基于譜峰斜率進行變步長搜索的DOA估計方法

樊文倩，李 艦

(西北大學 信息科技與技術學院，陜西 西安 710127)

波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計[1-2]是對傳感器陣列接收的數據進行分析處理，估計目標的方位或俯仰信息，是雷達、聲納、無線通信等領域的關鍵技術[3-4]。作為高分辨DOA估計的經典方法，Capon算法[5-6]通過固定步長的譜峰進行窮盡搜索，獲得目標的角度信息[5-7]。該方法存在計算量和存儲量龐大、運行時間長、實時性差的問題[8-9]。通常情況下，固定步長[10-11]難以協調計算量和收斂速度之間的內在矛盾。大步長可以簡化計算復雜度，但難以獲得高的估計精度，小步長增加了計算負擔，卻有利于提高分辨性能。變步長算法通常包含大步長的粗搜索和小步長的精搜索過程，可較好地平衡收斂速度和估計精度。

文獻[12]深入研究了變步長理論，在低信噪比的微弱信號和大誤差復雜場景下，提出一種改進的變步長最小均方算法，提出了步長因子和誤差之間的函數關系，使步長因子對時變系統具備跟蹤能力，該自適應算法對干擾濾除效果十分顯著。文獻[13]提出一種分級迭代變步長算法，很好地解決了收斂速度與穩態誤差之間的矛盾，該算法對盲源分離具有更穩更快的分離速度和穩態性能。

本文提出了一種低復雜度、變步長的搜索算法，首次搜索使用大步長的Capon算法進行搜索，根據譜峰首次搜索結果確定DOA檢測范圍，并求出該范圍內的斜率值，根據斜率值首次小于零確定譜峰在其左側，記斜率小于零點為P，所以取該斜率對應范圍的左值，同時向左取P-2點，并從P-2點處開始向右進行變步長搜索，根據上一步的步長x=1，選取步長函數進行變步長的迭代逼近搜索，并計算每個步長對應的譜峰函數的斜率值Ki，直到斜率值首次小于零，并取斜率值小于零的區間的左值，作為本次期望信號的估計角度DOA。

1 數據模型及Capon算法

空間中L個窄帶信號，同時入射到M個半波長的均勻線性陣列，陣元間d=λ/2，P個遠場窄帶信號以λ為波長入射到陣列，設各通道獨立且附加加性高斯白噪聲(AWGN)，定義DOA為信號來向與陣列法線的夾角θ，以第一個陣元為參考點，在第t次快拍下陣元m(m=1,2,…,M)接收的P個信源的總響應表示為

(1)

式中,Sp為第P個信源的復包絡；nm為第m個陣元上的噪聲，則陣列一次快拍的接收數據也可表示為

x(t)=A(θ)S(t)+n(t)

(2)

式中，x(t)為M×I維的接收數據向量；S(t)為L×I維的信號向量；n(t)為M×I維的加性高斯白噪聲向量；A(θ)為M×L維導向矢量矩陣，導向矢量a(θl)定義為

a(θl)=[ejx1wl,ejx2wl,ejx3wl,…,ejxMwl]T

(3)

式中，ωl=2πsinθl/λ為第l個陣元接收信號的角頻率；λ為信號的中心波長；xi(i=1,2,…,M)為第i個陣元的坐標，陣列輸出的協方差矩陣表示為

(4)

(5)

式中，a(φ)為期望信號的方向；R-1為R矩陣的逆矩陣。

2 本文提出的算法

假設空間有L個窄帶信號，同時入射到M個半波長的均勻線性陣列，陣元間d=λ/2，P個遠場窄帶信號以θ=[θ1,θ2,…,θp]入射到陣列，入射波長為λ，設各通道獨立且附加的噪聲是加性高斯白噪聲，定義DOA為信號來向與陣列法線的夾角θ。經典Capon超分辨DOA估計方法采用固定步長進行譜峰窮盡搜索，存在計算量和存儲量龐大、運行時間長、精準度不高的問題。

所提算法的具體實現步驟如下。

① 利用經典的Capon算法，先使用大步長的均勻搜索方法，根據Capon算法的譜峰公式[9]

粗略地估計出譜峰值的范圍，并截取該范圍，利用斜率公式

求出截取范圍內的譜峰斜率值Ki。式中，jdpf(i+1)為第i+1個點的角度譜峰值；jdpf(i)為第i個點的角度譜峰值。

② 根據上一步求得斜率值，找出截取范圍內斜率首次小于零對應區間的左值P，由于譜峰值在P點左側，所以向左取值P-2，并從P-2處開始向右進行變步長搜索。

3 仿真分析

3.1 仿真條件

本文的所有仿真實驗均是在裝有Inter?CoreTM2 Duo CPU E8400@3.00 GHz和6.00 GB的RAM，MatlabR2018ade PC機上實現的，本文提出的算法屬于初期的理論階段，因此所有的數據均采用理想的、假設的數據來進行驗證。

