用數學思想探究有理數的奧妙

文／張衛明（特級教師）

有理數是同學們在小學所學數系的擴充。這一章概念較多，知識點較細碎。怎樣才能輕松學好“有理數”呢？本文從以下三個方面解讀有理數這一章所蘊含的思想方法，以幫助同學們感悟有理數的奧妙。

一、用分類討論的思想思考問題

分類討論思想是初中數學最常用的一種數學思想方法，即當某個問題有多重情況出現或結果不能唯一確定時，根據題目的要求，按不同情況分類，逐一研究解決再加以集中歸納的數學思想。掌握分類討論思想，可以幫助同學們加深理解知識的本質，對提高數學思維的嚴謹性具有非常重要的作用。

有理數按數的正負性可分為：正有理數、0 和負有理數。一個數的絕對值的求解隱藏著分類討論思想：正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數。計算兩個有理數的加法或乘法時，也分為同號兩數、異號兩數以及兩數中有一個是0 這三種情況。同學們可以根據具體問題的條件，對各種情況分類討論，從而使復雜問題簡單化。

例如，若ab≠0，求的值。因為ab≠0，所以a≠0，b≠0，但a、b的正負性未知，所以我們要對a，b進行分類討論：當a＞0，b＞0 時；當a＞0，b＜0 時；當a＜0，b＞0 時；當a＜0，b＜0時。

應用分類討論思想必須遵循兩個規則：1.每一次分類要按照同一標準進行；2.分類時要不重不漏。

二、用數形結合思想分析問題

數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來解決數學問題的一種數學思想，即代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，也可以使幾何問題代數化。數形結合主要有三種類型：“以數化形”“以形得數”和“數形結合”。通過“數”與“形”之間的轉化來解決數學問題，使得抽象問題具體化、形象化，從而可以優化解題過程。

數軸上的點與有理數、無理數建立了一一對應的關系，它揭示了數與形的內在聯系，是最簡單的數形結合思想的體現。有理數的絕對值可以借助數軸上表示這個數的點與原點的距離來得到。“符號不同、絕對值相同的兩個數互為相反數”這個概念的理解較為抽象，如果我們在數軸上畫出5 和-5 所對應的兩個點，觀察它們的位置特征，可以很形象地認識到，互為相反數的兩個點分別位于原點的兩側，并且它們到原點的距離相等。用數軸這個“形”，還可以很好地幫助我們掌握有理數大小的比較、有理數的加減法運算等有關“數”的知識。

例如，已知點A在數軸上表示的數是2，將點A先向右移動4 個單位長度，再向左移動5 個單位長度，則移動后的點A表示的數是多少？我們用數形結合，通過數軸（圖1），可以很清晰地看出，移動后點A表示的數是1。

圖1

“數無形，少直觀；形無數，難入微”，利用數形結合，可以化難為易、化繁為簡，利于同學們的直觀理解，從而提高知識遷移能力。

三、用轉化思想解決問題

轉化思想也稱化歸思想，就是在已有的、簡單的、具體的、基本的知識的基礎上，把未知化為已知、把復雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規化為常規，從而解決各種問題。具體來說，就是將“新知識”向“舊知識”轉化，將“未知”向“已知”轉化，將“復雜”向“簡單”轉化。數學轉化思想是解決新問題、學習新知識的重要思想方法。

有理數的減法運算就是利用“相反數”這個已學概念轉化為加法來運算，得到減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。有理數的加減法通過這一轉化就得到了統一。有理數的除法是利用“倒數”轉化為乘法運算，得到除法法則：除以一個不等于0 的數，等于乘這個數的倒數。通過這一轉化，有理數的乘除也得到了統一。

轉化思想是解決數學問題的最基本的數學思想方法，通過對未知問題的分析，將其轉化為已有知識范圍內可解決的問題，從而達到“思路清晰化，方法簡單化”。

總之，分類討論、數形結合、轉化是數學中的重要思想方法，相信同學們只要在“有理數”一章的學習中細心體會，靈活運用，定會達到事半功倍的效果。