基于簡化四階矩法的各種截面鋼管混凝土軸壓承載力可靠度分析

丁發興，熊姝寧，向 平

(1. 中南大學土木工程學院，湖南，長沙 410075；2. 湖南省裝配式建筑工程技術研究中心，湖南，長沙 410075)

現代建筑具有高層，大跨等特點，對柱的承載力要求高，而鋼管混凝土短柱(CFST)具有剛度大、承載力高、延性好和充分利用材料等優點，在實際結構中得到了廣泛的應用。鋼管混凝土短柱能否在設計使用年限內完成其在設計階段的預定功能，需要對其進行可靠度評估。

可靠度理論從20世紀40年代發展起來，其主要的用途是評估各種結構和系統在加工以及使用階段完成預備功能的能力。結構可靠度理論經歷了第一代和第二代結構設計理論[1]，第二代結構設計理論采用基于矩法的可靠度理論，用統計矩反映荷載和抗力分布，進而得出結構的失效概率Pf及其相應的可靠指標β，如一次二階矩理論(FOSM)使用變量的前兩階矩，即均值和方差，該方法具有計算簡便且表達公式簡潔的特點，因此在工程中得到廣泛應用，如吳瑾等[2]采用一次二階矩法評估銹蝕鋼筋混凝土結構可靠度。林道錦等[3]為了計算鋼筋混凝土拱橋面穩定性的剩余可靠度，提出一次可靠度方法與隨機有限元相結合的方法。黨育等[4]結合有限元方法和一次二階矩法，對隔震體系進行模擬并分析其抗震可靠度。Mahdi Omidali等[5]采用FOSM對邊坡、船舶加筋板、樁和鋼筋混凝土橋柱等結構進行可靠度分析。由于FOSM將函數展開成Taylor級數并取至一次項，故當函數非線性程度較高時難以反映變量真實的概率分布特征，為了提高FOSM的精度，學者們提出改進的一次二階矩法，如呂大剛等[6]在FORM的基礎上引入多級力控制 Pushover 分析方法，提出了一種FORM有限元可靠度方法。孟增等[7]提出了一種結合了修正的混沌控制算法與一次二階矩法的方法。蔣水華等[8]提出基于FORM的空間變異邊坡可靠度方法以及線抽樣法進行了邊坡可靠性評估。

一次四階矩法采用功能函數的前四階矩進行可靠度分析，結果的精度與一次二階矩法相比大大提高，因此學者們運用高階矩法評估結構的可靠性，如Li等[9]基于二次二階矩(SOSM)、二次四階矩(SOFM)和蒙特卡洛模擬(MCS)方法，評估了風橋相互作用相關的各種參數對渦激振動器的影響，鄒紅等[10]用矩法對CRTSⅡ型無砟軌道板橫向抗彎強度進行時變可靠性評估。一次四階矩法對于非線性程度較高的功能函數，其計算精度較低，學者們在此基礎上提出了一些改進方法，如Li等[11]、Lu等[12]和Zhou等[13]分別提出了基于三階矩、四階矩和六階矩的鞍點近似法。俞登科等[14]利用矩法，對特高壓輸電塔的抗風體系進行可靠度分析。范文亮等[15]提出了一種適用于巖土工程的改進四階矩方法，并進行算例驗證。杜永峰等[16]建立了基于二次四階矩可靠度理論的隨機魯棒性指標，并對隔震結構的抗倒塌能力進行了評判。

近年來，丁發興課題組[17 ? 24]提出了各截面鋼管混凝土軸壓承載力公式，且目前的研究工作主要集中在對圓形和方形鋼管混凝土軸壓承載力進行可靠度評估，而對于其他截面形式，可靠度尚未開展評估，為此筆者主要工作如下：1)收集國內外學者進行的各種截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實驗數據，獲取基本隨機變量的統計參數并建立構件的功能函數；2)運用新點估計法計算功能函數的前四階中心矩；3)利用簡化四階矩法計算各種截面鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠指標β。

