基于單元模型的復(fù)雜輪系運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)*

陳 志，方 振，馬雅麗，沈瑞豪，閆立山

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

機(jī)械系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì)是要在給定的功能需求與設(shè)計(jì)約束的條件下完成系統(tǒng)的方案綜合，而功能需求是方案設(shè)計(jì)過(guò)程中最主要的元素之一。輪系的運(yùn)動(dòng)功能需求最關(guān)鍵是要考慮輸入輸出的方向與大小。

近些年，齒輪輪系的方案設(shè)計(jì)方法主要基于圖論理論。圖論理論在輪系中的應(yīng)用方法是尋找構(gòu)件與構(gòu)件關(guān)系去對(duì)應(yīng)圖論模型，從而進(jìn)行復(fù)雜輪系的結(jié)構(gòu)衍化與性能分析工作，進(jìn)而綜合出所有的運(yùn)動(dòng)鏈[1]。文獻(xiàn)[2-4]應(yīng)用圖論思想確立了用于復(fù)雜輪系系統(tǒng)化研究的圖論模型。文獻(xiàn)[5]基于圖論法進(jìn)行方案窮舉和篩選以實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)方案的自動(dòng)生成。文獻(xiàn)[6]列舉了單自由度有9個(gè)構(gòu)件的復(fù)雜輪系運(yùn)動(dòng)鏈。文獻(xiàn)[7]綜合出7個(gè)構(gòu)件的多自由度復(fù)雜輪系運(yùn)動(dòng)方案圖。

由功能需求出發(fā)，文獻(xiàn)[8]根據(jù)四軸加工中心機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性，對(duì)其機(jī)構(gòu)方案進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)研究。文獻(xiàn)[9-11]根據(jù)矩陣分解規(guī)則以及狀態(tài)空間的理念，建立了單自由度、多自由度的串聯(lián)、混聯(lián)機(jī)械的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)體系。文獻(xiàn)[12]提出了基于單元能量與結(jié)構(gòu)特征狀態(tài)的機(jī)械系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)方法。本文以狀態(tài)空間為基本理論依據(jù)，通過(guò)研究復(fù)雜輪系的基本傳動(dòng)單元，抽象出數(shù)學(xué)模型，研究模型的分解與重構(gòu)，提出了一種新式的輪系運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)方法，完善了輪系的設(shè)計(jì)理論體系。

1 復(fù)雜輪系的基本傳動(dòng)單元

復(fù)雜的齒輪系統(tǒng)是由若干輪系單元相互組合而構(gòu)成的，輪系基本傳動(dòng)單元是構(gòu)成復(fù)雜輪系系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)的最小功能單元，對(duì)輪系基本傳動(dòng)單元的研究才是解決輪系問(wèn)題的根本。因此，復(fù)雜輪系的分析與拆解是運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，對(duì)空間輪系系統(tǒng)而言，其基本傳動(dòng)單元分別為：定軸基本傳動(dòng)單元、單雙自由度行星基本傳動(dòng)單元。如圖1～圖3所示。

(1)平行軸內(nèi)嚙合 (2)平行軸外嚙合 (3)相交軸外嚙合 (4)交錯(cuò)軸外嚙合圖1 定軸基本傳動(dòng)單元

(1)平行軸內(nèi)嚙合 (2)平行軸外嚙合 (3)相交軸外嚙合 (4)交錯(cuò)軸外嚙合圖2 單自由度行星基本傳動(dòng)單元

(1)平行軸內(nèi)嚙合 (2)平行軸外嚙合 (3)相交軸外嚙合 (4)交錯(cuò)軸外嚙合圖3 雙自由度行星基本傳動(dòng)單元

2 輪系單元的運(yùn)動(dòng)特征模型

輪系傳動(dòng)單元的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換特征模型是用來(lái)描述運(yùn)動(dòng)的變換，即輪系輸入端到輸出端的運(yùn)動(dòng)方向與大小的變化。由于拆分后的行星基本傳動(dòng)單元可將定軸與動(dòng)軸的傳動(dòng)相互轉(zhuǎn)換，故在輸入輸出為定軸的周轉(zhuǎn)輪系中，行星傳動(dòng)也只是構(gòu)成其中的一部分。因此，在行星基本傳動(dòng)單元的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程中，可以忽略行星輪任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，描述其運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)特征轉(zhuǎn)換信息。故本文主要研究?jī)?nèi)容為基于單元模型的輸入輸出為定軸的輪系運(yùn)動(dòng)方案的設(shè)計(jì)方法，只需給定復(fù)雜輪系的輸入端與輸出端的運(yùn)動(dòng)特征空間，得到其運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換特征模型，從而根據(jù)抽象的數(shù)學(xué)模型與相應(yīng)分解算法得到運(yùn)動(dòng)方案。下面，用數(shù)學(xué)模型對(duì)輪系基本傳動(dòng)單元的運(yùn)動(dòng)特征轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行描述。

