微型球形壓縮機的幾何模型與運動學分析

董耀輝，王陸一，趙遠揚，李連生

（1.青島科技大學 機電工程學院，山東青島 266061；2.深圳市中安動力科技有限公司，廣東深圳 518000）

0 引言

微型壓縮機是指結構緊湊、幾何尺寸較小的機器。不同于常規壓縮機，它具有質量輕、體積小、易攜帶等特點，可滿足在較小空間下的運行要求。

目前，國內外有許多機構和學者專注于微型壓縮機的研究開發和工程化應用。在結構方面，回轉式的性能一般優于往復活塞式，所以更受關注。美國Aspen公司研發的微型轉子式壓縮機［1］（14-24-000X），使用R134a工質，排量為1.4 cm3，應用該壓縮機的制冷系統可以在38 ℃的環境溫度下產生300 W的制冷量。國內的鐘曉暉等［2］提出的微型三角轉子式壓縮機，也是典型的回轉式結構，使用R22工質，系統在40 ℃的環境下同樣可以產生300 W的制冷量，但該型壓縮機還有許多問題亟待解決，處于研發實驗階段。

微型制冷系統一直是制冷領域研究的熱點。桑岱等［3］綜合分析了幾種制冷方式在微型制冷系統的性能和表現，指出蒸氣壓縮式制冷明顯優于吸收式和熱電制冷，認為高能量密度的能量源和微型化壓縮機將是未來蒸氣壓縮技術革新的關鍵。馬澤昆等［4］使用KTN微型全封閉轉子式壓縮機，進行了自復疊制冷系統的實驗研究，結果表明微型自復疊系統在32 ℃的環境溫度下運行20 min可以得到-65.5 ℃的低溫環境，為微型轉子式壓縮機和微型制冷系統實現更低制冷溫度以及未來商用提供了依據。

微型壓縮機在航天航空、軍工、醫療、制冷等領域的應用十分廣泛，微型化的進一步發展需要研究開發新結構的微型機械。

微型球形壓縮機是基于球形變容積理論而發明的一種新的容積式微型壓縮機［5］，具有零件少、運行穩定、變工況性能好等優點。該結構壓縮機自發明以來，發明人已進行了一些研究工作［6-9］，但基于相同原理的微型球形泵的研究更深入一點［10-17］，且已有工程應用。針對球形壓縮機，有關幾何理論、動力學理論等詳細推導尚無公開報道。

本文針對微型球形壓縮機，在前人研究工作的基礎上，進行了幾何理論和運動學分析，以推動微型球形壓縮機技術的發展。

1 幾何理論及運動學分析

1.1 球形壓縮機結構及工作原理

球形壓縮機主要部件如圖1所示，機芯組件由活塞軸、活塞、銷軸（鉸鏈）、轉盤和轉盤軸構成。

圖1 球形壓縮機零件Fig.1 Spherical compressor parts drawing

如圖1，2所示，球形壓縮機的壓縮腔（又稱容積腔或基元容積）由缸蓋、活塞與轉盤圍成，活塞頂面、轉盤側面與工作腔內壁面具有相同的球心并形成密封動配合。活塞軸與豎直方向的偏角為α，缸蓋上設有活塞軸孔，活塞軸可在此孔內繞自身軸線旋轉。轉盤底面伸出轉盤軸斜插在主軸上的凹槽內。缸蓋上設有吸氣和排氣孔口，工作時，電機帶動壓縮機主軸旋轉，在主軸與活塞軸孔的作用與限制下，轉盤與活塞做旋轉運動，在旋轉的同時轉盤與活塞以鉸鏈為支點做相對擺動，使容積腔大小隨主軸轉角變化，從而實現氣體的吸入、壓縮和排出。

圖2 球形壓縮機剖面Fig.2 Profile of spherical compressor

1.2 特征角度分析

活塞偏角α不僅影響壓縮腔的容積，而且影響機芯內主要部件相對運動。如圖3所示，此為初始狀態時的壓縮機活塞正視圖，活塞的中心線是圖中的虛線，圖中α1為轉盤與水平方向夾角，α2為活塞偏角，α=α1=α4=α，α1=π / 2-2α，即活塞切角（反映扇形活塞大小）為π-4α。可得α3=π-α1-2 α2+ α4=4α。即工作腔最大張角為 4 α，在運動過程中轉盤與活塞的相對擺動為4 α。在其它尺寸參數不變的情況下，增大活塞偏角，工作腔最大張角隨之增大，壓縮機的吸氣量也相應增加。