1 基本隨機變量的統計參數

功能函數的基本隨機變量包括抗力、恒荷載和活荷載。抗力的分布由多個基本隨機變量影響，包括混凝土軸心抗壓強度fc，截面尺寸D和B，鋼管厚度t，鋼材屈服強度fy，計算模式不定性系數kp。抗力的分布近似服從對數正態分布[25]。

1.1 軸壓承載力公式

鋼管混凝土軸壓承載力公式為：

式中：R為根據公式計算出來的鋼管混凝土軸壓極限承載力；fc為混凝土軸心抗壓強度；fy為鋼管的屈服強度；Ac為鋼管內核心混凝土的面積；As為鋼管的橫截面積；k1為鋼管形狀約束系數，與截面形狀有關，表1給出了式(1)中不同形狀的截面所對應的k1[17 ? 24]取值。表2列出了不同形狀截面的計算公式[17 ? 24]。

表1 鋼管形狀約束系數k1列表Table 1 Shape confinement coefficient of CFST

表2 不同截面鋼管混凝土柱Ac和As的計算公式Table 2 Calculation formula of Ac and As for concrete filled steel tubular columns with different sections

荷載效應S[26]表達式如下：

式中：SGk為恒荷載效應標準值；SQk為活荷載效應標準值，僅考慮辦公室樓面活荷載和住宅樓面活荷載；γG為恒荷載分項系數；γQ為活荷載分項系數。

圖1 各種截面鋼管混凝土Fig.1 Sections of different shapes

由式(1)與式(2)可得鋼管混凝土軸壓極限狀態Z的方程為：

式中，kp為鋼管混凝土軸壓抗力計算模式不定性的隨機變量。

1.2 荷載的統計參數

最常見的荷載效應組合有兩種：1)SG+SL辦和2)SG+SL住，下標G、L辦、L住分別代表永久荷載、辦公室活荷載和住宅建筑的樓蓋活荷載，恒載和活載組合時的統計參數見表3。

表3 荷載組合時的荷載統計參數[27]Table 3 The statistical parameters of load combinations

1.3 幾何尺寸的統計參數

普通鋼管混凝土的幾何參數有鋼管厚度t、截面直徑或厚度D以及截面長邊邊長B，均服從均值系數為1.00，變異系數為0.05的正態分布[27]。

1.4 計算模式不定性的統計參數

反映構件計算抗力與實際抗力差異的計算模式不定性隨機變量kp表達式如下：

式中：Nu為構件軸壓承載力實測值；N0為按式(1)計算的構件抗力值。

根據《混凝土結構設計規范》(GB 50010?2010)[26]規定，立方體抗壓強度標準值fcu,k與軸心抗壓強度標準值fck的關系如下：

式中，對于不超過C50級的混凝土，取αc1=0.76，對C80取αc1=0.82，中間按線性規律變化，大于C80的混凝土，按C50～C80的線性規律繼續插值；對C40以下混凝土取αc2=1.0，對C80取αc2=0.87，中間按線性規律變化，大于C80的混凝土，按C40到C80的線性規律繼續插值；混凝土強度的變異系數δc的取值按表4確定。

表4 混凝土強度的變異系數[26] /(%)Table 4 Variation coefficient of concrete strength

筆者收集了國內外460個圓形、340個矩形、16個六邊形、30個八邊形、71個橢圓形和29個圓端形截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實驗數據[17 ? 23, 28 ? 77]，其 中 包 括 本 書 中 提 到 的37個 圓形、20個矩形、8個六邊形、8個八邊形、8個橢圓形和26個圓端形截面鋼管混凝土實驗數據。所有946個數據的鋼管外截面尺寸與厚度比值在20～220，構件長厚比L/B(或L/D)≤7，立方體抗壓強度fcu在25 MPa～120 MPa，鋼管的屈服強度fy在180 MPa～650 MPa。

