固定結(jié)合面法向接觸阻尼三維分形模型*

蘭國生，李 祥，孫 萬，張學(xué)良，冀成龍，李聲祺

(太原科技大學(xué)機械工程學(xué)院，太原 030024)

0 引言

在機械結(jié)構(gòu)中結(jié)合面分布廣泛，對整體的靜、動態(tài)特性都有重大影響[1-2]。結(jié)合面剛度在機床總剛度中的占比高達(dá)60%～80%[3],結(jié)合面的接觸阻尼占總阻尼的90%以上[4]。現(xiàn)階段對結(jié)合面接觸阻尼的研究較少。文獻[5]通過試驗識別的方法預(yù)估結(jié)合面接觸參數(shù),該方法實驗量大，通用性難以保證；文獻[6]基于分形接觸理論，建立了結(jié)合面法向接觸阻尼分形模型，但未考慮分布域擴展因子的影響；文獻[7]考慮分布域擴展因子的影響，建立了結(jié)合面法向接觸阻尼與損耗因子模型；文獻[8]區(qū)分了彈性接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系，推導(dǎo)了界面法向接觸剛度、損耗因子和法向接觸阻尼的計算方程式；文獻[9]基于一種加載-卸載混合彈塑性接觸模型，建立了結(jié)合面法向接觸阻尼統(tǒng)計模型，該模型中的粗糙表面統(tǒng)計參數(shù)受取樣長度和測試儀器的分辨率的影響，不具有客觀唯一確定性；文獻[6-9]所建接觸阻尼模型均與結(jié)合部基體質(zhì)量有關(guān)，然而結(jié)合面基體質(zhì)量不屬于結(jié)合面的內(nèi)在參數(shù)，使得模型不具有普適性；文獻[10]考慮了彈塑性的影響，建立了與基體質(zhì)量無關(guān)的結(jié)合面法向接觸阻尼分形模型，但未區(qū)分彈性接觸面積和橫截面積。

以上模型皆是在二維接觸曲線下建立的，這與結(jié)合面實際三維特性不符；上述模型均未考慮摩擦因素的影響；對處于塑性狀態(tài)的微凸體未區(qū)分彈性應(yīng)力所做功(變形量小于臨界變形量時)和塑性應(yīng)力所做功(變形量大于臨界變形量時)，僅以塑性能耗來計算微凸體的能量耗損。針對以上不足，本文建立了固定結(jié)合面法向接觸阻尼與損耗因子三維分形模型，并分析了結(jié)合面法向接觸阻尼和損耗因子與各相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系。

1 微凸體法向接觸特性

1.1 單個微凸體彈性變形階段

機械結(jié)合面是由兩個相互接觸的粗糙面構(gòu)成，根據(jù)赫茲理論可以將其簡化為一個剛性平面和一個等效粗糙表面的接觸。對于結(jié)合面上的單個微凸體，可以等效為球體。單個微凸體的等效曲率半徑為R，圓心為O，變形量為δ，實際接觸區(qū)域半徑為r，橫截接觸區(qū)域半徑為r′，如圖1所示。

圖1 理想剛性平面與微凸體接觸

由圖1可知，微凸體的等效曲率半徑可以表示為：R2=(R-δ)2+r′2，由于R?δ，則有r′2=2Rδ，因此可得微凸體橫截面積為：

a′=2πRδ

(1)

當(dāng)微凸體接觸變形在彈性階段時，接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關(guān)系為[12]：

(2)

ae=πRδ

(3)

式中,E為兩接觸材料的綜合彈性模量，E= 1/[(1-υ12)/E1+(1-υ22)/E2]，E1和E2分別為兩接觸材料的彈性模量，υ1和υ2分別為兩接觸材料的泊松比。由式(1)和式(3)可得微凸體彈性變形階段的接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系為ae=0.5a′。

根據(jù)剛度的定義，僅有發(fā)生彈性變形的微凸體才具有法向剛度，即：

(4)

當(dāng)單個微凸體最終狀態(tài)是彈性接觸時，等效微凸體變形量由0到δ一直處于彈性變形階段，因此所儲存的彈性勢能為：

(5)

1.2 單個微凸體塑性變形階段

由文獻[13]可得，單個微凸體的彈塑性接觸臨界變形量為：

(6)

式中，σy為相互接觸材料中較軟材料的屈服強度σy=φE，φ為應(yīng)變指數(shù)；kμ為摩擦力的修正系數(shù)，當(dāng)0≤μ≤0.3時，kμ=1-0.228μ；當(dāng)0.3<μ<0.9時，kμ=0.932exp[-1.58(μ-0.3)]，其中μ為摩擦系數(shù)。

當(dāng)微凸體接觸變形在塑性階段時，接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關(guān)系為[10]：

Pp=2πHRδ=2πkσyRδ

(7)

ap=2πRδ

(8)

式中，H為兩接觸材料中較軟材料的硬度H=kσy；k為塑性指數(shù)。由式(1)和式(8)可得微凸體塑性變形階段的接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系為ap=a′。

當(dāng)單個微凸體最終狀態(tài)是塑性接觸時，等效微凸體變形量由0到δc處于彈性變形階段，由δc到δ處于塑性變形階段，因此所消耗的能量為：

(9)

2 結(jié)合面法向接觸特性

2.1 結(jié)合面接觸分形理論

基于分形理論，微凸體的變形量δ可由其余弦函數(shù)的波峰和波谷的幅值表示[11]，即：

(10)

(11)

(12)

根據(jù)式(12)并選取結(jié)合面參數(shù)φ=0.7～2.5，G=10-11～10-9m，D=2.1～2.9，μ=0.15進行仿真，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

φ=1.5,μ=0.15圖2 D和G對的影響

D=2.6,G=10-10m,μ=0.15圖3 φ對的影響

由圖2和圖3可得，臨界橫截面積隨著分形維數(shù)增大而增大，并逐漸趨于緩和；臨界橫截面積隨著分形粗糙度參數(shù)增大而增大，并逐漸趨于陡峭；臨界橫截面積隨著應(yīng)變指數(shù)增大而增大，并逐漸趨于緩和。

結(jié)合面微接觸橫截面積分布函數(shù)為[14]：

(13)

2.2 結(jié)合面法向特性建模

結(jié)合微凸體實際接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系可得，結(jié)合面總實際接觸面積和總的橫截面積分別為：

(14)

(15)

結(jié)合面總法向載荷為：

(16)

將式(10)、式(11)代入式(2)、式(7)，再將式(2)、式(7)、式(13)代入式(16)可得：

(17)

結(jié)合面總法向接觸剛度為：

(18)

將式(10)、式(11)代入式(4)，再將式(4)、式(13)代入式(18)可得：

(19)

結(jié)合面總法向能量儲存為：

(20)

將式(10)、式(11)代入式(5)，再將式(5)、式(13)代入式(20)可得：

(21)

結(jié)合面總法向能量耗損為：

(22)

將式(6)、式(10)、式(11)代入式(9)，再將式(9)、式(13)代入式(22)可得：

(23)

3 結(jié)合面法向接觸阻尼建模

將固定結(jié)合面法向接觸動力學(xué)特性等效為彈簧和黏性阻尼器，如圖4所示，可以得到：

(24)

圖4 結(jié)合面動力學(xué)模型

式中，t為時間；F(t)=Pncos(ωt)為作用于結(jié)合面的法向動態(tài)接觸載荷；Kn為結(jié)合面法向接觸剛度；Cn為結(jié)合面法向接觸阻尼；x(t)=Xncos(ωt-θn)為結(jié)合面間法向動態(tài)接觸相對位移,ω為角頻率、θn為初始相位。因此，η=Wd/We=|fcx(t)|/|fkx(t)|=Cnω/Kn，即：

(25)

結(jié)合面的阻尼損耗因子η為：

(26)

結(jié)合式(14)，分別對式(16)、式(19)、式(26)、式(24)進行無量綱化處理可得：

(27)

(28)

(29)

(30)

4 仿真與分析

4.1 仿真計算

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(φ=1.5,μ=0.15)圖5 G*對的影響曲線

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(G*=10-10,μ=0.15)圖6 φ對的影響曲線

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(G*=10-10,φ=1.5)圖7 μ對的影響曲線

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(φ=1.5,μ=0.15)圖8 G*對lg(η)的影響曲線

(a)D=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5 (b)D=2.5，2.6，2.7，2.8，2.9(G*=10-10,φ=1.5,μ=0.15)圖9 D對的影響曲線

(a)D=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5 (b)D=2.5，2.6，2.7，2.8，2.9(G*=10-10,φ=1.5,μ=0.15)圖10 D對的影響曲線

4.2 仿真結(jié)果分析

綜上仿真結(jié)果進一步分析可得：

(1)由分形理論可知，分形參數(shù)是與尺度無關(guān)的，可以體現(xiàn)出粗糙表面的內(nèi)在特征；分形維數(shù)D反映了具有分形特征曲線輪廓的復(fù)雜程度、不規(guī)則性；分形粗糙度參數(shù)G表征了表面輪廓的粗糙程度；對于分形維數(shù)D取值較大，分形粗糙度參數(shù)G取值較小的粗糙表面一般會呈現(xiàn)出微凸體緊密相連，表面輪廓較為平坦的特征；對于分形維數(shù)D取值較小，征尺度參數(shù)G取值較大的粗糙表面一般會呈現(xiàn)出微凸體稀疏分布，表面輪廓凹凸不平的特征。

(2)一方面當(dāng)分形維數(shù)D取值較大時，結(jié)合面上的微凸體扁平且分布緊密，導(dǎo)致相互接觸的微凸體之間摩擦阻力較大；另一方面隨著分形維數(shù)D增大，臨界橫截面積也會隨之增大，結(jié)合面上處于塑性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比增多；此外，處于相同接觸面接的微凸體會隨著曲率半徑增加能量耗損也會隨著變大。因此結(jié)合面法向阻尼隨著分形維數(shù)的增大而增大。

(3)一方面當(dāng)分形粗糙度參數(shù)G取值較大時，結(jié)合面上的微凸體多瘦高，導(dǎo)致相互接觸的微凸體之間摩擦阻力較?。涣硪环矫骐S著分形粗糙度參數(shù)G增大，臨界橫截面積也會隨之增大，結(jié)合面上處于塑性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比增多；此外，處于相同接觸面接的微凸體會隨著曲率半徑減小能量耗損也會隨著變小。然而在分形維數(shù)取值D=2.1～2.4時，微凸體密度較小且分形粗糙度參數(shù)G對臨界橫截面積影響較小，故而第一、第三因素影響程度相對較大，結(jié)合面法向阻尼隨著分形粗糙度參數(shù)的增大而增小；在分形維數(shù)取值D=2.5～2.9時，微凸體密度較大且分形粗糙度參數(shù)G對臨界橫截面積影響較大，故而第二因素影響程度相對較大，結(jié)合面法向阻尼隨著分形粗糙度參數(shù)的增大而減小。

(4)隨著應(yīng)變指數(shù)φ的增大臨界橫截面積減小，結(jié)合面上處于塑性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比減少，故而結(jié)合面法向阻尼隨著應(yīng)變指數(shù)的增大而減小。

(5)結(jié)合面法向載荷Pn、分形維數(shù)D、分形粗糙度參數(shù)G與結(jié)合面阻尼Cn的變化規(guī)律和文獻[10，14]的相應(yīng)變化規(guī)律基本一致，因而此處結(jié)論可信?？紤]摩擦因素的影響以及微凸體由彈性到塑性的動態(tài)變化過程是更符合實際情況的，說明本文模型是有意義的。

5 結(jié)論

(1)固定結(jié)合面法向接觸阻尼和阻尼損耗因子均與結(jié)合面的分形維數(shù)、分形粗糙度參數(shù)、法向接觸總載荷、振動的角頻率、結(jié)合面材料參數(shù)(彈性模量、屈服強度、硬度)有關(guān)，分形維數(shù)是影響阻尼損耗因子和法向接觸阻尼的主要因素。

(2)結(jié)合面無量綱法向接觸阻尼隨著應(yīng)變參數(shù)的增大而減小，隨著粗糙表面分形維數(shù)的增大而增大。無量綱法向接觸載荷、無量綱分形粗糙度參數(shù)、摩擦系數(shù)對結(jié)合面無量綱法向接觸阻尼的影響趨勢均與分形維數(shù)所處范圍有關(guān)。

(3)阻尼損耗因子隨著無量綱法向接觸載荷增大而減小，隨著粗糙表面分形維數(shù)和無量綱分形粗糙度參數(shù)增大而增大。