海洋立管非線性耦合振動系統的分段同倫分析*

秦玉鵬,范三妞,璩晶磊

(1.河南工學院 理學部,河南 新鄉 453003;2.河南科技學院 文法學院,河南 新鄉 453003;3.河南工學院 機械工程學院,河南 新鄉 453003)

0 引言

海洋立管是海洋平臺等海洋結構物的重要組成部件,由渦激振動產生的海洋立管疲勞損傷破壞已經成為限制海洋石油開發的技術難題之一。國內外學者在海洋立管渦激振動特性及抑振方面進行了深入研究,主要集中在實驗[1-3]和計算[4]兩個層面。Lie等[2]通過考慮細長柔性立管研究了其在剪切流作用下的渦激振動規律。王海青等[5]對海洋立管渦激振動進行了無比尺模型實驗,并研究了其在海洋環境載荷下的振動機理。劉景偉等[6]對深水海洋立管振動的試驗流場進行了設計和CFD數值模擬。李朋等[7]開展了海洋立管渦激振動干涉影響實驗研究,并基于FBG傳感技術對立管渦激振動過程進行了分析[8]。宗智等[9-11]應用虛擬激勵法研究了海洋立管的渦激損傷問題。

解析計算方法在求解工程問題中具有重要作用,其中同倫分析方法[12](Homotopy Analysis Method,HAM)是最著名的方法之一。近二十幾年來,同倫分析方法已被廣泛應用于熱傳導[13]、經濟[14]、水波[15]、振動[16]、噴氣流[17]和邊界層[18]等非線性問題研究。一般來說,由多項式基底表達的同倫分析解只在較小的區間范圍內有效[19],為了克服該問題,文獻[20]通過構造各區間上統一的具有任意初值的形式冪級數解,將解析延拓的思想引入同倫分析方法,得到了初值問題的分段解析解,形成了分段同倫分析方法(Piecewise Homotopy Analysis Method,PHAM)。

本文的主要目的是將PHAM應用于描述海洋立管渦激振動問題的非線性振動系統的解析求解。文章結構如下:第1部分將給出海洋立管非線性耦合振動系統的控制方程;第2部分致力于將PHAM應用于求解海洋的立管渦激振動問題;第3部分將對所求解析結果進行分析和討論;第4部分給出本文的結論。

1 模型與公式

本文考慮如下具有順流向和橫向兩個方向自由度的立管振動方程

(1)

這里,k是海洋立管結構的剛度系數,m是單位長度的立管質量,c是海洋立管結構的阻尼系數,x和y分別是立管的順流向和橫向位移,FD和FL分別是立管的順流向拽力和橫向升力。外部流場對海洋立管的作用可用Van der pol振子方程表示。研究振動方程與尾流振子之間的耦合作用,采用了Matteoluca尾流振子模型[3]

(2)

其中,qx和qy分別是順流向和橫向無量綱尾流振子變量,ωs是旋渦脫落頻率,εx和εy是非線性項系數,Ax和Ay是液動力系數,D是海洋立管的外徑。圖1給出了立管振動的示意圖。

圖1 立管振動示意圖

2 分段同倫分析解

對立管振動系統(1)和(2),考慮具有任意初值的初始條件

(3)

其中ai,bi(i=0,1)是任意常數。

構造下列同倫,即零階形變方程組[12]

(4)

其中,q是嵌入變量且滿足0≤q≤1,L是線性算子,Ni(i=1, 2, 3, 4)是一系列非線性算子,hi(i=1, 2, 3, 4)是一系列用來調節和控制級數解收斂區間和收斂速度的收斂控制參數,X0(t),Y0(t),Qx,0(t),Qy,0(t)是相應的初始猜測解。本文選擇的線性算子為

(5)

非線性算子為

(6)

初始猜測解為

(7)

通過定義

(8)

則φi(i=1, 2, 3, 4)在q=0處的Taylor展式為

(9)

將方程(6)對q求導k次,整理得下述高階形變方程

(10)

其中

(11)

接下來,通過使用Maple等符號計算軟件,求解線性高階形變方程(10),依次確定Xi(t),Yi(t),Qx,i(t),Qy,i(t)。最后,若假定所有的收斂控制參數hi(i=1, 2, 3, 4)都恰當選取,使得級數解(8)在q=1時收斂,則下述級數解

(12)

必是初值問題(1)、(2)和(3)的解。

不失一般性,下面將應用(12)的M階近似解

(13)

確定如下給定初始條件

(14)

的PHAM解。首先選擇步長d>0,采用

(15)

作為初值問題(1)、(2)和(3)在區間[0,d]上的近似解析解。然后將tk=kd(k=1,2,…)作為新的初始點,并且滿足如下初值

(16)

則可得初值問題(1)、(2)和(3)在區間[kd,(k+1)d]上的近似解析解

(17)

到目前為止,我們已經構造了由式(15)～(17)給出的M階PHAM解。顯然該解是由分段函數表示的。由于式(15)～(17)給出的PHAM解在各區間上具有相同的形式,在操作過程中可以在各區間上選擇同樣的hi(i=1, 2, 3, 4)。在本文,我們通過考慮區間[0,d]上的近似解析解確定hi(i=1, 2, 3, 4)的值,并將該系列值應用于其余區間[kd, (k+1)d]。

3 結果與討論

本部分將對所得解析結果式(15)～(17)進行分析和討論,參數選擇如下:m=1,c=1,k=1,FD=2,FL=0.5,εx=1,ωs=1,Ax=1,D=1,εy=1,Ay=1,A0=1,A1=0,B0=1,B1=0,C0=1,C1=0,D0=1,D1=0。另外,步長選為等步長,且d=0.2。

為了確定收斂控制參數hi(i=1, 2, 3, 4)的有效取值范圍,可借助由式(15)～(17)給出的5階PHAM解x[5](d;h1;1,0),y[5](d;h2;1,0),qx[5](d;h1=-1,h3;1,0,1,0)和qy[5](d;h2=-1,h4;1,0,1,0),的hi(i=1, 2, 3, 4)曲線確定,如圖2所示,圖中曲線的水平部分即為有效區間。圖3顯示了由式(15)～(17)給出的x,y,qx,qy的5階PHAM解在hi=-1(i=1, 2, 3, 4)的圖像,反映了海洋立管的非線性振動特性和規律。通過與RKF45所得數值解對比,發現低階的PHAM解已經與其吻合良好,充分顯示了PHAM的高效性。與數值解相比,該近似解析解除了給出各區間節點的信息外,還給出了整個區間的連續性質,在海洋立管的研究方面,既有利于定性分析,也有利于定量計算。

圖2 hi(i=1, 2, 3, 4)曲線

圖3 PHAM解(實線)與數值解(實心正方形)對比曲線

4 結語

本文應用分段同倫分析方法,成功求得了海洋立管非線性耦合振動系統的近似解析解。結果顯示該分段解析解與數值解吻合良好,表明分段同倫分析方法在求解海洋立管渦激振動問題時具有高效性。