“解三角形”基本活動經驗的列舉與描述

李永革

摘要：對數學基本活動經驗進行列舉與描述是數學基本活動經驗外顯化的標志。對基本活動經驗的描述可以從形成背景、內容界定、類型劃分、價值分析方面展開。高中“解三角形”模塊包括“借助向量運算，探索邊角關系”“合理選擇正、余弦定理”“代數視角下研究最值與范圍”等基本活動經驗。

關鍵詞：解三角形 數學基本活動經驗 列舉與描述

數學基本活動經驗具有較強的內隱性，屬于緘默性知識。研究表明，它和數學中其他“三基”一樣，同樣可以列舉與描述。對基本活動經驗的描述可以從形成背景、內容界定、類型劃分、價值分析方面展開。列舉與描述的過程，可以將內隱的經驗外顯化。實現從自然狀態向教育形態的轉變，有助于一線教師更好地落實“四基”課程目標。“解三角形”是高中數學重要的知識模塊，依據上述研究思路，本文對該模塊部分基本活動經驗進行列舉與描述。

一、數學基本活動經驗的理解

數學基本活動經驗，是指在數學目標的指引下，對具體事物進行觀察、操作、思考，由感性認識向理性認識飛躍時所形成的觀念、體驗與認識。它本質上是形成一定的思維模式，建立一種數學直觀。

可從三個方面加深對數學基本活動經驗的理解。首先，它具有較高的應用價值。它能有效地指導相關數學活動、促進學生的認知發展。其次，它不是高難度的，是全體學生應該達到的共同必備基礎。最后，與形式化的數學知識相比，它相對比較模糊，沒有明確的邏輯起點，也沒有清晰的邏輯結構。

二、數學基本活動經驗的類型劃分

標準不同，數學基本活動經驗可以劃分為不同的類型。本文根據數學基本活動經驗所包含的成分將其劃分為體驗性、認知性、技能性、觀念性四種基本活動經驗。

三、經驗的列舉與描述

（一）“借助向量運算，探索三角形邊角關系”的經驗

1.形成背景

“借助向量運算，探索三角形邊角關系”的經驗是學生在人教A版《數學5》第1節“正、余弦定理的證明過程”中獲得的。正余弦定理的向量證法，首先從三角形中構造出向量等式實現幾何條件向量化;然后通過點乘單位向量、向量等式兩邊平方等方法實現向量等式的數量化，最后推導出三角形的邊角關系，實現對三角形邊角關系的定量刻畫。事實上，學生在“平面向量”一章已積累了一定的向量法研究幾何圖形性質的經驗。例如利用向量的數乘運算證明平面內兩直線平行或重合，證明平面內三點共線，證明線段的倍分關系;利用向量的數量積運算證明平面內兩直線垂直或求距離;利用向量的夾角公式求兩直線夾角。以上活動經驗為本經驗的獲得奠定了基礎。

2.經驗名稱

“借助向量運算，探索三角形邊角關系”的經驗。

3.內容界定

該經驗一般先在三角形中建立某種向量等式，然后借助向量數量積運算實現向量條件數量化，最后整理化簡，推導出所需要的三角形邊角關系。

4.類型劃分

由于該經驗反映的是運用向量工具探尋三角形邊角關系的一種運算方法與技巧，故將該經驗歸屬于技能性經驗。

5.價值分析

（1）有助于基礎知識的掌握。學生獲得該經驗后能更好地理解正余弦定理證明過程，從而更加深了對定理的理解。

（2）體現了課標的教學要求。2017年版新課標指出：向量是溝通代數與幾何聯系的橋梁，是學習研究數學其他領域問題的基礎，它是貫穿在高中數學課程中的一條主線。

（3）體現了教材的編寫意圖。正余弦定理的證明方法很多，教材有意識地安排向量法，體現了編者對向量工具性作用的重視。

（4）有利于完善認知結構。獲得該活動經驗，可以更好地感受向量與三角學之間的聯系，加強對數學學科的整體性認識。對數形結合思想的運用也會有新的體會和認識。

（5）體現高考的要求。通過數量積運算實現向量條件數量化是高考的重要考點。

二、“合理選擇正、余弦定理”的經驗

（一）形成背景

是在學習“四種基本解三角形問題”和“判定三角形形狀”中獲得的。

（二）經驗名稱

“合理選擇正、余弦定理”的經驗。

（三）內容界定

1.解三角形，若已知元素為“兩角一邊”或“兩邊和其中一邊對角”，一般先用正弦定理。

2.解三角形，若已知元素為“兩邊和夾角”或“三邊”，一般先用余弦定理。

3.“已知式中若含有邊的二次式或角的余弦”，常選擇余弦定理轉化邊角。

4.“已知式中若含有邊的齊次式或角的正弦”，常選擇正弦定理轉化邊角。

應用數學公式建立等量關系，求出未知量，這是學生已有的解題經驗，但不同的數學公式所含的量的種類不同，公式的結構特點也不同。這就對每一個公式的適應范圍構成影響。正弦定理和余弦定理都有多個表達式，每一個表達式中都含有三角形的四個基本元素，可以實現“知三求一”。但兩個定理中所含的邊角種類不同，正弦定理每一個公式中含兩對邊角，而余弦定理每一個公式中含三條邊和一個角。正弦定理中邊是一次（齊次），而余弦定理中邊是二次（齊次）。正是上述結構特征導致了兩個定理的應用情境不同。

（四）類型劃分

由于該經驗反映的是在運用正、余弦定理求解三角形未知元素，判定三角形形狀過程中的運算技巧，故將該經驗歸屬于技能性經驗。

（五）價值分析

1.有助于基本技能的形成

靈活運用正、余弦定理解四種基本類型的解三角形問題和判斷三角形形狀是本單元的基本技能，獲得該經驗有助于這兩項技能的習得。

2.貫徹課標的教學要求

新課標明確要求，掌握正、余弦定理，能熟練運用這兩個定理解決一些簡單的實際問題。積累“合理選擇正、余弦定理”的活動經驗，可有效提高正、余弦定理的運用水平。