圖3 特征角度示意Fig.3 Schematic diagram of characteristic angle

1.3 活塞運動分析

運動學分析是研究壓縮機幾何關系的重要方法，球形壓縮機活塞的運動規律［9］如式（1）～（3）所示。

式中 ?——活塞轉角，（°）；

θ——主軸轉角，（°）；

α——活塞偏角，（°）；

ωφ——活塞角速度，rad/s；

ωθ——主軸角速度，rad/s；

aφ——活塞角加速度，rad/s2。

由式（1）～（3）得到不同偏角下的活塞運動情況，如圖4～6所示，主軸每旋轉180°，活塞都會旋轉90°，活塞角速度ωφ總是在1/2 ωθ處上下波動，且不同活塞偏角會對運動過程中的參數變化產生不同的影響。活塞偏角越大，在活塞運動過程中，ωφ偏離1/2 ωθ的程度就越大，其角速度、角加速度的波動幅度也會變大。選取主軸轉速為3 500 r/min，如圖 5，6 所示，α =5°時，活塞角速度、角加速度的變化幅度約為1.4 rad/s和511 rad/s2。α=25°時，活塞角速度、角加速度的變化幅度約為36.1 rad/s和13 330 rad/s2。在壓縮機運行穩定性和吸氣量等多方面考慮，一般選取α的取值范圍為 10°～20°。

圖5 活塞角速度變化Fig.5 Change of piston angular velocity

1.4 工作腔夾角分析

根據主軸轉角、活塞偏角、活塞轉角3個參數，可推導出工作腔（容積腔）張角，進而求得工作腔容積的變化規律。

如圖2所示，轉盤斜插在主軸上，活塞通過銷軸與轉盤連接，三者的運動相互聯系，但也可以單獨表示。活塞繞自身軸線的轉動，如圖7所示，O點是活塞、轉盤所在球的球心，X'Y'Z'坐標系是XYZ坐標系沿Y軸旋轉α后得到的，OZ'方向與活塞軸方向一致，OZ'也是活塞轉動的軸線，OY（OY'）方向是初始位置（θ=0°）時銷軸的方向。當壓縮機工作時，活塞以OZ'為軸線旋轉，銷軸在X'OY'平面內運動，活塞、銷軸的運動都可以在X'Y'Z'坐標系中表示出來。在活塞運動過程中，如圖7，8所示，向量 μ是從O點指向活塞壁面邊線中點的向量，其可以代表轉盤壁面的實時位置，σ，λ代表銷軸、轉盤軸位置的向量，ε是從O點指向轉盤壁面邊線中點的向量，可代表轉盤工作腔壁面的位置。

圖7 壓縮機運動示意Fig.7 Schematic diagram of compressor movement

圖8 向量示意Fig.8 Vector schematic diagram

在初始位置時，在X'Y'Z'坐標系中，代表閉合腔（張角為零）活塞壁面位置的向量：

當活塞運動時，壁面中心線向量可表示為：

該向量在XYZ坐標系中的表示可用下式求得：

其中Ry為坐標轉換矩陣，其表達式為：

活塞壁面中心線在XYZ坐標系下可表示為：

由裝配關系可知，銷軸與活塞的運動完全一致，可通過相同的方法得到銷軸在XYZ坐標系下的位置：

轉盤運動可以在XYZ坐標系中直接表示，在XYZ坐標系中，轉盤軸方向始終與垂直方向有α的夾角，其運動軌跡為以活塞所在球形球心為頂點的錐面，在初始位置（θ=0°）時，代表轉盤軸的向量可表示為：

在轉盤運動過程中，轉盤軸的位置向量為：

由轉盤軸和銷軸的位置，利用空間向量積原理，可計算出轉盤壁面的位置向量ε。

ε即代表轉盤壁面實時位置的向量。

已知活塞壁面位置向量 μ2與轉盤壁面位置向量ε，兩向量之間的夾角可以通過夾角公式求得：

進一步得到工作腔張角（代表容積）隨主軸轉角、活塞偏角的變化關系。

圖9 不同活塞偏角下工作腔夾角隨主軸轉角的變化關系Fig.9 Variation of working chamber angle with shaft rotation angle at different piston angles