將各隨機變量的取值代入式(1)，得到Nu，再利用式(4)求得kp，各截面鋼管混凝土的計算模式不定性系數kp統計結果見表5，并對每個kp的概率分布進行Jarque-Bera檢驗，顯著性水平為5%，結果表明kp服從正態分布。

表5 普通鋼管混凝土軸壓公式計算模式不定性統計參數Table 5 The statistical parameters of calculation model uncertainty

1.5 材料性能的統計參數

由于規范中只給出了C60以下混凝土材料性能的變異系數，故筆者利用文獻[78]給出的演繹法推算混凝土材料性能的均值系數和方差，鋼材材料性能的均值系數和方差見文獻[78]，鋼材和混凝土性能的統計參數見表6。

表6 材料性能指標的統計參數[25- 26, 78]Table 6 The statistical parameters of material

2 可靠度方法

2.1 基于降維模型的新點估計法

對于含有n個隨機變量的功能函數G(X)，Zhao等[79]提出了基于n點估計的一維減維模型：

一維減維模型將功能函數化為n個單變量函數而簡化了計算過程，但當功能函數有較強的非線性時，用一維減維模型求功能函數的前k階矩時精度不高，則采用二維減維模型代替原功能函數。對隨機變量進行逆正態變換，且利用文獻[80]給出的公式對功能函數G(X)進行二維減維，則功能函數可以寫為：

Zhao等[79]提出了新點估計法來計算功能函數的前k階矩，其核心思想是通過逆正態變換(Rosenblatt變換)[81]將原始隨機變量轉換到標準正態空間，再利用標準正態變量的估計點和權重估計函數的前四階矩。非正態隨機變量的估計點可表示為：

式中：Φ(U)為標準正態變量的分布函數；FX(X)為原變量的分布函數；xj為一般隨機變量；uj為標準正態變量。

標準正態變量的估計點ui和權重Pi為：

式中，yi和wi是加權函數為exp(?y2)的Hermite積分的橫坐標和權重[82]，于是可求得七點估計的ui和Pi[79]，取值見表7。

表7 標準正態變量的估計點和權重Table 7 Sampling points and weights of standard normal variables

2.2 基于立方正態分布的簡化四階矩法

由可靠度指標定義，可得到基于二階矩法的可靠度指標βSM和基于四階矩法的可靠度指標βFM的關系[83]：

式中，zs為標準化后的隨機變量。

Zhao等[84]提出了簡化四階矩計算公式，其基本原理是將隨機變量Z標準化后的變量zs近似表示為標準正態變量u的三次多項式：

式中，系數l1、k1和k2見詳文獻[84]。

對式(11)進行z-u轉換，可得到：

式中，系數p和系數D見文獻[84]。以上關系可以簡寫為u=S?1(zs)。

由式(10)和式(12)可得，基于四階矩法和二階矩法的可靠度指標[85]的關系為：

而傳統一次二階矩法的可靠度指標計算公式為：

2.3 可靠度計算步驟

根據前述2.1的簡化四階矩法，可以求得鋼管混凝土軸壓承載力公式的可靠度指標β。

1)確定影響可靠度的隨機變量為截面尺寸(D,B)、鋼管厚度(t)、荷載效應(SGk,SQk)、計算模式不定性(kp)、混凝土強度(fc)、鋼管強度(fy)，利用MATLAB對基本隨機變量進行抽樣，獲得抗力R統計參數；

2)建立功能函數Z=G(X)，對功能函數進行降維處理，利用隨機變量R、SGk、SQk的統計參數以及新點估計法計算G(X)的前四階矩；

3)用簡化四階矩法求得可靠度指標βFM。

3 可靠度結果與分析

3.1 截面形狀和含鋼率的影響

運用基于一維與二維降維模型的簡化四階矩法計算可靠度指標，設置變化參數為截面形狀和含鋼率。荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。

