一種基于單幅圖像的相機標定方法

徐 杰

(北京城市學院3D打印研究院，北京100083)

0 引 言

在現代機器視覺和工業測量中，人們通常用張正友方法［1］對攝像機的內外參數進行標定。其好處是，使用一塊帶有特征點的平面標定板即可（平面板容易生產），且標定精度高。但該方法需要拍攝至少3幅不同角度的標定板圖像（通常要拍攝10幅左右的圖像），才能完成標定，標定工作時間長、容易出錯，給實際應用帶來一定的麻煩。此外，當多個相機需要同時標定時，不容易找到對所有相機都合適的標定板角度和位置，容易漏拍、錯拍，需要仔細調整角度位置，否則會產生算法錯誤，使標定成為一個繁瑣的工作。

針對上述情況，本文提出一種標定方法（是作者對已發表論文［2］的改進），使用平面標定板，只拍一幅圖像即可完成標定，操作簡單方便，且標定精度高。

1 攝像機模型

攝像機的標定，就是要確定相機內、外參數。外參包括相機的空間位置和姿態，內參包括相機的焦距、畸變等。計算相機的空間位置和姿態，涉及到世界坐標系、攝像機坐標系和焦平面坐標系等，以及各坐標系之間的變換關系。

1.1 標定中的幾種坐標系［3］

（1）世界坐標系（Owxwywzw）。 世界坐標系（Owxwywzw）是在環境中選擇一個基準坐標系，描述攝像機和物體的位置。一般以標定板為基準建立世界坐標系。標定板中心為世界坐標系原點，標定板法向上方向為世界坐標系Z軸方向。

（2）攝像機坐標系（Ocxcyczc）。 原點在攝像機光心，zc軸為攝像機光軸，與攝像機焦平面垂直，xc、yc軸分別平行于焦平面坐標系的xu軸和yu軸，且方向相同，如圖1所示。

圖1 世界坐標系、攝像機坐標系和焦平面坐標系及其變換關系Fig.1 World Coordinate，Camera Coordinate，Focal plane Coordinate and relations

（3）焦平面坐標系（Ouxuyu）。 物體在攝像機焦平面上成像，該坐標系以實際物理長度為單位，原點為攝像機光軸與焦平面的交點，xu軸、yu軸分別平行于圖像坐標系的u軸和v軸，且方向相同。

（4）圖像坐標系（Ofuv）。CCD傳感器陣列在焦平面上，將物像轉換為像素圖像，圖像坐標系以像素為單位。圖像的橫向為u軸，縱向為v軸，如圖2所示。

圖2 焦平面上的圖像坐標系(Of uv)與焦平面坐標系(Ou xu yu)的變換關系Fig.2 Image Coordinate(Of uv)and Focal plane Coordinate(Ou xuyu)relation

1.2 各坐標系之間的轉換關系

坐標系之間具有一定的轉換關系。其中包括:世界坐標系與相機坐標系、相機坐標系與焦平面坐標系、焦平面坐標系與圖像坐標系等。

（1）世界坐標系與攝像機坐標系的轉換關系

設世界坐標系中物體點的坐標為（xw，yw，zw），物體點在攝像機坐標系中的坐標為（xc，yc，zc），則有:

（2）攝像機坐標系與焦平面坐標系的轉換關系

設物體點在攝像機焦平面成像的坐標為（xu，yu），則有:

其中，s為比例系數；fx、fy分別為鏡頭焦距在x、y軸方向的值；γ為成像平面與光軸不垂直造成的偏差系數；（Δu，Δv）為像平面中心與光軸穿過像平面位置的偏差值。理想情況下:

則有:

其中，f是攝像機鏡頭焦距。

由于攝像機鏡頭有畸變，實際物體點在焦平面的成像坐標為（xd，yd），其數學模型可以用下面公式描述［2］:

（3）焦平面坐標系與圖像坐標系的轉換關系

設物體點在圖像上的像素坐標為（u，v），則有:

其中，Nx、Ny分別是焦平面上橫向、縱向單位長度的像素數，（u0，v0）是焦平面坐標系的原點Ou在圖像坐標系中的像素坐標，一般在圖像中心（通過實驗發現，u0，v0值對總的標定精度影響不大［4］）。

1.3 面陣CCD攝像機鏡頭綜合畸變模型

對于面陣CCD攝像機來說，Nx、Ny值是固定的（廠家已給出）。如果廠家給出的Nx、Ny參數不準確，或者CCD傳感器陣面排列有畸變，導致由像素坐標（u，v）和公式（3）推算出來的物體在焦平面的成像位置與實際位置不一致，則可以把這種由CCD陣面排列畸變引起的偏差歸并于攝像機鏡頭，而認為CCD陣面是整齊排列的，且Nx、Ny參數值是精確的。這時，攝像機鏡頭畸變模型由公式（2）改為:

其中，xd、yd是由像素坐標（u、v）和公式（3）計算出來的，并不一定是實際成像位置，Fx、fy是關于xd、yd的某種函數，反映的是攝像機鏡頭和CCD面陣的綜合畸變。