首先建立笛卡爾坐標(biāo)系，設(shè)輸入端的傳動(dòng)方向與x軸方向相同，y軸方向由輸入構(gòu)件幾何中心指向輸出構(gòu)件的幾何中心的方向，z軸方向與xoy平面垂直，運(yùn)動(dòng)的正負(fù)方向以右手定則確定。令i，j分別表示輸入與輸出齒輪，對(duì)定軸基本單元與行星基本單元，它們相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換方程可統(tǒng)一寫為如下形式。

(1)

3×1列向量表示輸入輸出齒輪相對(duì)于機(jī)架或行星架的運(yùn)動(dòng)大小和方向，稱為運(yùn)動(dòng)特征空間。3×3矩陣表達(dá)在齒輪的傳動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，稱為運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換矩陣。若輪系單元輸入輸出的運(yùn)動(dòng)特征空間已知，通過(guò)矩陣的運(yùn)算規(guī)則，可以得到運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換矩陣。

例如，以zi表示主動(dòng)輪i的齒數(shù)，zj表示從動(dòng)輪j的齒數(shù)，若齒輪i的運(yùn)動(dòng)輸入方向?yàn)閤軸的正方向，齒輪j的運(yùn)動(dòng)輸出方向?yàn)閥軸的正方向，則運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換方程為：

若齒輪i的運(yùn)動(dòng)輸入方向?yàn)閤軸正方向，齒輪j的運(yùn)動(dòng)輸出方向?yàn)閥軸的負(fù)方向，則運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換方程為：

3 輪系的運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)方法

復(fù)雜輪系系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)的研究重點(diǎn)在基本傳動(dòng)單元上，設(shè)計(jì)過(guò)程就是通過(guò)對(duì)拆分得到的基本傳動(dòng)單元進(jìn)行再組合過(guò)程，按照制定的分解規(guī)則對(duì)復(fù)雜輪系的運(yùn)動(dòng)特征矩陣進(jìn)行拆分，得到單元轉(zhuǎn)換矩陣，再對(duì)照傳動(dòng)單元庫(kù)，組合后得到復(fù)雜輪系的運(yùn)動(dòng)方案。

3.1 設(shè)計(jì)基本要求

輸入端與輸出端都是定軸的復(fù)雜輪系，故設(shè)計(jì)的基本要求如下：

(1)輸入構(gòu)件與輸出構(gòu)件必須為連架桿；

(2)輸入與輸出的運(yùn)動(dòng)方向確定；

(3)輸入與輸出的軸線相對(duì)位置：同軸、垂直、平行不同軸。

3.2 設(shè)計(jì)約束條件

(1)類型約束

連接的構(gòu)件具有相同的運(yùn)動(dòng)類型，即同為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或者同為行星運(yùn)動(dòng)。

(2)方向約束

前一個(gè)基本傳動(dòng)單元的輸出與后一個(gè)基本傳動(dòng)單元的輸入需保持相同的運(yùn)動(dòng)方向，如果運(yùn)動(dòng)方向不一致，需要對(duì)后一個(gè)基本單元的坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

假如：已知前一個(gè)基本傳動(dòng)單元輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閥軸方向，而后一個(gè)基本傳動(dòng)單元中輸入構(gòu)件的方向與x軸同向，則后一個(gè)基本傳動(dòng)單元需繞z軸進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，使其輸入方向與y軸相同。

3.3 設(shè)計(jì)過(guò)程

(1)在笛卡爾坐標(biāo)系下，由輸入輸出的運(yùn)動(dòng)功能要求得出輸入輸出運(yùn)動(dòng)特征空間。將運(yùn)動(dòng)特征空間映射為運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)方向矢量，這個(gè)傳動(dòng)方向矢量與基本單元的運(yùn)動(dòng)特征空間為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。以x軸方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)方向，如果輪系的輸入方向與x軸不同向，則需要對(duì)輪系系統(tǒng)做方向轉(zhuǎn)換，將輸入方向轉(zhuǎn)換與x軸同向。例如，輸入方向Ri與x軸同向，輸出方向Ro與y軸同向，則傳動(dòng)方向矢量為：

(2)由已知的輸入輸出傳動(dòng)方向矢量，根據(jù)矩陣運(yùn)算規(guī)則，可以得到傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣。

通過(guò)傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣，可以匹配得到基本傳動(dòng)單元。傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣公式為：

A=Ro·RiT

(2)

按(1)的實(shí)例，可求出：

(3)如果沒(méi)有匹配的基本傳動(dòng)單元，則將這個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣按指定的組合方式進(jìn)行矩陣分解(分解方法將在下節(jié)敘述)，再到單元庫(kù)中搜索與分解后的輪系單元轉(zhuǎn)換矩陣相對(duì)應(yīng)的基本傳動(dòng)單元。

