平面幾何一題多解問題的探究

朱井龍

(上海市民辦尚德實(shí)驗(yàn)學(xué)校 201315)

一、一題多解的價(jià)值

如果教師在平面幾何教學(xué)中，注意挖掘和使用一題多解問題，除了可以強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識體系外，更重要的是能夠發(fā)散學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).而且在學(xué)生合作探究一題多解問題時(shí)，還可以發(fā)展他們的合作意識，提升他們的團(tuán)隊(duì)合作能力.下面這道平面幾何問題是典型的一題多解問題，是平面幾何教學(xué)中難得的好例題.

二、例題展示

例如圖1，已知：BM=MC,∠BAM=∠MDC，求證：AB=CD.

分析這道題目中的已知條件并不復(fù)雜，圖形結(jié)構(gòu)也比較簡單.但是，此題具有多種解法，每一種解法都針對了不同的知識體系.下面將從不同的角度，以不同方法去探究此題的解法.

三、解法分析

方法1利用中位線，構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形，證明兩線段相等.

輔助線：如圖2，延長BA交CD于G，取BG中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)MF.

易得MF=AF=AG=DG,所以AB=3AF,CG=2MF=2DG,CD=3DG=3AF,所以AB=CD.

方法2利用中位線，構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形，由部分相等證明整體相等

輔助線：如圖3，延長BA至E使AE=AB，聯(lián)結(jié)CE，AE與CD交于F,易證AM∥CE,得AF=DF，CF=EF,所以AE=CD,從而證得AB=CD.

方法3利用中位線，構(gòu)造等腰梯形，通過兩腰相等證明兩線段相等

輔助線：如圖4，延長CD至E使DE=CD,聯(lián)結(jié)BE,因?yàn)镈、M分別是線段CE、CB的中點(diǎn),所以DM∥BE，得梯形ADEB,又易證∠E=∠EBA，得等腰梯形ADEB,所以AB=DE=CD.

方法4利用三角形中位線證明兩線段相等

方法5由梅氏定理的證明的思想，構(gòu)造平行線，利用比例線段證明線段相等

方法6構(gòu)造平行線，利用角平分線性質(zhì)證明線段相等

方法7構(gòu)造平行線，利用角平分線性質(zhì)證明線段相等

方法8利用三角形等高不等底，面積之比等于底邊邊長之比

方法9構(gòu)造全等及等腰三角形

輔助線：如圖10，作CF∥AB，交AM延長線于點(diǎn)F,易得三角形ABM與三角形FMC全等,所以AB=CF, ∠BAM=∠F,因?yàn)椤螧AM=∠D，所以∠F=∠D,所以CF=CD,所以AB=CD.

方法10構(gòu)造全等及等腰三角形

輔助線：如圖11，延長DM至點(diǎn)F，使MF=DM，聯(lián)結(jié)BF,易得三角形BFM全等于三角形DMC,可得CD=BF，∠F=∠D,因?yàn)椤螧AM=∠D，所以∠F=∠BAM,所以AB=BF,所以AB=CD.

方法11構(gòu)造等腰三角形

輔助線：如圖12，在邊DM上取點(diǎn)F，使CF=CM,則CF=BM，∠MFC=∠FMC,所以∠DFC=∠FMB,因?yàn)椤螪=∠MAB,所以三角形DFC與三角形ABM全等(AAS),所以AB=CD.

方法12利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形

輔助線：如圖13，作CE垂直DM于點(diǎn)E，BF垂直DM于F，垂足分別是E，F(xiàn),易得△FMB與△MCE全等,所以BF=CE,因?yàn)椤螰=∠DEC=90°，∠D=∠BAM,所以△ABF與△DCE全等,所以AB=CD.

方法13利用正弦定理證明兩線段相等

四、總結(jié)

教師可以在平時(shí)的教學(xué)中注意積累，打造一題多解的教學(xué)資源庫.在教學(xué)實(shí)踐中，不斷地應(yīng)用一題多解問題，將一個(gè)題目的內(nèi)在價(jià)值充分地發(fā)揮出來，而不是讓學(xué)生一味地重復(fù)練習(xí).將平面幾何內(nèi)容的趣味性、學(xué)科價(jià)值等充分地發(fā)揮起來，為促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展作貢獻(xiàn).