波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度研究

查曉雄，李文韜，郭 明，趙群昌，王小花

(1.哈爾濱工業大學(深圳) 土木與環境工程學院，廣東 深圳 518055； 2.深圳市市政設計研究院有限公司，廣東 深圳 518029)

隨著結構形式的不斷推陳出新，鋼板剪力墻逐漸受到重視和發展，但薄鋼板剪力墻易失穩而厚鋼板剪力墻成本較高。波紋鋼板因波折的幾何形式很好的彌補薄鋼板易失穩的缺點，且相對厚鋼板更薄，故部分學者著力于研究波紋鋼板剪力墻等波紋板構件的抗側性能。波紋鋼腹板梁方面，Johnson等[1]基于有限元分析和試驗研究了波紋鋼腹板梁剪切彈性剛度和極限承載力。集裝箱方面，查曉雄等[2]基于蒙皮理論推導了波紋板的抗側剛度。波紋鋼板剪力墻方面，李靚姣[3]對波浪形鋼板墻在不同受力條件下的性能進行分析；孫軍浩[4]理論分析了波紋鋼板剪力墻抗側承載力的計算方法，并得出了抗側承載力計算公式。李雅楠[5]理論分析了波紋鋼板剪力墻體系的抗側性能并進行了有限元模擬。趙秋紅等[6]研究了不同波紋鋼板連接方式、設計參數、豎向荷載對波紋鋼板剪力墻抗側性能的影響。可發現，波紋鋼板的抗側剛度公式雖已由Johnson等[1]經試驗得出，但公式的理論解釋尚不完善，準確性和適用范圍仍有待提高和擴大。

基于正交各向異性板理論，推導了波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度統一公式,并驗證公式的可靠性，后將公式計算結果與多種波紋鋼板剪力墻ABAQUS有限元模擬結果進行對比，驗證了公式的統一性，最后明確了公式的適用范圍。

1 波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度的理論分析

考慮波紋鋼板剪力墻框架對抗側剛度的貢獻，波紋鋼板剪力墻剪切彈性抗側剛度由框架抗側剛度Kf和波紋鋼板抗側剛度Kp兩部分疊加組成：

K=Kp+Kf

(1)

1.1 波紋鋼板剪力墻框架抗側剛度計算

考慮單層波紋鋼板剪力墻框架柱底部固接情形，框架樣式見圖1。其中L、H分別為波紋鋼板寬度和高度，L1、H1分別為框架柱截面高度和框架梁截面高度。

圖1 框架簡圖Fig.1 Frame sketch

根據李雅楠[5]對波紋鋼板剪力墻框架抗側剛度的研究，假設框架梁是剛性的，框架的初始剛度計算公式為

(2)

式中Ic是單根框架柱橫截面繞強軸慣性矩，E是框架鋼材彈性模量。

1.2 波紋鋼板抗側剛度公式推導

相對于平鋼板剪力墻，波紋鋼板剪力墻有更好的彈性屈曲性能，且能避開傳遞到墻板上的重力荷載[7]。根據波紋鋼板以上特點，將波紋鋼板等效成一塊寬為L、高為H、板厚度為t的正交各向異性平板，該異性板遵循如下基本假定[8]：

1)忽略剪應變τxz和τyz，因而彎曲前垂直于中面的直線在彎曲過程中保持直線并仍然垂直于中面。

2)略去法向應力σz及其相應的應變εz，因此任何點(x,y,z)的側向撓度與中面上對應點(x,y,0)的側向撓度相等。

3)與薄板的厚度相比，側向撓度是微小的，因而略去彎曲引起的中面伸長，即與彎曲相比略去彎曲引起的薄膜作用。

4)板的材質均勻、各向異性并且服從胡克定律。

正交各向異性材料在純剪切狀態下的側移剛度等于其剪切剛度：

(3)

將波紋鋼板等效為正交各向異性板時，其材料參數服從材料力學中正交各向異性體的規則[9]。對于各向同性材料，其彈性模量E、剪切模量G及材料泊松比ν存在簡單關系。類似，在正交各向異性體中彈性模量與剪切模量之間依然存在關系，謝一環[10]給出了正交各向異性板彈性模量、剪切模量、泊松比之間的關系推導。如圖2(a)所示，正方形正交各向異性材料單元，其受主應力主方向為:σ2=-σ豎向受壓，σ1=σ水平方向受拉。

圖2 正方形單元內接正方形正應力、剪應力、變形之間的關系Fig.2 Relationship between normal stress, shear stress, and deformation of inscribed square in square element

根據力的平衡，該單元內接菱形應力狀態為純剪應力狀態，且τ=σ，見圖2(b)。根據變形協調條件，內接菱形單元最終會變形成略扁的菱形，如圖2(c)所示，夾角會從π/2變成α,剪切變形為γ=π/2-α。由圖2(c)可知變形后菱形夾角一半α/2的正切值為

(4)

式中ε1為第一主應力σ1方向上的應變，ε2為第二主應力σ2方向上的應變。

(5)

根據式(5)左側對γ按一階麥克勞林式展開得：

(6)

(7)

因此：

1-γ+O(γ)=1-ε1+ε2+O(ε1,ε2)

(8)

將式(8)省略高階項并運算得：

(9)

根據正交各向異性體工程彈性常數的互等關系：

(10)

得正交各向異性平板沿板長方向的剪切模量表達式：

(11)

將波紋鋼板等效為正交各向異性板，式(11)中E1、E2分別為波紋鋼板x和y軸方向的等效彈性模量,該模量受波紋鋼板抗彎剛度影響顯著。Briassoulis[11]給出計算波紋鋼板繞波折邊線彎曲的抗彎剛度計算公式：

(12)

式中：C1是鋼板波紋一個周期的寬度，Sc是鋼板波紋一個周期展開后的寬度，t是波紋鋼板厚度，ν是鋼材泊松比。

繞波紋垂直方向的波紋鋼板抗彎剛度計算公式：

(13)

式中Ix是波紋鋼板波紋橫截面繞中性軸單個周期的慣性矩，Ix的表達式隨鋼板波紋形狀的不同而改變。

等效正交各向異性板厚度為t，其繞板長和板寬方向中性軸單位長度的截面慣性矩均為I=t3/12，而相應抗彎剛度Dx、Dy已知，如式(12)、(13)所示，故根據截面抗彎剛度公式D=EI反推x和y軸方向的等效彈性模量E1和E2：

(14)

工程中波紋鋼板常用波形有正弦形波紋鋼板、梯形波紋鋼板、半圓形波紋鋼板、三角形波紋鋼板，見圖3。

圖3 波紋鋼板常用波形示意Fig.3 Commonly used wave forms of corrugated steel plates

若波紋形狀為正弦形，采用竇超等[12]給出的相應慣性矩和單周期波紋展開長度計算公式：

(15)

(16)

將式(15)代入式(14)計算后得：

(17)

將式(17)代入式(11)：

G12=

(18)

(19)

若波紋形狀為梯形，則相應的Sc和Ix計算表達式：

(20)

(21)

將式(21)代入式(14)得：

(22)

將式(22)代入式(11)得：

(23)

(24)

半圓形波紋鋼板相應的Sc和Ix計算表達式：

Sc=πD

(25)

(26)

式中D是半圓形波紋鋼板外直徑，d是半圓形波紋鋼板內直徑。

特別的，半圓形波紋鋼板具有C1=4Ca=D+d的特性，故將式(26)代入式(14)，再代入式(11)化簡得：

(27)

(28)

當波紋鋼板波形為三角形時，相應的Sc和Ix為：

Sc=2p

(29)

(30)

將式(30)代入式(14)計算，再代入式(11)得：

(31)

(32)

(33)

根據郭彥林等[13]及陸鐵堅等[14]的分析，不考慮面外變形的前提下，防屈曲鋼板剪力墻板和厚鋼板剪力墻板在剪切彈性階段受力特征為均勻剪切，其彈性抗側剛度計算公式：

(34)

式中G是鋼板剪切模量，1.2是鋼板矩形形狀系數。

因式(33)推導的前提條件是板均勻剪切，已知式(34)滿足計算均勻剪切狀態時平鋼板彈性抗側剛度的條件，同時平鋼板也可看作是一種波紋鋼板，故將波紋鋼板剪切模量G12代替式(34)中的G計算波紋鋼板彈性抗側剛度是合理可行的，公式為

(35)

故根據式(1)、式(2)、式(35)得波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度計算統一公式：

