二自由度無人直升機的非線性自抗擾姿態控制

王怡怡 趙志良 ,2

由于無人機飛行器靈活性強、機動速度快、地形適應能力強等特點,它在國防、城市管理、農業、地質、氣象、電力、搶險救災、視頻拍攝等行業顯現出越來越重要的作用.近年來隨著動力系統、復合材料、傳感器等技術的進步,無人機也得到了迅速的發展,針對無人機的控制技術也被廣泛深入研究[1-10].本文研究的是二自由度無人直升機的姿態控制問題,即通過控制俯仰和偏航兩個方向角來控制無人機的飛行姿態.二自由度無人直升機的姿態控制引起了學者與工程師的廣泛關注,產出了一批優秀成果,例如二自由度無人直升機姿態控制的自適應動態規劃控制方法[1],反饋線性化控制[11],神經網絡控制[12],滑?？刂品椒╗13-14]等.在實際飛行控制中,無人機系統存在著大量的不確定性因素,已有不少文獻針對無人機控制中的不確定性因素展開研究.例如針對參數不確定性和外擾,文獻[4]引入了自適應反步技術.文獻[5]將反步算法與慣性延遲控制器相結合來處理時變不確定和外擾.文獻[6]則利用超扭曲算法估計和補償外部干擾,相關的研究還可見文獻[7-8]等.

上述控制方法在不同方面體現出了各自的優點和特點,但大部分方法或者處理復雜不確定性因素的能力有限,或者設計復雜實現難度高,或者控制器的設計需要利用系統的精確模型.為進一步提升二自由度無人直升機姿態控制的性能品質,本文發展了一個易于物理實現的高性能控制方法 — 基于非線性擴張狀態觀測器的非線性自抗擾控制方法.

自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)是80 年代末90 年代初韓京清研究員提出的新型控制技術[15].自抗擾控制的主要思想是利用擴張狀態觀測器(Extended state observer,ESO)在線觀測并補償不確定性因素.近年來自抗擾控制技術被廣泛應用,如陀螺儀控制[16],流化床燃燒控制[17],引擎控制[18],航空航天[19-22]等.自抗擾控制理論方面也有豐富的研究成果.線性自抗擾控制的理論研究可參見文獻[23-29]等.非線性自抗擾控制的理論研究在專著[30]有較為詳細的論述.對于系統中不確定性因素估計并補償的研究還可參見文獻[31-36]以及專著[37]等.關于更一般的隨機干擾系統的自抗擾控制研究可參見文獻[38-39].

一般來說ESO 的增益參數需根據控制精度的需求和 “總擾動” 的變化快慢進行調整.當 “總擾動”變化較快時為精確估計系統的狀態和 “總擾動”,需要使用較大的增益,而傳統的單參數調整線性ESO 當增益較大時具有較大的超調且對系統輸出的量測噪音比較敏感.研究表明,基于非光滑fal 函數構造的非線性擴張狀態觀測器(fal-ESO)在保證觀測精度的同時具有較小的超調,同時在系統量測輸出被隨機噪音干擾時表現更好[15,40].本文針對模型建立不準確且受到外部干擾的二自由度無人直升機高性能姿態控制難題,提出了基于fal-ESO 的非線性自抗擾控制設計方法.首先利用非光滑fal 函數構造非線性擴張狀態觀測器,用于在線觀測系統的狀態,同時估計由系統內外不確定性因素構成的“總擾動”,然后設計基于ESO 的非線性輸出反饋控制器,利用 “總擾動” 的觀測值對其進行補償.本文的主要創新之處在于同時在ESO 和反饋控制設計中采用非線性的設計方法,并嚴格證明了閉環控制系統的穩定性和收斂性.仿真結果顯示本文提出的非線性自抗擾控制具有更好的抗擾性能.

本文剩余內容安排如下:第1 節是二自由度無人直升機姿態控制的問題描述.第2 節給出二自由度無人直升機姿態控制的非線性自抗擾控制設計,包括非線性擴張狀態觀測器設計和基于擴張狀態觀測器的非線性不確定性因素補償控制器設計,同時給出本文的主要理論結果.第3 節是主要結果的理論證明.數值仿真在第4 節給出.最后是全文總結和展望.

1 問題描述

本文的研究對象是二自由度無人直升機,其簡化模型可由圖1 來表示.無人直升機的作用原理是通過俯仰電機帶動俯仰螺旋槳旋轉產生推力,從而控制無人直升機繞俯仰軸旋轉,同時通過偏航電機驅動偏航螺旋槳旋轉來驅使無人直升機繞偏航軸旋轉.

圖1 二自由度無人直升機簡化圖Fig.1 Simplified diagram of two degree of freedom unmanned helicopteropter

利用牛頓動力學定律和歐拉 — 拉格朗日方程,二自由度無人直升機控制系統可用如下數學模型描述[1,14]:

這里θ(t),φ(t) 分別是t時刻的俯仰角和偏航角,是系統的量測輸出.Fp(t) 和Fy(t) 分別是俯仰電機/螺旋槳和偏航電機/螺旋槳產生的推力,是系統的控制輸入.ωθ(t) 和ωφ(t) 分別是俯仰和偏航角速度,參數Ip和Iy分別為俯仰和偏航慣性系數.Dp和Dy分別為俯仰和偏航阻尼摩擦系數,τpp表示俯仰螺旋槳作用在俯仰軸上的力矩常數,τyy表示偏航螺旋槳作用在偏航軸上的力矩常數,τpy表示偏航螺旋槳作用在俯仰軸上的力矩常數,τyp表示俯仰螺旋槳作用在偏航軸上的力矩常數,mh為直升機的總質量,lcm為軸心點和質心點之間的距離,g表示重力加速度.d1(t) 和d2(t) 分別是俯仰和偏航方向受到的隨時間變化的外部干擾,q1(·) 和q2(·) 是俯仰和偏航方向由系統未建模動態和外部干擾構成的不確定性因素.本文控制目的是設計非線性自抗擾控制Fp和Fy使得系統的輸出θ,φ跟蹤到設定值θ*,φ*.由于系統(1)中的參數通常不易精確獲取且存在非線性未建模動態和時變未知外部干擾的影響,基于模型的控制方法不易物理實現.為提升二自由度無人直升機姿態控制的性能品質,本文發展了易于物理實現的高性能非線性自抗擾控制方法.

其中f1(·) 和f2(·) 分別是俯仰和偏航方向除控制力之外所受到的作用力,即由系統內外不確定性因素構成的總擾動:

本文控制器的設計不需要系統的模型信息,只需假定系統函數滿足如下非常弱的一個先驗條件:

假設1.函數f1,f2∈C([0,∞),R) 連續可微,同時外部擾動di(t)∈C([0,∞),R) 及其導數有界,即存在N＞0 使得

2 控制器設計與主要結果

這一部分主要給出二自由度無人直升機姿態控制的非線性自抗擾控制設計和主要理論結果.本節包括兩個小節,第2.1 節給出非線性擴張狀態觀測器設計和基于擴張狀態觀測器的非線性不確定性因素補償控制設計.第2.2 節給出本文的主要理論結果.

2.1 控制器設計

首先設計如下非線性擴張狀態觀測器通過系統的輸出誤差在線估計系統的總擾動:

容易驗證矩陣K是Hurwitz 的充要條件是ki＞0,i=1,2,3,且k1k2－k3＞0.

分段光滑的fal 函數(7)是最初用于構造擴張狀態觀測器的非線性函數[15].最近文獻[40]研究了這類非線性擴張狀態觀測器的參數整定和收斂性問題.擴張狀態觀測器(6)是一個切換的擴張狀態觀測器,即當≤δ時,該擴張狀態觀測器是線性的,當時,該擴張狀態觀測器則為非線性的.

本文基于對 “總擾動” 的觀測和補償的非線性輸出反饋控制 ——自抗擾控制構造如下:

其中μ1=2μ－1,μ2=(2μ－1)/μ,是如下定義的飽和函數

Mi是依賴于初始狀態上界的飽和參數,i=1,2,其選取方式由式(17)給出.由前述變量代換可得系統控制輸入

其中P是Lyapunov 方程ATP+PA=－I的對稱正定矩陣解.因為A是Hurwitz 矩陣,所以該Lyapunov方程存在唯一對稱正定矩陣解.令Vμ:R2→R 為

其中γ＞1 是常數,α∈C(R,R) 是如下定義的分段函數

容易驗證α(·) 是連續可微函數,且在 (－∞,1] 上恒等于0,在 [3,∞) 中恒等于1,同時其導數α′(·) 在(1,3)中大于0.

我們需要使用系統的初始狀態的上界來選取飽和參數Mi.令βi為系統初始值的一個上界,即

這里xi0=xi(0) 為系統的初始狀態.

令

選取飽和參數Mi,i=1,2,使得

可以證明(13)中定義的Lyapunov 函數是徑向無界的正定函數,因此上述定義的集合A為R4中的有界閉集(緊集).

2.2 主要結果

基于第2.1 節中給出的非線性擴張狀態觀測器,系統(2)在非線性反饋控制器(9)作用下的閉環系統為:

對于上述控制閉環系統,我們有如下主要結果:

定理 1.假設式(8)中的矩陣K是Hurwitz 的,外部干擾d1(t),d2(t) 和非線性函數f1(·),f2(·) 滿足假設 1,則存在μ*∈(,1) 以及r*＞0,對任意的μ∈(μ*,1),r＞r*,以及任意給定的初始狀態,當飽和參數的選取滿足式(17)時,反饋控制閉環系統(18)的解滿足

注 1.增益參數r與容許/期望的誤差范圍,設計參數以及不確定性因素變化率的上界有關.假設輸出與目標值之間的允許誤差不超過σ,由

可得增益參數r應滿足

注 2.定理 1 中的正數 Γi主要依賴于系統總擾動的變化快慢,總擾動變得越快,Γi越大,反之Γi越小(具體表達式見式(49)).當總擾動在設定值處為常數時可實現誤差系統的漸近穩定.

還需說明的是當μ∈(,1) 時2μ－1＜μ＜1,1/(2μ－1)＞1 且μ/(2μ－1)＞1.因此當r趨于無窮大時 (1/r)1/(2μ-1),(1/r)μ/(2μ-1)收斂于0,且收斂速度快于 1/r收斂于0 的速度.這意味著在相同的增益參數下,本文提出的非線性自抗擾控制的精度高于線性自抗擾控制的精度.

3 主要結果的證明

為證明本文主要結果,需要定義如下向量場和系統

可以證明向量場Fμ(·) 是μ－1 度加權齊次的.關于加權齊次函數向量場的定義和基本性質參見文獻[41].

關于式(13) 中定義的Lyapunov 函數和式(23)中定義的向量場,我們有如下結論:

4 數值仿真

本節利用仿真來驗證本文設計方法的有效性和優越性.在仿真中我們將本文提出的設計方法和滑模控制[9]以及已有自抗擾控制進行對比.自抗擾控制方法的改進有很多,擴張狀態觀測器也有很多新的設計方法,如文獻[26,43-44]等,其中[43]中有關于時變增益的擴張狀態觀測器設計,即擴張狀態觀測器中增益參是隨時間變化的函數.我們將對線性自抗擾控制,具有時變參數的自抗擾控制和本文提出的非線性自抗擾控制三種自抗擾控制方法和滑模控制進行仿真對比.

在仿真中,俯仰角和偏航角目標值均設置為分段函數

選取函數q1(·),q2(·) 為:

根據文獻[9],非奇異終端超扭滑模控制(Nonsingular terminal super twisted sliding mode control,NSTST-SMC)控制器設計為

這里?=(?1,?3)T,?i(t)=xi(t)－xid(t),i=1,3.在仿真中,NSTST-SMC 控制器中的參數也按照文獻中的設定值,具體數值選取為:α1=3,α2=4.5,β1=0.25,β2=0.5,λ=0.35,α=0.5.

所謂線性自抗擾控制是指在擴張狀態觀測器(6) 中將非線性函數gi(τ) 用恒等函數hi(τ)=τ來替換,同時采用如下的線性不確定性因素補償控制:

具有時變參數的自抗擾控制即將線性自抗擾控制中擴張狀態觀測器的增益參數替換為時變函數,這里取該時變函數為 e0.6t.在線性與非線性擴張狀態觀測器中選取相同的增益參數r=60 以及相同的設計參數k1=k2=3,k3=1.在線性與非線性自抗擾控制中的飽和參數均為M1=M2=10.非線性擴張狀態觀測器中函數gi(·) 中參數ηi分別選取為η1=0.7,η2=0.4,η3=0.1.

