彎曲載荷作用下薄壁尖橢圓管對稱裂紋應力強度因子

張一馳，謝禹鈞

（遼寧石油化工大學 機械工程學院，遼寧撫順 113000）

大多數實際的工程結構都是三維有限邊界問題，確定此類結構裂紋的應力強度因子一直是斷裂力學領域的主要問題。本文主要采用有限元法分析異型管裂紋問題，采用有限元法分析法，并在此基礎上，通過ANSYS進行有限元分析，進一步對比J2-積分和ANSYS有限元分析結果，并給出尖橢圓管的應力強度因子計算方法。

1 J2-積分定義

1.1 三維J2-積分

對于三維邊界問題，位移矢量u為x1、x2、x3的函數，根據守恒律，則有J2-積分在三維有限邊界裂紋問題中的定義如下：

式中，Ω為包圍裂紋尖端區域一個積分曲面；n2為積分曲面Ω的外法線向量；Ti積分曲面Ω上的面力矢量；u為積分曲面任一點的位移矢量；n為外法線的方向余弦，w為任一點應變能密度。如圖1所示。

圖1 薄壁尖橢圓截面管裂紋構型

1.2 二維J2-積分

對于二維邊值問題，守恒律J2仍保持上述公式中的形式。這是上述中的（1）式的積分路徑為s，是坐標x1、x2平面內的一條閉合曲線。該積分在這樣的不含孔徑閉合曲線上的積分值為0。

單位厚度的I-型裂紋如圖2所示，在裂紋尖端近場取閉合積分路徑sdefd，其中單位厚度的I-型裂紋如圖2所示，在裂紋尖端近場取閉合積分路徑sdefd，其中sde為裂紋尖端且垂直于x1軸；sef為四分之一圓弧段。沿著路徑sde和sef，J2-積分可表示為

圖2 裂紋尖端近場積分路徑

則有

式中，μ為泊松比；E為材料的彈性模量；KI為I-型裂紋應力強度子。

2 彎曲載荷作用下薄壁尖橢圓截面管應力強度因子

薄壁截面管兼有三維殼體和細長梁構件的特征，可將材料力學中的應力與變形計算方法應用于應力強度因子的計算。

2.1 閉合積分曲面

薄壁尖橢圓形管如圖1所示，在裂紋截面遠場受彎曲載荷作用。將整體視為三維結構，選取閉合積分曲面，即由遠場截面A-、模型的內表面Ain、外表面Aout、韌帶截面A+和裂紋面Ac所圍成。因為Ain和Aout為自由面，Ti=0、n2=0，則可得如下結果：

對于積分曲面A+和A-，不難的得到

其中為尖橢圓管截面管單位軸線長度的應變能密度，φ′為尖橢圓管的軸線曲率。這兩個量可由材料力學中的方法確定。在遠端橫截面中，軸線曲率可由下式給出：

其中I為遠場無裂紋截面的慣性矩，對于裂紋韌帶截面，可將裂紋視為橢圓孔短半軸r→0退化而成，如圖2所示，則可視為“變截面梁”。根據材料力學梁的彎曲理論得出管的應變能為：

式中，I不含缺陷的管截面的慣性矩；a為裂紋橢圓模型長半軸的一半，如圖1所示；Ac為橢圓模型在0-c之間沿x2軸方向的側向截面積；Ic為截面Ac的慣性矩。

根據Clapeyron理論，根據平衡條件，則裂紋能量釋放率可表示為：

又

并由于Ωgf區內的橫向擠壓應力非常小，所以可忽略不計。

可以根據上述公式可得：

同理，由于Ωgf區內的橫向擠壓應力非常小，所以公式（18）等號左邊積分項可忽略不計，整理得：

2.2 尖橢圓管構型在彎曲載荷作用下的應力強度因子

同樣由圖1所示，尖橢圓管在弧型變的裂紋受到彎矩的作用，其裂紋張開能量釋放率由J2-積分和梁彎曲理論分別給出

則：

A′c為裂紋橢圓模型的側向面積；I′c為A′c的慣性矩；y′c為裂紋韌帶中性軸位置。

其中，y1=1+R-y0；令

整理可得正則化的應力強度因子式為

3 算例與本文結果比較

正則化應力強度因子的本文解與有限元解的比較見圖3。

圖3 正則化應力強度因子的本文解與有限元解的比較

采用Ansys對本文模型進行數值模擬，將本文得到解析解與有限元解比較（圖3），從而驗證本文所提出的方法的準確性。本文采用四節點殼單元shell181，彈性模量為E=210GPa，泊松比為μ=0.3。在裂紋尖端則采用1/4節點退化而成的奇異單元來模擬裂紋尖端奇異性，在通用后處理器中，采用相互積分法求解應力強度因子K，得到結果并進行正則化處理。

4 結束語

薄壁管裂紋問題是典型的空間三維裂紋問題，以尖橢圓管為例，利用通過守恒律提出了一個求解薄壁異型管結構應力強度因子的計算方法。并以尖橢圓管結構為例，研究了純彎曲載荷作用下尖橢圓管的應力強度因子計算問題。結果表明，本文解與有限元解進行比較，得出本文提出的求解應力強度因子的技術路線是可行的，特別適用于求解異型薄壁管結構的應力強度因子問題，該方法簡單有效，過程十分簡單，結果準確。