——舉例驗證——得出結論”的過程中，學生不僅能習得基礎知識，還能獲取數學學習的基本技能;此時追問：分數的分子相乘和分母相乘的積的結果表示什么？你能在圖中指一指嗎？（圖5）

以形表數，從數據的運算到圖形的表征，學生不僅能在探究的過程中明晰分數乘分數的算法，也能明白這樣算的道理，即“先分——先取——再分——再取”的認知現象到“一分再分的積就是分母，一取再取的積即分子”算理的概念本質;也知道遇到問題如何思考，如何利用不完全歸納方法從表象抵達結論的實踐。在教學中不斷積累探究數學規律的基本活動經驗，也不斷促使學生挖掘結論背后的數學本質。

三、數形結合，形數互聯提思維

數形結合，實際上是以數論形、以形表數、形數互聯的緊密融合。這要求教師在教學過程中不斷引導與滲透，啟發學生由形的直觀關聯數的抽象，由數的抽象聯想形的直觀，使學生在探究中實現數形互化、相互映襯的數學學習思考能力的提升。

當探究分數乘分數的算法和算理之后，繼而進行相應的練習，出示練一練（圖6），看圖說說算式的意思，并說說可以怎樣計算。而后追問：在圖中，分子相乘和分母相乘表示什么？你能在圖中指一指嗎？

聚焦于第2個算式，首先關注計算，比較一下，這個計算和前面遇到的分數乘分數有什么不一樣的地方？我們計算時需要注意什么呢？建構和分數乘整數知識計算法則的聯系，發現實際上我們可以先約分再計算，這樣更簡便;再次關注圖形，這里的得數是十分之三，你還能在圖中找出十分之三嗎？約分計算和圖示之間有什么變化？前面學生已經很好地掌握數的運算和圖示表征算理之間的關聯，但又遇含有約分的新情境，在辨析、對比中進一步感悟分數乘分數的運算、約分及算理之間的聯系。至此，學生已經完全掌握分數乘分數的算法和算理;接著再出示試一試第1題，你能先約分再計算嗎？試著算一算。匯報交流之后，追問：想一想，若是畫圖又該是怎樣的？約分的過程呢？學生或畫圖嘗試、或想象建構、或自由討論，最后出示圖示過程，尤其是第二個計算中進行兩次約分過程（圖7），約分的3乘4，即是12。再次進一步鞏固算法、約分和算理之間的連接，讓學生在不斷深入中深度思考。

出示試一試第2題，前面學習的是分數乘整數，我們知道整數是特殊的分母為1的分數，你能用分數乘分數的方法計算下面各題嗎？在計算之后交流分數與分數相乘與分數與整數相乘之間的聯系，適時追問十一分之二乘三用畫圖表示是怎樣的？和分數乘分數之間有什么不一樣？（圖8）

讓學生在對比中發現分數乘分數和分數乘整數之間的區別與聯系，構建從特殊的分數乘整數到一般的分數相乘相關聯的知識結構體系。

以上教學設計雖主要針對分數乘分數的計算，但是關注的重點不僅僅是計算，更關注通過算法和算理之間的互通有無，有涉及約分的深入思考，有牽涉與整數相乘的區別的辨析。通過數形互化、形數結合，在教學實踐中不斷嘗試和滲透，相信能夠切實提升學生的高階思維水平。

如何讓學生積累基本活動經驗，感受數學基本思想，如何發展學生的數學核心素養……不管還有哪些，一定是在一節節課堂中落地，這必將是一個長期的循序漸進的過程，本節課就是朝著這樣的方向思考與踐行的。課程標準中關于運算能力提出能正確運算、能理解算理并能簡潔解決問題等三方面要求。可見會算只是基礎，我們需要在教學實踐中充分挖掘知識背后的方法與思想，而經歷探究知識產生的過程，獲得探究問題的思考方式就是這節課需要積累的數學經驗的學習路徑，數形結合的互通互聯就是我們需要關注的數學思想。相信只有在一節節多角度、多維度、多深度的課的思索中，才能讓學生形成持續發展的數學核心素養。