對于上述不同的控制方法,采用Euler 折線法,選取積分步長h為0.001,系統初值為(1,1),分別選取三組系統參數如表1 所示進行仿真.

表1 三組系統參數Table 1 Three sets of system parameters

圖2 是第I 組參數輸出不受量測噪聲污染時四種控制方法的仿真結果.圖2 (a)中的曲線分別表示期望值(Reference),NSTST-SMC 控制驅動下的俯仰角輸出,線性自抗擾控制(Linear active disturbance rejection control,linear ADRC)驅動下的俯仰角輸出(Linear-ADRC),具有時變增益的自抗擾控制(Time-varying-gain active disturbance rejection control,TVG ADRC) 驅動下的俯仰角輸出,以及非線性自抗擾控制(Nonlinear active disturbance rejection control,nonlinear ADRC)驅動下的俯仰角輸出.圖2 (b)中的曲線分別表示期望值(Reference),NSTST-SMC 控制器驅動下的偏航角輸出,線性自抗擾控制器驅動下的偏航角輸出,具有時變增益的自抗擾控制器驅動下的偏航角輸出,以及非線性自抗擾控制器驅動下的偏航角輸出.

從圖2 (a)可看出在第I 組參數無噪聲污染情況下四種方法均能驅使系統輸出跟蹤到目標值.對比發現非奇異終端超扭滑?？刂?NSTST-SMC)方法較之于三類自抗擾控制在每個階段跟蹤目標值的響應時間要長.線性自抗擾控制和具有時變增益的自抗擾控制驅動的俯仰角輸出有一些超調,而非線性自抗擾控制驅動下幾乎沒有超調.圖2 (b)所示偏航角的跟蹤仿真結果類似于俯仰角的跟蹤.

圖2 第I 組參數下不受噪聲污染時的數值結果Fig.2 Numerical results without noise pollution under parameters group I

圖3 是對系統輸出遭受量測噪聲污染時的仿真結果,我們加入了0.0001 倍的高斯噪聲,高斯噪聲由MATLAB 命令 “randn” 生成.由圖3 可看出,較小的噪聲對四種不同控制方法幾乎沒有影響.

圖3 第I 組參數下受噪聲污染時的數值結果Fig.3 Numerical results with noise pollution under parameters group I

圖4 和圖5 分別是在第II 組參數下當系統輸出不受量測噪聲污染和輸出受同等強度(0.1 倍的高斯噪聲)的量測噪聲污染時四種方法的仿真結果,圖6 和圖7 分別是第III 組參數在輸出不受量測噪聲污染和輸出受同等強度(0.1 倍的高斯噪聲)的量測噪聲污染下四種方法的仿真結果.由圖4-7 可見,當噪音加強時線性自抗擾控制、具有時變增益的自抗擾控制與非奇異終端超扭滑模控制發散或者出現較大波動,而本文提出的非線性自抗擾控制仍然有較好的控制效果.

圖4 第II 組參數下不受噪聲污染時的數值結果Fig.4 Numerical results without noise pollution under parameters group II

圖5 第II 組參數下受噪聲污染時的數值結果Fig.5 Numerical results with noise pollution under parameters group II

圖6 第III 組參數下不受噪聲污染時的數值結果Fig.6 Numerical results without noise pollution under parameters group III

圖7 第III 組參數下受噪聲污染時的數值結果Fig.7 Numerical results with noise pollution under parameters group III

5 結論

本文研究了二自由度無人直升機受內外不確定性因素作用下的高性能飛行姿態控制問題.為提高控制系統的抗干擾能力,提出了非線性自抗擾姿態控制設計方法,并證明了閉環控制系統的穩定性和收斂性,從理論上保證了該控制方法的有效性.仿真結果顯示本文提出的非線性自抗擾控制具有更好的性能品質.在今后的研究中我們將本文的方法拓展到多旋翼無人機以及無人機編隊等更復雜對象的高性能控制,同時將自抗擾控制方法與其他優化控制方法相結合,發展復雜受控對象的新型高性能控制方法.