一道涉及三角形面積的中考題的多種解法

徐新賢

(新疆石河子148團(tuán)第一中學(xué) 832048)

拋物線內(nèi)接三角形的面積計(jì)算問(wèn)題是中考中的常考題型，由于其綜合性較強(qiáng)，給一些同學(xué)帶來(lái)了一定的困惑.通常一道質(zhì)量較高的考試題，其解法大都不會(huì)是單一的，其對(duì)優(yōu)秀學(xué)生與普通學(xué)生的區(qū)分往往體現(xiàn)在對(duì)解題方法的選擇上.而把握題目特點(diǎn)并尋求較簡(jiǎn)潔的解法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生們發(fā)散性思維及模型歸納能力有一定幫助.本文以2017年湖北孝感市的中考?jí)狠S題第24題為例提出多種解法，以啟發(fā)中考復(fù)習(xí)課堂高效復(fù)習(xí)的思路.

例(簡(jiǎn)化版)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，規(guī)定：拋物線y=a(x-h)2+k的伴隨直線為y=a(x-h)+k．如圖1所示，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線y=m(x-1)2-4m與其伴隨直線相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與x軸交于點(diǎn)C、D．如果點(diǎn)P(x,y)是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PBC的面積記為S，當(dāng)S取得最大值27/4時(shí)，求m的值．

此題的解題思路是這樣的：先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后寫出△PBC的面積表達(dá)式，從而得出m的值.

首先應(yīng)該明確題目中的一個(gè)隱含條件，即圖1給出的拋物線開口向下，意即m<0.(為了敘述方便，下面分五個(gè)步驟進(jìn)行求解)

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).∵拋物線的解析式為y=m(x-1)2-4m，∴其伴隨直線方程為y=m(x-1)-4m=mx-5m,聯(lián)立以上兩式得m(x-1)(x-2)=0，即得x=1或x=2，把x值代入拋物線的伴隨直線方程得y=-4m或y=-3m，∴A(1,-4m)，B(2,-3m).∵m<0，∴A、B兩點(diǎn)均在第一象限內(nèi).

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo).把y=0代入拋物線方程可得|x-1|=2，即x=-1或x=3，∴C(-1,0)，D(3,0).

(3)畫出△PBC.先描出B、C兩點(diǎn)，連接BC，然后在BC上方的拋物線上任意取一點(diǎn)P(x,m(x-1)2-4m)，連接PB、PC得到△PBC，如圖2所示.

(4)寫出△PBC的面積表達(dá)式.注意到此題的實(shí)質(zhì)是求平面直角坐標(biāo)系中任意三角形的面積，常用的方法是在原圖形的基礎(chǔ)上通過(guò)添加與坐標(biāo)軸平行(垂直)的輔助線，構(gòu)造出(我們常說(shuō)的割補(bǔ)法)容易計(jì)算面積的規(guī)則幾何圖形，從而算出任意△PBC的面積.常見有以下幾種處理方法.

方法1補(bǔ)成直角梯形

如圖2所示，過(guò)P、B、C三點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，補(bǔ)成直角梯形CQEB，則S△PBC=S梯形CQEB-S△CQP-S△PEB

方法2補(bǔ)成矩形

如圖3所示，過(guò)P、B、C三點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，補(bǔ)成矩形CQEF，則

S△PBC=S矩形CQEF-S△CQP-S△PEB-S△CBF

方法3補(bǔ)、割成兩個(gè)三角形(a)

如圖4所示，先過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線BF，補(bǔ)成四邊形CPBF；再連接P、F把四邊形割成兩個(gè)三角形△CPF和△PBF，則

S△PBC=S四邊形CPBF-S△CBF

=S△CPF+S△PBF-S△CBF

方法4補(bǔ)、割成兩個(gè)三角形(b)

如圖5所示，先過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PE，然后連接BE補(bǔ)成四邊形CPBE；則線段PE把四邊形割成兩個(gè)三角形△CPE和△PBE，則

S△PBC=S四邊形CPBE-S△CBE=S△CPE+S△PBE-S△CBE

方法5補(bǔ)、割成一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形

如圖6所示，先過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線BF，補(bǔ)成四邊形CPBF；再過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PE，就把四邊形割成一個(gè)直角三角形△CPE和一個(gè)直角梯形PBFE，則

S△PBC=S四邊形CPBF-S△CBF=S△CPE+S梯形PBFE-S△CBF

方法6過(guò)點(diǎn)P割成兩個(gè)三角形

如圖7所示，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線CB于點(diǎn)Q，則線段PQ把△PBC割成兩個(gè)小三角形△CPQ和△PBQ，則

S△PBC=S△CPQ+S△PBQ

這就是我們常說(shuō)的“水平寬、鉛垂高”法(是參考答案)，此方法需要求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo).

方法7過(guò)點(diǎn)P及直線CB的延長(zhǎng)線構(gòu)造成一個(gè)大三角形

如圖8所示，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線與直線CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，構(gòu)造成一個(gè)大△CPQ，則

S△PBC=S△CPQ-S△PQB

此方法需要求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

同樣的道理，我們也可以過(guò)點(diǎn)B割成兩個(gè)小三角形或構(gòu)造一個(gè)大三角形；當(dāng)然也可以過(guò)點(diǎn)C構(gòu)造兩個(gè)大三角形，方法同上，不再贅述.