海洋立管非線性耦合振動(dòng)系統(tǒng)的分段同倫分析*

秦玉鵬,范三妞,璩晶磊

(1.河南工學(xué)院 理學(xué)部,河南 新鄉(xiāng) 453003;2.河南科技學(xué)院 文法學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003;3.河南工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引言

海洋立管是海洋平臺(tái)等海洋結(jié)構(gòu)物的重要組成部件,由渦激振動(dòng)產(chǎn)生的海洋立管疲勞損傷破壞已經(jīng)成為限制海洋石油開發(fā)的技術(shù)難題之一。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在海洋立管渦激振動(dòng)特性及抑振方面進(jìn)行了深入研究,主要集中在實(shí)驗(yàn)[1-3]和計(jì)算[4]兩個(gè)層面。Lie等[2]通過考慮細(xì)長(zhǎng)柔性立管研究了其在剪切流作用下的渦激振動(dòng)規(guī)律。王海青等[5]對(duì)海洋立管渦激振動(dòng)進(jìn)行了無比尺模型實(shí)驗(yàn),并研究了其在海洋環(huán)境載荷下的振動(dòng)機(jī)理。劉景偉等[6]對(duì)深水海洋立管振動(dòng)的試驗(yàn)流場(chǎng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)和CFD數(shù)值模擬。李朋等[7]開展了海洋立管渦激振動(dòng)干涉影響實(shí)驗(yàn)研究,并基于FBG傳感技術(shù)對(duì)立管渦激振動(dòng)過程進(jìn)行了分析[8]。宗智等[9-11]應(yīng)用虛擬激勵(lì)法研究了海洋立管的渦激損傷問題。

解析計(jì)算方法在求解工程問題中具有重要作用,其中同倫分析方法[12](Homotopy Analysis Method,HAM)是最著名的方法之一。近二十幾年來,同倫分析方法已被廣泛應(yīng)用于熱傳導(dǎo)[13]、經(jīng)濟(jì)[14]、水波[15]、振動(dòng)[16]、噴氣流[17]和邊界層[18]等非線性問題研究。一般來說,由多項(xiàng)式基底表達(dá)的同倫分析解只在較小的區(qū)間范圍內(nèi)有效[19],為了克服該問題,文獻(xiàn)[20]通過構(gòu)造各區(qū)間上統(tǒng)一的具有任意初值的形式冪級(jí)數(shù)解,將解析延拓的思想引入同倫分析方法,得到了初值問題的分段解析解,形成了分段同倫分析方法(Piecewise Homotopy Analysis Method,PHAM)。

本文的主要目的是將PHAM應(yīng)用于描述海洋立管渦激振動(dòng)問題的非線性振動(dòng)系統(tǒng)的解析求解。文章結(jié)構(gòu)如下:第1部分將給出海洋立管非線性耦合振動(dòng)系統(tǒng)的控制方程;第2部分致力于將PHAM應(yīng)用于求解海洋的立管渦激振動(dòng)問題;第3部分將對(duì)所求解析結(jié)果進(jìn)行分析和討論;第4部分給出本文的結(jié)論。

1 模型與公式

本文考慮如下具有順流向和橫向兩個(gè)方向自由度的立管振動(dòng)方程

(1)

這里,k是海洋立管結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù),m是單位長(zhǎng)度的立管質(zhì)量,c是海洋立管結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù),x和y分別是立管的順流向和橫向位移,FD和FL分別是立管的順流向拽力和橫向升力。外部流場(chǎng)對(duì)海洋立管的作用可用Van der pol振子方程表示。研究振動(dòng)方程與尾流振子之間的耦合作用,采用了Matteoluca尾流振子模型[3]

(2)

其中,qx和qy分別是順流向和橫向無量綱尾流振子變量,ωs是旋渦脫落頻率,εx和εy是非線性項(xiàng)系數(shù),Ax和Ay是液動(dòng)力系數(shù),D是海洋立管的外徑。圖1給出了立管振動(dòng)的示意圖。

圖1 立管振動(dòng)示意圖

2 分段同倫分析解

對(duì)立管振動(dòng)系統(tǒng)(1)和(2),考慮具有任意初值的初始條件

(3)

其中ai,bi(i=0,1)是任意常數(shù)。

構(gòu)造下列同倫,即零階形變方程組[12]

(4)