2 幾何模型

2.1 行程容積計算

行程容積是指壓縮機轉動一圈過程中吸入的氣體容積，與壓縮機的結構、尺寸等相關，如圖10所示，球形壓縮機的行程容積，只與球形活塞半徑R、鉸鏈橫截面半徑r以及活塞偏角α有關。該型壓縮機的行程容積：

圖10 R，r示意Fig.10 Schematic diagram of R and r

2.2 壓縮腔容積與張角的關系

該模型工作腔結構比較規范，工作腔容積與夾角成正比，可以直接通過夾角計算出體積，如下式所示：

式中 V——工作腔容積，mm3；

K——轉換系數，mm3/°；

β——工作腔張角，rad。

K代表工作腔內每單位角度內的容積，表征了工作腔容納工質氣體的能力，大小與壓縮機結構有關，當壓縮機結構及尺寸確定時，K也確定。如圖10所示，K與工作腔所在球的半徑R正相關，與鉸鏈橫截面半徑r負相關。在設計球形壓縮機時，應當從滿足結構強度、最大吸氣量等多個角度考慮R與r的取值，再通過K值和工作腔張角得到工作容積的大小。

2.3 α變化對容積的影響

由式（1）可知，活塞轉角φ與主軸轉角θ是近似1/2的關系，α的變化會對活塞以及轉盤的運動過程產生影響。當α增大時，活塞角速度、角加速度（絕對值）的峰值、平均值以及變化幅度都將變大。α過大會導致轉盤與活塞的相對擺動過大、密封面的寬度下降和活塞、轉盤的不勻速轉動增加，不利于壓縮機的穩定運行及變頻控制。當α較小時，活塞與轉盤的運動會更加穩定，但會導致工作腔的最大容積變小，壓縮機理論排氣量減少。此外，α值還與排氣口設置與內容積比大小相關，過大過小的α取值，都會影響壓縮機的結構設計和特征參數（壓力、排量等）。

2.4 泄漏線長度計算

球形壓縮機的泄漏主要發生在活塞、轉盤邊線處，工作腔張角變化也會造成泄漏線的變化，單個工作腔中，根據幾何計算，活塞及轉盤邊線泄漏線長度為：

工作腔張角變化造成的泄漏線長度：

另外，活塞鑲塊的存在也會產生泄漏線，泄漏線長度與活塞鑲塊的尺寸有關。

活塞鑲塊在單個工作腔中產生的泄漏線長度為：

式中 d——鑲塊在活塞面上的寬度，mm；

h——鑲塊在活塞面上的高度，mm。

壓縮機泄漏線總長度L=2（L1+L2+L3）。

3 冰箱用球形壓縮機幾何參數計算

球形壓縮機有可能在冰箱中獲得應用。本文選取R134a為制冷劑，對球形壓縮機在家用冰箱中的應用進行了初步計算。冰箱壓縮機的制冷量（熱負荷）和測試工況見表1。

表1 循環計算設計參數Tab.1 Design parameters of refrigeration cycle

壓縮過程按等熵壓縮考慮，R134a的等熵指數為1.18，通過查詢R134a熱力性質表，得到計算理想循環中有關壓力、各點比焓值和過熱蒸汽比體積等參數。

圖11 制冷循環示意Fig.11 Schematic diagram of refrigeration cycle

選取壓縮機主軸轉速為3 000 r/min，即活塞轉速為25 r/s，計算循環各點的狀態參數，最終得到所需工作腔容積V0=4.01 cm3。

如表2所示，當活塞偏角α=15°時，選取R=21 mm，r=10 mm，工作腔最大容積為4.59 cm3，可以滿足上述循環計算中對吸氣量的要求。因為α，R和r這3個參數將影響工作腔容積的大小，R和r的取值及比例關系對壓縮機結構、運行狀態、泄漏線長度等都有影響，需在具體設計時對α，R與r進行優化。

表2 R，r取不同值時的工作腔最大體積Tab.2 Maximum volume of working chamber at different values of R and r

4 結語

球形壓縮機是容積型壓縮機的一種新結構，微型化發展前景廣闊。本文用數學方法描述各部件運動，通過空間向量表述并推導工作腔扇形夾角的變化趨勢，利用三重積分，可以準確求得不同結構參數下工作腔（壓縮腔）的最大容積，分析了關鍵結構參數活塞偏角α對壓縮機幾何設計計算的影響，列出了泄漏線計算公式，并以冰箱壓縮機為對象，進行了幾何參數的簡單計算。