圖2為不同截面形狀的可靠度指標變化規律，可見由于八邊形、六邊形、橢圓形和圓端形截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實驗數據少，其δkp較小，故抗力R的δR較小，由式(14)可知，可靠度指標β較大，而圓形和矩形截面的δkp較大，故可靠度指標β較小。由于本文的功能函數為一維函數，采用一維降維模型和二維降維模型得到的結果幾乎完全相同，故以下均用一個圖表達結果。

圖2 截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標的影響Fig.2 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

圖3和圖4分別為圓形截面和全部截面統計的計算模式不定性系數下，截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標的影響規律，可見：1) 鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標都能滿足目標可靠度指標3.2[86]的要求，由于圓形截面統計的δkp較大而全部截面統計的δkp較小，導致全部截面統計計算模式不定性系數下鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標偏大，但可靠度指標差別不超過5%，因此對于不同截面形式，均采用全部截面統計計算模式不定性系數分析其他參數的影響；2) 由于圓形、六邊形和八邊形截面的鋼管形狀約束系數k1較大，使得功能函數的方差較大，導致可靠度指標較小；3) 隨著含鋼率α增大，力比Φs=fyAs/(fcAc)均值增大而鋼管對混凝土的約束效率降低，變異系數不變，導致抗力隨機變量的變異系數略增大，使得可靠度指標β略減小。此外，對隨機變量R、SQk、SGk進行隨機取樣，代入功能函數Z，其失效區間的占比隨著含鋼率的增加呈非線性增長，故結構的失效概率隨著含鋼率的增加而增加。

圖3 截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標的影響Fig.3 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

圖4 截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標的影響Fig.4 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

3.2 混凝土和鋼管強度等級的影響

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，鋼材類別為Q235。圖5所示為混凝土類別變化對可靠度指標的影響規律，可見隨著混凝土等級的增加，隨機變量fc的變異系數減小，導致抗力隨機變量的變異系數減小，使得可靠度指標β變大。

圖5 混凝土類別對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標的影響Fig.5 Influence of concrete type on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40。圖6所示為鋼材類別變化對可靠度指標的影響規律，可見隨著鋼材等級的增加，隨機變量fy的變異系數略微減小，使得可靠度指標β略微增大。

圖6 鋼材類別對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標的影響Fig.6 Influence of steel type on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

3.3 荷載比和荷載組合的影響

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。圖7所示為荷載比變化對可靠度指標的影響規律，分析結果表明，當僅有荷載比為變量且ρ約為1.0時，利用條件極值求得SGk+SQk值較小，故失效概率較小，可靠度指標較大，而兩者方法的計算結果略有差別：1) 采用MCS法時，當ρ=2.0時，可靠度指標最小，而ρ=0.5～1.0時，可靠度指標較大且極差不超過0.03；2) 采用簡化四階矩法時，當ρ=0.25時，可靠度指標最小，而ρ=0.5～2.0時，可靠度指標的極差約為0.05，當ρL=1.0時，可靠度指標最大。

圖7 荷載比對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標的影響Fig.7 Influence of load ratio on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

鋼管混凝土的荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。圖8所示為活載類別變化對可靠度指標的影響規律，可見由于辦公室活載的均值系數小于住宅樓面活載的均值系數，而二者的方差相差很小，故荷載組合為恒載和辦公室活載時，荷載效應較小，可靠度指標較大。

圖8 活載類別對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標的影響Fig.8 Influence of live load category on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

4 結論

本文采用簡化四階矩法對鋼管混凝土軸壓承載力公式進行可靠度分析，結論如下：

(1) 不同截面形狀的鋼管混凝土軸壓承載力公式均高于3.7，滿足目標可靠指標3.2[86]的要求。

(2) 對于同一截面形狀的鋼管混凝土軸壓構件，當辦公室活載：恒載=1.0時，混凝土強度越高，可靠指標略增大。