其中,q是嵌入變量且滿足0≤q≤1,L是線性算子,Ni(i=1, 2, 3, 4)是一系列非線性算子,hi(i=1, 2, 3, 4)是一系列用來調(diào)節(jié)和控制級(jí)數(shù)解收斂區(qū)間和收斂速度的收斂控制參數(shù),X0(t),Y0(t),Qx,0(t),Qy,0(t)是相應(yīng)的初始猜測(cè)解。本文選擇的線性算子為

(5)

非線性算子為

(6)

初始猜測(cè)解為

(7)

通過定義

(8)

則φi(i=1, 2, 3, 4)在q=0處的Taylor展式為

(9)

將方程(6)對(duì)q求導(dǎo)k次,整理得下述高階形變方程

(10)

其中

(11)

接下來,通過使用Maple等符號(hào)計(jì)算軟件,求解線性高階形變方程(10),依次確定Xi(t),Yi(t),Qx,i(t),Qy,i(t)。最后,若假定所有的收斂控制參數(shù)hi(i=1, 2, 3, 4)都恰當(dāng)選取,使得級(jí)數(shù)解(8)在q=1時(shí)收斂,則下述級(jí)數(shù)解

(12)

必是初值問題(1)、(2)和(3)的解。

不失一般性,下面將應(yīng)用(12)的M階近似解

(13)

確定如下給定初始條件

(14)

的PHAM解。首先選擇步長(zhǎng)d>0,采用

(15)

作為初值問題(1)、(2)和(3)在區(qū)間[0,d]上的近似解析解。然后將tk=kd(k=1,2,…)作為新的初始點(diǎn),并且滿足如下初值

(16)

則可得初值問題(1)、(2)和(3)在區(qū)間[kd,(k+1)d]上的近似解析解

(17)

到目前為止,我們已經(jīng)構(gòu)造了由式(15)～(17)給出的M階PHAM解。顯然該解是由分段函數(shù)表示的。由于式(15)～(17)給出的PHAM解在各區(qū)間上具有相同的形式,在操作過程中可以在各區(qū)間上選擇同樣的hi(i=1, 2, 3, 4)。在本文,我們通過考慮區(qū)間[0,d]上的近似解析解確定hi(i=1, 2, 3, 4)的值,并將該系列值應(yīng)用于其余區(qū)間[kd, (k+1)d]。

3 結(jié)果與討論

本部分將對(duì)所得解析結(jié)果式(15)～(17)進(jìn)行分析和討論,參數(shù)選擇如下:m=1,c=1,k=1,FD=2,FL=0.5,εx=1,ωs=1,Ax=1,D=1,εy=1,Ay=1,A0=1,A1=0,B0=1,B1=0,C0=1,C1=0,D0=1,D1=0。另外,步長(zhǎng)選為等步長(zhǎng),且d=0.2。

為了確定收斂控制參數(shù)hi(i=1, 2, 3, 4)的有效取值范圍,可借助由式(15)～(17)給出的5階PHAM解x[5](d;h1;1,0),y[5](d;h2;1,0),qx[5](d;h1=-1,h3;1,0,1,0)和qy[5](d;h2=-1,h4;1,0,1,0),的hi(i=1, 2, 3, 4)曲線確定,如圖2所示,圖中曲線的水平部分即為有效區(qū)間。圖3顯示了由式(15)～(17)給出的x,y,qx,qy的5階PHAM解在hi=-1(i=1, 2, 3, 4)的圖像,反映了海洋立管的非線性振動(dòng)特性和規(guī)律。通過與RKF45所得數(shù)值解對(duì)比,發(fā)現(xiàn)低階的PHAM解已經(jīng)與其吻合良好,充分顯示了PHAM的高效性。與數(shù)值解相比,該近似解析解除了給出各區(qū)間節(jié)點(diǎn)的信息外,還給出了整個(gè)區(qū)間的連續(xù)性質(zhì),在海洋立管的研究方面,既有利于定性分析,也有利于定量計(jì)算。

圖2 hi(i=1, 2, 3, 4)曲線

圖3 PHAM解(實(shí)線)與數(shù)值解(實(shí)心正方形)對(duì)比曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用分段同倫分析方法,成功求得了海洋立管非線性耦合振動(dòng)系統(tǒng)的近似解析解。結(jié)果顯示該分段解析解與數(shù)值解吻合良好,表明分段同倫分析方法在求解海洋立管渦激振動(dòng)問題時(shí)具有高效性。