3.4 運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換矩陣的分解方法

輪系問(wèn)題的基礎(chǔ)是研究輪系基本傳動(dòng)單元的性能。輪系單元主要有三種組合形式，分別是串聯(lián)式、并聯(lián)式以及混合式，混合式中既有串聯(lián)式又有并聯(lián)式，因此，在研究輪系單元組合性能時(shí)，需要首先對(duì)串聯(lián)式和并聯(lián)式進(jìn)行組合性能研究。下面以x軸輸入、x軸輸出的傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣為例說(shuō)明矩陣分解算法。

矩陣元素的運(yùn)算規(guī)則：

0⊕0=0 1⊕1=1 0?0=0 1?1=1

串聯(lián)式組合矩陣分解算法：

(3)

并聯(lián)式組合矩陣分解方法：

(4)

綜上所述，輪系的運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)流程如圖4所示。

圖4 輪系的運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)流程圖

4 運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)實(shí)例

下面將通過(guò)2K-H型空間周轉(zhuǎn)輪系的例子，對(duì)輪系的運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)方法進(jìn)行說(shuō)明。因?yàn)殡p自由度的輪系可以蛻化為單自由度的輪系，所以本文只考慮雙自由度的2K-H型空間周轉(zhuǎn)輪系的設(shè)計(jì)，該輪系的運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)是根據(jù)其初始狀態(tài)下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)的。

(1)設(shè)計(jì)要求：2K-H型空間周轉(zhuǎn)輪系的輸入輸出方向均與x軸同向且保持同軸，它們的輸入輸出傳動(dòng)方向矢量為：

(2)輸入-輸出傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣為：

(3)建立單元組合矩陣

由于是定軸輸入輸出，單個(gè)行星基本單元無(wú)法滿足運(yùn)動(dòng)要求，需要對(duì)轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行分解，來(lái)尋找滿足要求的基本傳動(dòng)單元。

將傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣按照串聯(lián)方式進(jìn)行分解為2個(gè)基本傳動(dòng)單元，其分解情況如下所示：

由2個(gè)基本傳動(dòng)單元組合得到的周轉(zhuǎn)輪系設(shè)計(jì)方案應(yīng)用最普遍，對(duì)傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣?yán)^續(xù)分解，將其再次分解為3個(gè)基本單元，則其分解情況為：

對(duì)方案2做具體分析，轉(zhuǎn)換矩陣的具體分解情況如下所示：

對(duì)分解得到的3個(gè)單元轉(zhuǎn)換矩陣與單元庫(kù)進(jìn)行匹配檢索，可得到相對(duì)最優(yōu)的3個(gè)基本傳動(dòng)單元，如圖5所示。

圖5 基本傳動(dòng)單元

將得到的3個(gè)基本傳動(dòng)單元組成合并，得到2K-H型空間周轉(zhuǎn)輪系系統(tǒng)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖6所示。

圖6 2K-H周轉(zhuǎn)輪系機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖(方案2)

對(duì)其余5種含3個(gè)基本傳動(dòng)單元的2K-H型周轉(zhuǎn)輪系按上述過(guò)程進(jìn)行運(yùn)行方案設(shè)計(jì)，可以得到5種相對(duì)最優(yōu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖7所示。

(1) 方案一 (2)方案三 (3) 方案四

(4) 方案五 (5) 方案六圖7 2K-H周轉(zhuǎn)輪系機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

通過(guò)基于單元模型的輪系方案設(shè)計(jì)方法，可以得到輸入與輸出端確定的所有輪系運(yùn)動(dòng)方案，并從中搜尋所需求的傳動(dòng)方式。

5 結(jié)論

(1)復(fù)雜輪系單元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型是表征輪系傳動(dòng)單元輸入、輸出的轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立輪系單元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型是進(jìn)行復(fù)雜輪系運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)的根本途徑，是研究輪系問(wèn)題的理論依據(jù)；

(2)輪系的單元組合的方法是運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，研究輪系單元組合以及單元組合的逆向求解過(guò)程是解決復(fù)雜輪系運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)的重要因素；

(3)通過(guò)建立輪系系統(tǒng)的傳動(dòng)方向轉(zhuǎn)換矩陣，對(duì)該矩陣進(jìn)行逆向分解，得到滿足系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換方程的輪系單元轉(zhuǎn)換矩陣，將該轉(zhuǎn)換矩陣與輪系單元庫(kù)進(jìn)行匹配，得到若干個(gè)輪系基本傳動(dòng)單元，從而對(duì)復(fù)雜輪系系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方案進(jìn)行設(shè)計(jì)。