二階時變時滯多智能體系統快速一致性算法

張婷婷，張 偉

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海200093)

0 引 言

近年來，隨著人工智能和分布式協調控制理論的發展，多智能體系統的協調控制也吸引了大批研究者的關注和研究。多智能體系統應用于多領域，如分布式傳感器網絡［1］、編隊控制［2-4］、群集［5］、協同控制［6］和分布事件觸發［7-8］等。實現多智能體網絡協調控制，需要各個智能體狀態達到一致。因此，一致性問題是研究多智能體系統的基礎和核心。在保證多智能體系統的穩定性前提下，提高系統的動態性能也具有一定的研究意義。

多智能體系統的動態性能，即多智能體的一致性收斂速度。提高收斂一致性，無疑能夠提高系統的通訊能力及性能。文獻［9］中，Olfati提出了一種超高速信息網絡的算法，該算法可以在小網絡上以驚人的速度達到多智能體一致性，并且驗證了收斂速度由通信的代數連通性決定，為研究快速一致性提供了有力的理論基礎。基于此理論，She［10］等人提出基于局部信息的多智能體系統，引入PI控制器設計快速一致性算法，給出智能體快速收斂的充分條件。文獻［11］針對分布式控制與大系統的快速一致性，基于雙跳網絡提出快速一致性算法，使得多智能體系統的收斂速度更快。文獻［12-15］研究了二階以及高階系統的多智能體快速收斂一致性算法。由于通訊約束，智能體之間交互信息時產生時滯，研究者從網絡通訊拓撲圖著手，引入多跳網絡設計一致性算法，且利用頻域法分析系統收斂條［16-19］。文獻［20］分析了帶有時變時滯的多智能體一致性，引入小增益理論，基于頻域的角度分析系統的穩定性。受文獻［13，20］的啟發，本文從頻域的角度分析帶有時滯的快速一致性。雖然隨著網絡的發展，傳輸速度越來越快，但是智能體傳輸的過程中，依舊會存在時滯，并且實際過程中的時滯可能是時變的，所以對研究時變時滯多智能體系統具有實際意義。

本文將時變時滯的二階多智能體網絡系統作為研究對象，基于頻域的角度分析二階時變時滯多智能體系統，且時滯是具有上界的，任意變換的。本文研究結果為:通過一致性協議改進算法，基于頻域理論，小增益理論，矩陣論和圖論等，推導得到了使系統快速收斂一致性的充分條件；相較于已有的控制協議，本文改進的算法能夠使系統快速漸近收斂一致。

1 預備知識

1.1 圖論

本文基于無向網絡拓撲圖，研究多智能體一致性問題。研究此類問題需要利用如下的圖論知識和一致性問題的描述。

假設，用圖G＝（V，ε，A）來表示所描述的多智能體網絡系統（Multi-Agent Systems，MAS）的無向拓撲圖。其中是節點集的N索引值，ε∈V×V為圖G的邊集。A＝［aij］RN×N（R表示實數集）為圖G的鄰接矩陣，并且為非負元素。其中i，j∈V（i，j分別表示智能體i和智能體j）。當aij＞0時，代表智能體i和智能體j之間有信息傳遞；而aij＝0表示智能體i和智能體j之間沒有信息傳遞。考慮本文所研究的是無向圖，則鄰接矩陣A是對稱的。若在任意2個智能體i，j∈V之間存在一條 路 徑，則 稱 圖G為 連 通 圖。 令Ni＝，表示智能體i的鄰居集。degi＝表示智能體i的度，定義度矩陣D:＝那么圖G的拉普拉斯矩陣LG＝D-A。拉普拉斯矩陣描述節點與邊的關系，且LG＝[lij]∈RN×N，其中:

由于系統的拓撲圖為無向圖且連通，則拉普拉斯矩陣是對稱且為正半定矩陣。若λi∈的特征值，則根據拉普拉斯矩陣的性質可得:

1.2 模型描述

假設有N個二階多智能體系統，每個智能體的動態方程為:

其中，γ1＞0；γ2＞0；τij為每個智能體輸入時變時滯；考慮到圖G為無向圖且連通，則τij＝τji，令若系統在一致性算法式（4）控制輸入下，使得智能體狀態達到一致性，則系統滿足如下條件:

2 主要結果

為了提高體統的收斂速度，本文引入PI控制器，基于式（4）的控制輸入提出如下快速一致性算法:

設系統初始值為0，對式（7）進行拉普拉斯變換可得:

因此，系統的特征方程為:

為了保證系統的穩定性和連通性，需使用如下引理。

引理1［21］當初始值為時，設則系統在一致性算法式（4）的控制輸入，使得智能體收斂一致滿足的條件為:

其中，τ*為時滯的上界。

引理2［22］記時滯算子υτk+?:＝ξ（t）-ξ（t-τk-?），υτk:＝ξ（t）-ξ（t-τk），υi:＝υτk+?+υτk。 定義 算 子Δf:＝（Δ（υ）-1）°（1／s），Δ（υ）＝是以τm*為上界的誘導增益，記誘導增益為‖Δf‖∞，‘°’為合成符號，則有

基于引理1與引理2，定理1給出了系統在一致性算法式（6）的控制輸入情況下，使智能體狀態達到一致的穩定條件。

定理1若連通拓撲圖是無向連通的，具有時滯的二階系統在快速一致性算法式（6）的控制協議下，使得智能體狀態達到一致，則滿足如下條件:

其中，ι為虛數單位。

證明 二階系統可由線性時不變系統和時變時滯算子表示，其線性時不變系統與時變時滯算子連接如圖1所示。

圖1 線性時不變系統與時變時滯算子連接圖Fig.1 Connection graph of linear time invariant systems and time varying delay operators

圖1中，X（s）表示系統的時不變系統矩陣，Δ（υ）為系統的時滯算子。

根據引理2，式（7）的狀態空間表達式為:

由于LG為對稱矩陣，引入酉矩陣U，則根據Laplace矩陣特性可得:

將式（14）進行Laplace矩陣變換，可得到:

根據引理2，式（15）可得:

由式（16）可推出式（17）:

系統基于定理1的情況下，定理2為系統在一致性算法式（6）的控制輸入提供了快速收斂充分條件。

定理2 系統在一致性算法式（6）的控制協議下，使系統快速收斂一致的區間為?∈（0，δ），其中δ滿足:

證 明 由式（9）可得系統特征方程等價于下式:

根據拉普拉斯矩陣的性質可知，LG的特征λ1＝0，且Re（λi）＞0，i＝2，…，N，則式（18）等價于:

將式（23）取極限可得:

其中，μ為實數部分微分的極限值。當?＞-τk時，ai＜0，則μ＜0。 由局部保號性定理知，存在去心領域內當?＝0時當＜0，即單調遞減。若使系統達到快速一致性，則δ滿足ai｜?＝δ＝ρ并使其達到最小值。將系統的根代入式（21）得:

3 仿真分析

為了驗證定理1和定理2的有效性，本文以環形網絡拓撲結構為例進行驗證。通訊網絡拓撲圖G，共有8個智能體，如圖2所示。

圖2 系統網絡拓撲Fig.2 The system of network topology

由圖2的通訊網路拓撲圖可得系統的拉普拉斯矩陣為:

（1）時變時滯為τk＝0.3713*et／（1+et）。 由定理2可計算δ＝0.186，?∈（0，0.186）。 系統分別在控制算法式（4）和式（6）的控制輸入下進行仿真，其位移狀態變化量的仿真如圖3和圖4所示。

對仿真圖3和圖4分析得出，二階時變時滯多智能體系統在一致性算法式（4）和式（6）的控制輸入下，智能體的狀態可以達到一致。根據智能體達到一致性的最初時間τ0對比發現，系統在一致性算法式（6）的控制輸入下，比系統在一致性算法式（4）控制輸入下收斂速度更快。

圖3 系統在一致性算法式(4)控制輸入下的仿真Fig.3 The simulation diagram of the system in control decision(4)is given

圖4 系統在一致性算法式(6)控制輸入下的仿真Fig.4 The simulation diagram of the system in control decision(6)is given

（2）時變時滯為τk＝0.3713*et／（1+et）。 若令δ＝0.3，?∈（0.18，0.3），系統在一致性算法式（6）控制輸入下，位移狀態變化量的仿真如圖5所示。τ0表示達到一致性的最初時間。當取δ＝0.3＞0.186時，系統在τ0＝57.27s時達到一致性；在τk不變的情況下，系統在δ＝0.3＞0.186時達到一致性，但達到一致性的速度小于δ＝0.186。 由此實例證實定理2的有效性。

圖5 系統在控制協議(4)的仿真Fig.5 The simulation diagram of the system in control decision(4)is given

（3）時變時滯為τk＝0.5*et／（1+et）＞τ*，取參數δ＝0.186、?∈（0，0.186），系統在一致性算法式（4）和式（6）的控制輸入下的仿真如圖6和圖7所示。從圖中發現，系統位移狀態變量是發散的，系統不能達到一致。而此時的τk的最小值大于τ*，導致系統的不穩定。由此可說明，定理1是合理并且是有效的。

圖6 系統一致性算法式(4)控制輸入下的仿真Fig.6 The simulation diagram of the system in control decision(4)is given

圖7 一致性算法式(6)控制輸入下的仿真Fig.7 The simulation diagram of the system in control decision(6)is given

根據仿真實例，系統在一致性算法的控制下分析結果如下:

（1）二階時變時滯系統在時滯上界相同（其時滯上界為引理1計算所得），δ取值相同時，系統在改進后的一致性算法式（6）的控制輸入下，首次趨于一致性的時間比系統在已有的控制算法控制輸入下快，表明改進后的控制算法的有效性。

（2）二階時變時滯系統在時滯上界相同（其時滯上界為引理1計算所得），δ大于定理2所計算的值時，系統在改進后的一致性算法控制輸入情況下達到一致，但不是最快。

（3）二階時變時滯系統的時滯上界大于引理1計算出的時滯且δ取值相同時，系統在一致性算法式（4）和一致性算法式（6）控制輸入下都會發散。

綜上所述，證明了本文提出快速一致性算法的有效性。

4 結束語

本文基于傳統的一致性，提出快速一致性算法，結合圖論、控制理論和矩陣論，證明了改進后的控制協議的合理性和有效性。利用MATLAB驗證了時變時滯的二階多智能體的快速收斂一致性。本文的研究方向針對連續二階系統，根據系統的復雜性，后續研究方向是將控制協議推廣到帶有時滯的離散系統和高階系統中。