2 攝像機內外參數的求解

假設，已知攝像機鏡頭和CCD面陣的綜合畸變模型（例如，函數fx、fy為關于xd、yd的某種多項式），以及單平面靶標上n個點的世界坐標（xw，yw，zw）和二者在圖像上對應點的圖像坐標（u，v）。計算攝像機的內外參數（包括外參數R、T，和內參數A、鏡頭綜合畸變參數等）的步驟如下:

第一步:設相機理想模型和鏡頭綜合畸變模型。

若已知鏡頭綜合畸變模型函數fx、fy分別為:

設其中各畸變參數的初始值分別為:k1＝0，k2＝0，p1＝0，p2＝0。且設式（1）中的初始值為:fx＝fy＝f，γ＝0，Δu＝0，Δv＝0。

第二步:計算R、T、f初值。

因

由于平面靶標上的點是共面的，則設zw＝0，所以有:

設靶平面上n個點的世界坐標為（xwi，ywi，zwi），其對應的一幅圖像坐標為（ui，vi），（i＝1，2，…，，n），根據公式（3）可以計算出（xdi，ydi）、根據公式（5）可以計算出fxi＝fx（xdi，ydi）和fyi＝fy（xdi，ydi），所以有:

整理可得線性方程組:

式（6）可以寫為Ax＝b。其中A矩陣共有8列2n行，向 量x＝（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8）＇＝（f*r1／Tz，f*r2／Tz，f*Tx／Tz，f*r4／Tz，f*r5／Tz，f*Ty／Tz，r7／Tz，r8／Tz）＇的元素是8個待求的未知數，向量b＝（fx1，fy1，...，fxn，fyn）＇為已知。只要知道平面靶標上4個以上點的世界坐標和對應的圖像坐標，就可以用最小二乘法求解，即對于線性方程組Ax＝b，解為x＝（A＇A）-1（A＇b）。

因為R是正交矩陣，所以存在關系式:

由此，可解出f／Tz，從而算出r1、r2、r4、r5、Tx、Ty。

同樣因R是正交矩陣，則有關系式:

所以有如下方程:

從而可解出f、算出Tz，同時可算出r7、r8（r7＝x7*Tz、r8＝x8*Tz）。可由R前兩列向量叉乘算出第三列向量（r3、r6、r9），即:

這樣，可求得R、T、f初值。為A的初值。

第三步:計算優化標定解。

假定平面標定板上有n個標記點，相機拍攝一幅標定板圖像，則制定評價函數［5］如式（11）:

其中，mi為第i個點的圖像坐標；Mi為第i個點的空間坐標；m（A，R，T，k1，k2，p1，p2，Mi）是通過這些已知量，根據式（1）、（2）、（3）求得的圖像坐標。使評價函數最小的A，R，T，k1，k2，p1，p2就是問題的最優解，即標定結果。利用Levenberg-Marquarat來求解非線性最小二乘問題，初始估值為上面求得的R、T、A矩陣初值，k1，k2，p1，p2初值為0。這里是優化一幅圖像的標定，為了提高景深標定的精度，也可以增加圖像數量。如果是多幅圖像，則是多個位姿Rk、Tk，和多幅拍攝點mki（k＝1，2，...）同樣可以用（11）式求優化解。

3 實驗結果

實驗中采用平面標定塊，如圖3所示。靶標上各圓心的世界坐標見表1，其對應的圖像像素坐標見表2；實驗使用sony面陣CCD攝像機，分辨率為1024*1280，Nx＝1／0.005 2（像素／mm），Ny＝1／0.005 2（像素／mm）；設（u0，v0）＝（640，512）。

圖3 實驗使用的平面標定塊Fig.3 Testing calibrate board

表1 平面標定板的圓心世界坐標(zwi＝0，63個點，單位mm)Tab.1 The world coordinates of centers of circles on the calibrate board(zwi＝0，63 points)

表2 平面標定板的圓心圖像坐標(63個點，單位：像素)Tab.2 The image coordinates of centers of circles on the calibrate board(63 points，unit：pixel)

根據攝像機特性，設該攝像機鏡頭綜合畸變模型為式（5），由上述方法求出R、T、A、k1、k2、p1、p2的值，見表3。

實驗結果:

其中（ui，vi）為圓心實際圖像坐標，（ui′，vi′）為由參數R、T、A、k1、k2、p1、p2計算出來的圓心圖像坐標。在普通Intel＿i7處理器的電腦上算法運行時間小于1 s。

4 結束語

通過實驗可以發現，攝像機鏡頭綜合畸變模型函數fx（xd，yd）、fy（xd，yd）設為上述式（5）函數，或者Tsai方法［6］提到的畸變模型函數時，標定結果都是穩定的。采用本標定方法，標定板不能正對相機，否則標定誤差較大。標定板法向與相機光軸之間的夾角應大于10°，一般取30°～45°比較合適。這也表明畸變參數的標定計算需要在一定景深范圍內進行。本方法的優點是:只使用平面靶標，一幅圖像，操作簡捷快速，而且適用于任何種類的鏡頭畸變模型。與張正友方法相比，本方法只要拍攝一幅圖像，就能計算相機初始參數，再利用Levenberg-Marquarat方法求優化解，具有更大的靈活性。