單參數(shù)平底刀底刃加工葉片進(jìn)排氣邊刀位優(yōu)化算法

李珊珊，甘植旺，陳志同

（1.北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京100191；2.北京航空航天大學(xué)先進(jìn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100191；3.中國電子科技集團(tuán)公司信息科學(xué)研究院，北京100086）

1 引言

刀位優(yōu)化算法是數(shù)控加工的必要構(gòu)成技術(shù)，是提升零件加工效率與質(zhì)量的有效途徑［1］-［6］。葉片進(jìn)排氣邊的加工存在加工效率低，易產(chǎn)生顫振的問題［6］-［11］。進(jìn)排氣邊與葉身的面積之比小于，但加工時(shí)間之比大于提高進(jìn)排氣邊區(qū)域加工效率，是實(shí)現(xiàn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片高效制造的必要技術(shù)途徑。進(jìn)排氣邊為凸曲面，因此從幾何匹配角度考慮，該類曲面可以使用凸型母線刀具、凹型母線刀具以及平型母線刀具進(jìn)行加工。與凸型母線刀具相比，凹型母線刀具及平型母線刀具能夠更加高效地完成葉片進(jìn)排氣邊的加工［7］，［9］-［11］。

黃魏等使用圓弧半徑為1mm的凹型母線刀具，對圓角半徑為0.35mm～0.9mm的進(jìn)排氣邊進(jìn)行加工，相比于圓角立銑刀其加工效率提高了5倍［9］。賀英等使用半徑為8mm及0.3mm的凹型母線刀具，分別對圓角半徑在6.2mm～6.9mm及0.16mm～0.22mm的進(jìn)排氣邊進(jìn)行加工，相比于圓角立銑刀其加工效率至少提高了4倍［10］。但使用凹型母線刀具加工進(jìn)排氣邊存在接刀問題，進(jìn)排氣邊尺寸小，接刀痕對其質(zhì)量評定的影響十分顯著。該問題涉及精確對刀，銑削振動(dòng)，銑削力控制等多個(gè)復(fù)雜問題。

平型母線刀具加工進(jìn)排氣邊包括直刃刀側(cè)銑及平底刀端銑兩種實(shí)現(xiàn)方式。由于刀柄及輔助結(jié)構(gòu)的存在，使用直刃側(cè)銑會(huì)出現(xiàn)干涉。葉身使用平底刀加工，因此使用平底刀底刃加工進(jìn)排氣邊，不僅能夠提升加工效率，而且能夠避免接刀問題。張春等定義了平底刀具加工進(jìn)排氣邊的刀具位姿確定方法，定性地分析了刀具定位點(diǎn)及偏航角對行寬的影響，以行寬最優(yōu)為目標(biāo)進(jìn)行刀位求解［11］。但現(xiàn)有的平底刀底刃加工進(jìn)排氣邊算法所生成的刀軌的光順性不能滿足加工要求，顫振嚴(yán)重，不能夠應(yīng)用于進(jìn)排氣邊的加工。

本文將構(gòu)建能夠滿足刀軌光順性要求的平底刀具底刃加工進(jìn)排氣邊的刀位優(yōu)化算法。現(xiàn)有刀位優(yōu)化算法具有兩個(gè)優(yōu)化參數(shù)：偏航角及刀具定位點(diǎn)參數(shù)。本文將平底刀底刃加工進(jìn)排氣邊的刀位優(yōu)化過程轉(zhuǎn)化為平面上直線與圓的問題，進(jìn)而論證了偏航角的冗余性，同時(shí)將刀位優(yōu)化過程轉(zhuǎn)化為單參數(shù)優(yōu)化過程。在此基礎(chǔ)上，分析了刀具定位點(diǎn)參數(shù)一致性的利弊，最終確定了統(tǒng)一刀具定位點(diǎn)的刀位優(yōu)化策略，最大程度上減少了因刀具位姿參數(shù)變動(dòng)帶來的刀軌波動(dòng)。此外，相比于同類刀位優(yōu)化算法，該方法能夠獲得更大的行寬。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 坐標(biāo)系與姿態(tài)角

回轉(zhuǎn)刀具的數(shù)控加工過程，存在四個(gè)坐標(biāo)系即：絕對坐標(biāo)系（Absolute Coordinate System，ACS），刀具坐標(biāo)系（Tool Coordinate System，TCS），局部工件坐標(biāo)系（Local Workpiece Coordinate System，LWCS），和局部刀具坐標(biāo)系（Local Tool Coordinate System，LTCS），如圖1所示。若無特別說明，本文所提到的坐標(biāo)系均為右手坐標(biāo)系。

圖1 坐標(biāo)系與姿態(tài)角Fig.1 Coordinate Systems and Orientation Angles

ACS是一個(gè)確定的坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系由原點(diǎn)O和軸構(gòu)成。所有的運(yùn)算與表達(dá)最終都要轉(zhuǎn)化到ACS上。TCS是與刀具固連的右手坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系為獲得刀具上點(diǎn)的相對位置關(guān)系提供了方便，因?yàn)樵谠撟鴺?biāo)系下可以不考慮刀具的運(yùn)動(dòng)和位置。該坐標(biāo)系以刀具中心OT為原點(diǎn)，以刀軸為zT軸，以通過刀軸的某一平面為其xT zT平面。

LWCS與LTCS是實(shí)現(xiàn)刀具定位的坐標(biāo)系。若P為當(dāng)前驅(qū)動(dòng)點(diǎn)為P點(diǎn)單位法矢為P點(diǎn)進(jìn)給方向，ρ為抬刀量，r為刀具圓角半徑，oT為刀具圓角中心，OT為刀心點(diǎn)，Q為刀具上選定點(diǎn)，為Q點(diǎn) 單 位 法 矢為Q點(diǎn) 沿 刀 具 母 線 單 位 切 矢。定 義為其（xt,yt,zt)坐標(biāo)軸的單位矢量。定義LWCS以為原點(diǎn)，且代表其（x,y,z)坐標(biāo)軸單位矢量。對于刀具圓角非零的刀具，LTCS原點(diǎn)為刀具圓角圓心。且當(dāng)以調(diào)整姿態(tài)角方式優(yōu)化刀具位姿時(shí)，Q點(diǎn)選定為即刀具上法矢平行于刀軸矢量的點(diǎn)。

常用的刀具初定位方法為：匹配LTCS與LWCS。LTCS與LWCS匹配意味著Q與P相切觸，且同向。本文的刀位求解過程基于該刀具初定位方法。由該方法確定的刀心點(diǎn)徑矢t→C及刀軸矢量t→A分別為：

刀具初定位后，其刀具位姿通過調(diào)整其繞LTCS的各個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。如圖1所示，刀具繞LTCS的x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角定義為滾擺角，記為ψ；繞LTCS的y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角為俯仰角，記為θ；繞LTCS的z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角為偏航角，記為φ。文獻(xiàn)［12］已證明，若（θ,φ,ψ）為上述轉(zhuǎn)動(dòng)后獲得的刀具位姿，則該刀具位姿可由刀具依次繞LWCS的x軸轉(zhuǎn)動(dòng)ψ，y軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ，z軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ獲得。本文中借助繞LTCS的轉(zhuǎn)動(dòng)描述刀具位姿。

2.2 多參數(shù)平底刀底刃刀位優(yōu)化算法

定義刀具定位點(diǎn)與刀心點(diǎn)的距離為刀具定位點(diǎn)參數(shù)，記為?。選擇刀具底刃上的點(diǎn)作為刀具定位點(diǎn)，在刀具與工件切觸后，為保證位姿優(yōu)化過程中無干涉，只有偏航角φ能夠繼續(xù)優(yōu)化。本文中的多參數(shù)平底刀底刃刀位優(yōu)化算法是指張春等定義的以平底刀具加工進(jìn)排氣邊的刀具位姿確定方法，該刀位優(yōu)化過程以φ及?作為刀位優(yōu)化變量，以最優(yōu)行寬作為優(yōu)化目標(biāo)［11］。本文以{a,b}的形式定義?=a，φ=b的刀具位姿。

分析{?,φ}參數(shù)下刀具位姿的計(jì)算過程。選定刀具上Q點(diǎn)作為刀具定位點(diǎn)，且LTCS、LWCS與2.1中定義一致。匹配LTCS與LWCS初定位刀具，如圖2所示，刀具在初始姿態(tài)時(shí)同向，ACS下的刀具初始位姿為：

圖2 平底刀底刃加工進(jìn)排氣邊Fig.2 Flat-end Cutter Bottom Machining the Leading Exhaust Blade Edge

式中：—繞坐標(biāo)系z軸旋轉(zhuǎn)φ的旋轉(zhuǎn)矩陣。偏航角φ對于刀具位姿的調(diào)整是刀具沿LWCS的原點(diǎn)繞其z軸旋轉(zhuǎn)φ，旋轉(zhuǎn)后與x軸負(fù)半軸夾角為φ。結(jié)合（1）式，以{?,φ}為參數(shù)的刀具位姿為：

文獻(xiàn)［11］給出了刀具定位點(diǎn)參數(shù)為?，偏航角為0的行寬W(?,0)的估算公式

式中：re—加工位置點(diǎn)沿葉寬方向的曲率半徑，Δ—公差

3 單參數(shù)平底刀底刃加工進(jìn)排氣邊方法

3.1 刀具定位點(diǎn)參數(shù)與偏航角對行寬影響的等效性

在局部區(qū)域內(nèi)，進(jìn)排氣邊沿葉長方向平坦，且沿葉寬方向具有較為一致的曲率半徑。進(jìn)排氣邊的局部幾何屬性類似于圓柱面或錐面，以圓柱面或錐面近似進(jìn)排氣邊，定性地分析刀具定位點(diