留有『新懸念』，讓學習在持續、主動的探究中走向深刻
——以《三角形的秘密》教學為例

文|管小冬

小時候聽單田芳先生的評書，印象最深的是每到情節緊要處，他便會來句“欲知后事如何，請聽下回分解”，讓人恨不得把他從收音機中揪出來，講個究竟，道個明白。后來才知道，這叫“懸念”，是文藝作品中常用的一種表現技法，指“讀者、觀眾、聽眾對文藝作品中人物命運的遭遇，未知的情節的發展變化所持的一種急切期待的心情”。單先生在講評書時，于關鍵處斷章，讓大家欲罷不能，不知不覺就成了他的“追星族”，運用的就是設置“懸念”的技法。

成為教師，有了些經驗后，再回想起兒時的這種經歷時，便想著如果教學中我們也能像單先生那樣，時時都能給學生留有“新懸念”，讓他們的數學學習“一波方平，一波又起”，那么，在這樣的體驗中所進行的數學探究，一定會是件持久的趣事，學習也一定會在他們持續、主動的探究中不斷走向深刻。

為什么這樣認為呢？

首先，“懸念”意味著一個新問題的發現與提出。愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。因為解決一個問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。”《數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）也指出，“學生自己發現和提出問題是創新的基礎”。“課標”中的課程目標由原來的“兩能”變為“四能”，也正是意在突出“發現和提出問題的能力”在學生數學核心素養的培養與發展方面的重要作用。留有“新懸念”便是指學生在對某一數學問題或現象的探究過程中，在觀察、思考、分析與交流的基礎上，又有了新的發現，進而提出了與當前問題相關聯的新問題，并且對解決問題、尋求結果有著強烈的心愿。這種強烈的心愿會驅使他們主動投入到持續、深入的探究中去。

其次，“懸念—發現—新懸念—新發現”這種循環遞進的學習與探究，契合真實環境下的學習與研究進程。1896年，鈾元素放射性質的研究給居里夫人留下了“新懸念”———“一定還有別的元素也具有同樣的放射性質”。這一懸念驅動她繼續研究并發現了釷元素，同時又留下一個“新懸念”，即一定有一種比鈾和釷的放射作用強得多的未知元素。進而她才在研究中發現了鐳，為人類探索原子世界的奧秘打開了大門，并由此誕生了一門新的學科——放射學。居里夫人的這一研究歷程告訴我們：在真實而復雜的問題研究中，往往會有新感悟、新發現，進而生成新問題，形成新懸念。這些新感悟、新發現、新問題、新懸念會催生我們不斷加深對研究的熱情與動力，進而進入新的境界。

然而，回顧我們的現實教學，往往卻很少能引領學生感受與經歷這一點。教師常常會拘泥于具體的課時教學內容，帶領學生就問題解決去研究問題解決。以《三角形的三邊關系》教學為例，教師創設與之密切相關的問題情境，引導學生發現問題、提出問題、分析并解決問題。在得出“三角形兩邊之和大于第三邊”的結論后，研究就戛然而止，隨后的練習都指向結論的深化理解與鞏固應用。過于明晰的教學內容劃分，過于聚焦的教學目標指向，讓教師忽視了即使在對某一具體數學問題的研究中，學生仍然有可能在觀察、思考、辨析與交流中，形成一些與當前問題相關聯，但卻看似沒有直接作用的新發現與新懸念。要知道，恰恰是這些看似沒有直接作用的新發現、新懸念，會催生學生繼續學習與研究的熱情與動力，推動著他們的數學學習與研究不斷向更深、更廣處邁進。而這樣的學習與研究，才是指向于“未來生活中，真實而復雜情境下的問題解決”的“真學”，意味著學生創新意識的萌發，問題解決能力的提升，數學核心素養的形成與發展。再次，以“新懸念”推動學生持續、主動、深入地展開數學學習與探究，回應了當下教學中對兒童主體性的召喚。成尚榮先生在《兒童立場》一書中寫到：“小學教育好比一扇門……小學教育就是引導學生一次又一次地叩開這扇門，推開這扇門，迎接一個又一個新日子和新世界。”顯然，“怎樣引導？”“以何種方式叩門？”都是值得我們思考與研究的問題。給學生的數學學習留有“新懸念”，就是引導他們在主動觀察與思考中發現不同的“叩門”方式，激發他們“一次又一次叩開這扇門”的熱情，引領他們主動去“叩門”，進而發現一個又一個更新的世界。情境教育創始人李吉林老師曾說：“兒童會因好奇、因美感、因探究……凡此種種都促其形成一種關注、探究而要學。”腦科學的研究發現，“只有情緒才能為我們提供足夠多的熱情來達到目標”。留有“新懸念”正是從心理學與腦科學的研究角度出發，注重“把情感活動與認知活動相結合”，確保數學學習中兒童主體性的實現。

接下來，我將以《三角形的秘密》一課教學為例，與大家分享我在這方面的實踐與思考。

在對蘇教版四年級下冊“三角形”這部分內容進行整體研究時，我發現，雖然都是在研究“三角形”，但教材對各課時內容的編排均相對獨立（練習課除外），未能很好地呈現出同一主題下不同知識間的相互聯系，也不利于學生數學學習的自主開展。比如，教材第二、第三課時的內容分別是“三角形的三邊關系”與“三角形的內角和”，前者研究三角形的邊，后者研究三角形的角，但無論是教材的編排還是我們的常規教學，給學生的感覺都是研究完邊，再去研究角，這兩者間似乎沒有關聯，只是在教材及教師的指導下聽命行事。

對此，我思考，在“三角形”這個板塊中，是否能為學生預留一條可以貫穿這些內容始終的線索，指引他們不斷有新的感悟、新的思考、新的發現，進而圍繞這些感悟、思考與發現進行一些有目的、有意義并初具主動性的數學活動呢？如果可以，想必在這樣的過程中，學生會有更進一步探究的欲望，更能感受到數學思考、數學發現的樂趣，更能體驗到數學本身的魅力。

經過梳理，我發現，這條線索應該就是三角形中邊與角這兩種元素間的緊密聯系。因此，從這個板塊的第一課時《認識三角形》的教學開始，我就十分注重為學生的探究留有“新懸念”，讓他們在感受三角形邊、角間緊密聯系的同時不斷有新的感悟與發現。（具體可參閱本刊2021年第1~2期《立足“高觀點”，讓學習在數學與兒童的和諧統一中走向深刻》）

同時，我又將“三角形的三邊關系”改編為“三角形的秘密”，這里的“秘密”不僅指“三角形的三邊關系”，更指學生在發現三角形的角與其對邊相互關系的基礎上，更多可能的發現。

關于這一內容新授部分的教學設計與思考，大家可參閱本刊2021年第5期《創設“真情境”，讓學習在學與教的價值歸一中走向深刻》一文。以下案例重點介紹在新授部分教學的基礎上，如何為學生留有“新懸念”，引領他們持續、主動、自發地展開數學探究。

【案例】“三角形的秘密”拓展練習

師：通過剛才的探究我們發現，三角形中固定長度的兩邊，夾角越大，對邊越長；夾角越小，對邊越短。在此基礎上，通過思考、交流與辨析，又發現了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。接下來，讓我們一起來看一道練習。

課件出示問題后，學生先獨立思考，隨后教師組織交流。

生：第二個三角形是小明圍的，第一個是小紅圍的。因為我們看到的是三角形中紅色與橙色這兩條邊的夾角，而固定長度的兩邊，夾角越大，對邊就越長，第二個三角形中這個角更大，所以它的對邊應該更長些。

師：是這樣嗎？大家同意他的觀點嗎？一起來看看。

課件移去遮擋的圖形，呈現兩個完整的三角形。（如圖1）

圖1

師：抓住三角形邊與角的關系進行分析，真棒！小麗也用三根小棒圍成了一個三角形，你能想象出這個三角形的樣子嗎？

生：5厘米和8厘米這兩條邊的夾角應該比第一個三角形的這個角要大些，比第二個三角形的這個角要小一些，大致應該是這樣。（邊說邊比劃）

生：這是一個等腰三角形，因為有兩條邊都是8厘米。

學生交流后，課件出示答案。（如圖2）

圖2

師：怎么樣，與你想象的一樣嗎？仔細觀察，你還有什么新發現？

生：等腰三角形的兩個底角大小相等。

師：是啊，好多同學都聽說過這一點。不過，想想，為什么這兩個角的大小會相等呢？與我們今天發現的秘密有關聯嗎？

師：小亮也圍了一個三角形，他的三角形又會是什么樣呢？

生：與小明的三角形一樣，因為他用的三根小棒也是5厘米、8厘米和10厘米。

師：可能會是其他形狀嗎？

生：（邊說邊比劃）不可能。大家看，如果5厘米和8厘米這兩條邊的夾角變了，那第三條邊的長度也會變，就不可能是10厘米了。所以，只要三條邊的長度相同，它們圍成的三角形形狀就一定相同。

師：看來，三角形的形狀與它的三條邊的長度密不可分。想想，這里又會藏著三角形怎樣的秘密呢？

整節課中，在教師的精心設計下，為學生預留了多處可能會引發“新懸念”的空間。在這里，“三角形的秘密”既指經過探究已經發現的“秘密”，也指在探究中初步有所感悟，但還未及深入去觀察、操作、思考的潛在“秘密”。

比如，在拓展練習之前的探究中，學生發現“固定長度的兩邊，夾角越大，對邊越長……”時，如果關注到三角形的三個角，就會初步發現這個夾角越大，另外兩個角就越小，而當這個夾角張到接近180°時，另兩個角就越接近0°，由此引發關于“三角形內角和”的“新懸念”。

又如，上面的練習中，小麗的等腰三角形的出現，可能引發的是“等腰三角形的兩個底角為什么相等？”這樣的“新懸念”。對于這一點，教材是引導學生通過操作進行驗證的，即把等腰三角形對折后能完全重合，說明兩個底角相等。而在上面的活動中，“新懸念”的引發，則為學生預留下了以推理、思辨來進行論證的探究之路。在此基礎上，學生對“三角形中，大角對大邊”這一性質的發現也會成為可能。

再如，在對小亮所圍的三角形形狀的辨析中，為學生預留的“新懸念”是“三角形的邊、角與它的形狀間的緊密關聯”。從學生的發言中也可看出，他們已初步觸摸到“三角形的穩定性”的數學本質。

這些經過教師精心設計，為學生預留下的“新懸念”，一定會成為學生心心念念、極欲一探究竟的數學“秘密”，也一定會促發他們主動踏上揭秘的探究之旅。如此，數學的學習與研究就不再是教材與教師指引下的按部就班，而會在“懸念—發現—新懸念—新發現”的循環中不斷走向主動、持久與深刻。