正確理解相對論中的時間膨脹公式及其適用條件
——對常文利主編《大學物理教程》中一道易錯題的反思

2021-09-24 05:56:02王瑞珍

物理通報 2021年10期

王瑞珍

(西安汽車職業大學理學院陜西西安 710600)

蔡志東

(鎮江高等專科學校丹陽師范學院江蘇鎮江 212310)

1904年，狹義相對論誕生“前夜”，荷蘭萊頓大學的物理學家亨德里克·安東·洛倫茲(1853-1928)為了解釋邁克爾孫-莫雷實驗(1887年)的“零結果”(即測不到地球相對于“以太”參考系的運動速度)，提出了洛倫茲收縮的概念(物體沿運動方向會發生實質性收縮)以及相應的時空變換公式——洛倫茲變換，該變換式是狹義相對論的基礎.

與洛倫茲為了解釋實驗現象而拼湊公式不同，愛因斯坦根據兩條基本原理(狹義相對性原理和光速不變原理)建立了系統的相對論[1].其運動學部分主要包括洛倫茲變換公式以及它的一系列重要推論，如“尺縮鐘慢”效應等.但是，初次接觸相對論的學生，由于理解不深，往往只會亂套公式，而不會根據實際情況靈活應用.

為了解決這一教學困境，筆者以一道易錯題為例，剖析了學生錯解的原因，闡明了固有時和坐標時的區別以及“時間膨脹”公式的適用條件，指出了“相對速度”的兩種不同理解以及它對時間計算的影響，希望能給其他高校物理教師一些啟示，以提高大學物理的教學質量.

1 一道簡單的相對論習題及其錯誤解答

原題摘自文獻[2]，為便于分析討論，現將題目敘述如下.

【原題】固有長度為L的火箭，相對地面豎直向上做速度為v1的勻速直線運動，火箭后端發射了一相對火箭速度為v2的子彈，方向指向火箭前端.問在地上測得子彈從射出到擊中火箭前端靶子的時間間隔[2].

學生錯解:火箭為S′系

地面為S系

(1)

評注:學生的這個解答過程主要是依據狹義相對論的一個結論，即時間膨脹公式

該式中的Δt為(地面靜止慣性系中的觀察者測出的)坐標時，Δτ為(相對于地面做勻速直線運動的慣性系中的觀察者測出的)固有時.但是，不少學生并不知道這個公式的適用條件，只是機械地亂套公式，從而得出了這個錯誤結論.為了從源頭上分析其錯誤的原因，我們要先從洛倫茲變換講起.

2 洛倫茲變換及其適用條件

設有一個質點(或某種波的波陣面上的一個點)，它在靜止慣性系S中的時空坐標為(x,y,z,t)，在(相對于S做速度為v的勻速直線運動的慣性系)S′中的四維時空坐標為(x′,y′,z′,t′)，則根據狹義相對論的兩條基本原理可得洛倫茲變換式(2).兩邊同取Δ(也可取微分d)，可得愛因斯坦-洛倫茲變換式(3).把速度v→-v,帶撇和不帶撇的4個坐標交換位置，可得洛倫茲逆變換和愛因斯坦-洛倫茲逆變換.洛倫茲變換式(2)表明了同一個質點在兩個慣性系中的時空坐標關系，而愛因斯坦-洛倫茲變換式(3)表明了兩個事件之間(或一個運動質點所經歷)的時間間隔和空間間隔之間的關系[3].在實際應用中，式(3)更為常用.

(2)

(3)

3 愛因斯坦-洛倫茲變換的推論

3.1 “尺縮鐘慢”效應

3.1.1 時間膨脹——鐘慢公式

式(3)中的最后一式即

其逆變換為

(4)

此式中的Δt,Δt′分別為S,S′系中的觀察者測出的坐標時間，它表示一個物體沿著x(x′)軸從A點運動到B點所經歷的時間間隔，由于(異地)同時的相對性以及運動對物質屬性的影響等原因，導致測出的結果一般是不同的.無論物體相對于S′系是運動還是靜止，式(4)都適用.Δx′為S′系中測出的物體的運動距離.

如果一個物體相對于S′系(或固定于S′系中的原點O′的一只鐘)是靜止的，那么，它所經歷的時間就叫做固有時，通常用Δτ來表示.簡單一點，一只鐘與物體相對靜止，這個鐘所測出的該物體所經歷的時間叫做固有時，一只鐘與物體相對運動，這個鐘所測出的該物體所經歷的時間叫做坐標時.固有時是真實的、客觀的，它在任何慣性系中都相同(是一個洛倫茲不變量).而坐標時，因為物體和鐘(或觀察者)相對運動，它是可變的，與相對速度有關.