在Matlab中進行大量的仿真實驗，分別從RMSE、算法復雜度和分辨成功率這3個方面對所提算法進行性能評價。假設陣列天線為18陣元的均勻線性陣列，陣元間距為半波長，期望信號的來波方向是36.7°。均勻線陣所加載的誤差均值為零，方差為正態分布的隨機值，并且每個陣元的誤差單獨加載，針對每種變量進行試驗，每次采用100次Monte Carlo獨立實驗的平均結果，將其均方根誤差作為評估陣列數據處理誤差對算法性能影響的依據。

3.2 改進算法的仿真實驗

在仿真實驗中，假設有18個均勻線性排列的陣元，陣元間距為λ/2，信號之間相互獨立，信噪比為-6，期望信號的來波方向為36.7°。

第1步：用bc表示步長，取bc=5，采用經典的Capon算法在[1°,90°]間進行譜峰粗搜索，仿真結果如圖1所示，得到粗略的譜峰范圍為[30°,40°]，截取譜峰范圍[30°,40°]，并求出該范圍內每個點對應的斜率值，仿真結果如圖2所示。

圖1 步長為5 的譜峰粗搜索

圖2 31°～41°間譜峰斜率值

第2步：根據斜率值首次小于零的左側為譜峰的特點，找到斜率值首次小于零的區間的左值37，同時再向左取值35,并從點35處開始向右進行變步長的譜峰搜索。

圖3 算法流程圖

3.3 RMSE的仿真結果

(6)

圖4～圖6是兩種算法在改變信噪比、陣元數和快拍數的情況下的RMSE性能的實驗仿真圖。由仿真圖4～圖6可得，在信噪比、陣元數和快拍數改變的情況下，所提算法的RMSE更小，更接近期望信號角度。

圖4 不同信噪比對RMSE的影響

圖5 不同陣元數對RMSE的影響

圖6 不同快拍數對RMSE的影響

3.4 算法的復雜度

通過算法復雜度分析本文所提算法性能，首先提出兩個關于衡量算法復雜度的性能指標：① 時間復雜度，指執行算法所需要的運行時間[15]；② 運算復雜度，指程序里所包含的加減乘除、轉置及求正弦等次數的和。本次實驗通過比較所提算法和Capon算法的運行時間和RMSE來衡量兩種算法的復雜度。實驗結果如表1和表2所示。

從表1、表2中得知，在一定條件下，所提算法在運行時間上并沒有節省，而精度平均值是取10次RMSE的平均值來衡量的，因此在精度的準確性上精確了近9倍，計算過程如下：

表1 兩種算法運行10次的RMSE 單位：(°)

表2 兩種算法RMSE的平均值和運行時間

本文所提算法的最大貢獻就是準確度的提高，通過比較兩個算法的RMSE來進行衡量，傳統的Capon算法的平均RMSE為0.7588°，而本文提出通過引入步長函數，進行變步長的譜峰值搜索的方法求得的RMSE為0.0870°，所以相對原有的算法，本文所提算法在精度的準確性上精準了近9倍。而精度是通過比較兩個算法多次運行的RMSE來進行比較的。傳統的Capon算法的一次運行時間為130.5 s，而本文提出的方法進行譜峰搜索時一次運行時間為247.2 s，所以相對原有的算法本文所提算法在運行時間上并沒有節省，這也是所提算法的一個不足之處。

3.5 分辨成功率的仿真結果

分辨成功率(Probability of Resolution,PR)即在一定條件下，取一個誤差閾值，統計小于這個閾值的次數與總共實驗的次數的比例。設所允許的角度估計誤差門限值為▽θ，由于本次的實驗的期望角度為36.7°，精確到了小數點后一位，所以取▽θ=0.5，仿真結果如圖7所示，在Q次獨立實驗中N個DOA角度的估計值均滿足式(7)的實驗次數為Q1次，則PR=(Q1/Q)，仿真結果如圖7所示。

圖7 誤差門限為0.5時的PR

(7)

當估計的角度為兩個且兩角度相距很近，分別為θ1和θ2且譜峰函數f(·)取值滿足式(8)，即認為θ1

和θ2分辨成功。同理存在多個信號時，且角度間相距很近時，記為θi(i=1,2,…,n)。

(8)

(9)

通過仿真圖7可得，估計一個角度時，所提算法的PR明顯優于傳統的Capon算法，當存在多個信號時，可以采用上述式(9)的方法。

4 結束語

本文所提算法采取簡單的方法快速估計出期望信號的角度，在準確度上相比傳統的Capon算法精準了近9倍，改善了定位的準確性，避免了窮盡的譜峰搜索。仿真實驗表明：在相同信噪比下，所提算法的分辨成功率更高；同時所提算法的RMSE在信噪比、快拍數和陣元數變化的情況下，均明顯優于經典的Capon算法，估計精度優于傳統的Capon算法，更接近于期望信號。

雖然本文所提算法檢測單次算法運行時間上高于傳統的Capon算法，但是降低了算法的估計誤差，減少了無效的譜峰搜索。因此本文所提算法通過引入步長函數，進行變步長迭代逼近搜索求斜率值的方法，求解出期望信號的DOA，避免了窮盡的譜峰搜索，更高效準確地估計出期望信號的DOA。