(36)

由前面公式推知，正弦形、梯形、半圓形、三角形等波形的波紋鋼板剪力墻的彈性抗側剛度表達式形式是統一的，見式(36)。式(36)中有關波形的參數僅有C1/Sc，然而與波形相關的變量較多，不只有C1/Sc。故理論上為認為在C1/Sc不變的情形下，周期性波形形狀的改變對波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度無影響。

2 理論公式可靠性分析

影響波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度的主要部分是波紋鋼板抗側剛度，而不是框架抗側剛度，因此驗證統一公式的可靠性主要是驗證式(35)波紋鋼板彈性剛度計算的可靠性。式(35)由波紋鋼板剪切模量G12計算公式(33)轉化得來，故核心是驗證波紋鋼板剪切模量G12計算的可靠性。Johnson等[1]根據波紋鋼腹板梁抗剪試驗數據提出了波紋鋼板剪切模量G12計算公式，其可靠性已足夠：

(37)

故只需將式(37)與式(33)進行比較，即可驗證式(33)的可靠性，進而驗證式(36)的可靠性。鋼板泊松比ν=0.3時，將式(33)化簡得：

(38)

顯然，式(38)與式(37)形式相同，且式(37)是式(38)的1.001倍，因此式(38)是可靠的，進而式(36)是可靠的。

3 波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度有限元驗證

3.1 有限元模型

有限元分析采用趙秋紅等[15]建立的模型為基本模型。框架梁截面為：H500 mm×300 mm×11 mm×15 mm，框架柱截面為：H400 mm×400 mm×13 mm×21 mm；框架梁柱采用Q345B級鋼材，波紋鋼板采用Q235B級鋼材。鋼材本構關系為雙線性強化模型，彈性模量為2.06×105MPa，強化階段模量為0.01彈性模量，泊松比取0.3。所有模型均采用殼單元、S4R單元建模。框架和波紋鋼板模型的網格均采用四邊形單元進行劃分，如圖4所示，其中框架模型單元的單元大小統一為15 cm，而波紋鋼板模型單元大小根據波形尺寸的變化選擇2～5 cm。柱底和波紋鋼板底部各方向自由度受約束，梁腹板和梁柱節點區無平面外位移，梁柱連接方式為剛接。為模擬四邊連接的波紋鋼板與梁柱焊接連接的情形，有限元模型中波紋板與梁柱通過tie連接方式剛性連接在一起。

圖4 波紋鋼板剪力墻模型網格劃分示意Fig.4 Grid division of corrugated steel plate shear wall model

波紋鋼板初始缺陷按照結構彈性屈曲的一階屈曲模態施加，缺陷幅值為H/750。最后對結構進行非線性推覆分析。

3.2 理論結果與有限元分析結果對比

為驗證理論公式的統一性，有限元模型中波紋鋼板采用了開口和縮口梯形波紋鋼板、正弦形波紋鋼板、三角形波紋鋼板、半圓形波紋鋼板5種波形，并在波形基礎上改變各形狀參數值進行模擬。波紋尺寸數據見表1～3。

表1 梯形波紋鋼板剪力墻抗側剛度對比Tab.1 Comparison of lateral-resistant stiffness of trapezoidal corrugated steel plate shear wall

根據對上述模型的有限元分析得水平荷載-位移曲線，通過取該曲線的第一條上升段斜率獲得剪力墻的彈性抗側剛度K模擬值。選取編號T3梯形波紋鋼板剪力墻模型的荷載-位移曲線為典型，如圖5所示，紅色虛線段為水平荷載-位移曲線的第一條上升段，是一條斜直線，且所有有限元分析所得的水平荷載-位移曲線第一條上升段都為斜直線，故計算該線段斜率得剪力墻的彈性抗側剛度K模擬值。

圖5 水平荷載下波紋鋼板剪力墻荷載-位移曲線Fig.5 Load-displacement curve of corrugated steel plate shear wall under horizontal load

波紋鋼板剪力墻模型共建立70個，根據鋼板波形的不同，分為梯形波形36個，正弦波形17個，三角形波形9個，半圓形波形8個以驗證理論公式的統一性。

表1～3中K計算值結果即波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度計算值，是由波紋鋼板彈性抗側剛度計算值和框架抗側剛度計算值簡單疊加而成的組合值，計算公式見式(36)。

值得注意的是，波紋鋼板彈性剛度理論計算省略了公式分母中的小項，未考慮初始缺陷，未考慮框架的彎曲變形且理論假定認為等效正交各向異性板處于純剪應力狀態；而有限元模型不僅考慮了初始缺陷和框架的彎曲變形，且剪力墻中的波紋鋼板并非純剪應力狀態等，這使K計算值普遍大于K模擬值，在表1～3中都有體現。表2中正弦波紋鋼板剪力墻剛度對比存在個別K計算值略小的情形，且偏小的程度不明顯，屬于個例。

圖6中，紫色正三角形點代表各梯形波紋鋼板剪力墻，橙色圓點代表正弦波紋鋼板剪力墻，棕色空心菱形點代表三角形波紋鋼板剪力墻，紅色五角星形點代表半圓形波紋鋼板剪力墻。波紋鋼板剪力墻計算值和模擬值比值的均值為1.111，絕大部分點落在0%實線以上，說明波紋鋼板剪力墻彈性剛度計算值比模擬值總體偏大，在計算剪力墻地震剪力時，鋼板剪力墻實際分擔的地震剪力小于計算地震剪力，相對偏安全；方差為0.006 4，說明計算值與模擬值總體吻合良好，離散性小；表明所提出的波紋鋼板剪力墻彈性剛度統一計算公式具有明顯的統一性。

表2 正弦波紋鋼板剪力墻抗側剛度對比Tab.2 Comparison of lateral-resistant stiffness of sinusoidal corrugated steel plate shear wall

表3 三角形和半圓形波紋鋼板剪力墻抗側剛度對比Tab.3 Comparison of lateral-resistant stiffness of triangular and semicircular corrugated steel plate shear walls

圖6 理論計算值與模擬值對比Fig.6 Comparison between theoretical calculation results and simulation results

4 公式適用范圍分析

由于波紋鋼板本身的抗側剛度受與周邊框架的連接形式影響較大，故需在已有的四邊連接水平波紋鋼板剪力墻僅受單調水平荷載時的彈性抗側剛度統一公式基礎上討論波紋鋼板邊界條件、豎向荷載、波紋鋼板放置方向對波紋鋼板剪力墻抗側剛度的影響，明確統一公式的適用范圍。

根據趙秋紅等[6]的研究，波紋橫放和波紋豎放的四邊連接波紋鋼板剪力墻與和波折邊兩邊連接的豎向波紋鋼板剪力墻初始剛度非常相近，而兩邊連接的水平波紋鋼板剪力墻初始剛度顯著降低，見圖7。此外，李雅楠[5]的研究發現，各軸壓比下的豎向荷載對四邊連接的波紋鋼板剪力墻結構的初始剛度基本無影響。由此明確所推導的統一公式同時適用于計算邊界條件為四邊連接的波紋鋼板剪力墻在受單獨水平荷載和水平荷載、豎向荷載共同作用下的彈性抗側剛度。

圖7 不同邊界條件下的波紋鋼板剪力墻示意Fig.7 Corrugated steel plate shear wall with different boundary conditions

5 結 論

本文在考慮邊緣框架抗側剛度貢獻的基礎上通過正交各向異性板理論對彈性階段的波紋鋼板等效平板在純剪和純主應力作用下的面內變形的比較分析，推導了波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度統一公式，通過已有的波紋鋼板剪切模量公式對比驗證了統一公式是可靠的，并根據有限元分析驗證了公式的統一性，最后明確了公式的適用范圍，主要結論如下：

1)從理論角度分析了波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度，推導了波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度統一公式。該公式理論性在于：公式完全由理論推導得出，有限元模擬用于驗證公式的統一性，而非修正公式參數。

2) 波紋鋼板剪力墻彈性抗側剛度統一公式的統一性和適用范圍：鋼板波形為梯形、正弦形、半圓形、三角形等周期性形狀；波紋鋼板放置方向為豎向或橫向；波紋鋼板與周邊框架的邊界條件為四邊連接；波紋鋼板剪力墻受力條件為單獨受水平荷載或同時受水平荷載和豎向荷載。

3) 在不變的情形下，鋼板波形變化對波紋鋼板剪力墻剪切彈性抗側剛度影響不明顯。