根據固有時的定義可知，如果在式(3)中令Δx′=0(物體固定于S′系中的一點)，則此時測出的Δt′即為固有時(等于Δτ)，于是有

(5)

式(5)即為時間膨脹——鐘慢公式.時間膨脹是針對S系中的鐘而言的，因為在S系中的觀察者看來，他的鐘所測出的時間比S′系中的鐘所測出的時間要長，時間似乎膨脹了.鐘慢是針對S′中的鐘而言的，因為該鐘計時比S系中的鐘少，所以它似乎走慢了(鐘走得慢，計時才會少).再強調一遍，式(5)成立的前提條件是物體相對于S′系靜止.

3.1.2 “尺縮”公式

Δt=0 Δx′=L0ΔX=L

可得動長L和靜長L0之間的關系式

或

(6)

因為L

3.2 速度變換公式

根據速度的定義可知

u′=(u′x,u′y,u′z)

u=(ux,uy,uz)

分別為S′系和S系中的觀察者測出的同一物體的速度.根據式(3)和速度的定義，立即可得相對論速度變換公式[4]

(7)

除了“尺縮鐘慢”和速度變換公式之外，還有加速度變換公式等，這里暫且不談.

4 一道簡單的相對論習題的正確解答

4.1 對“相對速度”的第一種理解及第一個正確答案

原題中說，子彈相對于火箭的速度為v2，但是題目中沒有講清楚，這個“相對速度”究竟是火箭慣性系S′中的觀察者測出的還是地面慣性系S中的觀察者側出的？現在我們假定是第一種情況，即相對速度v2是火箭慣性系S′中的觀察者測出的，此時，顯然有

其中的Δx′=L為子彈從火箭尾部到前端運動的距離即火箭的固有長度.

代入式(4)并注意v=v1得

(8)

4.2 對“相對速度”的第二種理解及第二個正確答案

如果子彈相對于火箭的速度v2不是火箭上的觀察者測出的(由于火箭是密閉的，它里面的觀察者實際上很難測出火箭外面子彈的速度)而是地面觀察者測出的(他是很容易測出的)，那么，此時地面觀察者測出的火箭的長度是運動長度

子彈從火箭尾部運動到前端的時間為

(9)

式(8)、(9)兩個答案都是正確的，因為相對速度有兩種不同的理解，所以有兩個答案.

筆者要提醒大家注意的是，原題中“固長”(固有長度)用L來表示是非常不恰當的，幾乎所有的權威相對論專著中，L都表示運動長度而非靜長或固長(用L0表示固長)，原題中的做法極易使人混淆概念.

5 原題中存在的問題及出題時應注意的事項

首先，該題目完全脫離實際.在火箭的尾部搞一個子彈發射裝置，前端搞一個靶子，只有傻瓜才會這樣做.為了減少阻力，火箭的外部最前面是圓錐形，后面是是圓柱形，而且表面比較光滑，在火箭的前端搞一個子彈的靶子，是比較荒唐的行為.

其次，出題者基本是胡編亂造.一般而言，子彈的速度沒有火箭的速度快，子彈是追不上火箭的，當然，如果你在火箭的尾部搞一個發射裝置，那子彈總是可以跑得比火箭快的，問題在于，在火箭上升過程中，它是做加速運動，此時不能作為慣性系看待.退一萬步，即使在某一段時間內，火箭可以近似看做勻速運動，但是子彈做豎直上拋運動，絕對不能作為勻速運動(任何一個高中生都知道)，你把子彈實際的減速運動看做勻速運動，所導致的時間計算上的誤差，將遠遠大于相對論效應，這個題目將變得毫無意義.

第三，題意不清.題目中，子彈相對于火箭的速度v2究竟是火箭慣性系S′中的觀察者測出的，還是地面慣性系S中的觀察者測出的？沒有明確指出，這是一個致命的問題.

在多數相對論專著中，一般是選地面慣性系為S系，相對于地面做勻速運動的火車慣性系為S′系，也可選擇遠離天體的兩個勻速運動的飛船來討論，其中一個飛船甲可以看做S系，另一個相對于它做勻速運動的飛船乙為S′系，這樣討論問題比較合理.題目中要明確指出，火車(或飛船乙)中的觀察者測得車內(或飛船乙內部)物體相對于它的速度為u′，然后問S′系和S系中的觀察者測得運動時間分別是多少；切不可脫離實際，胡編亂造.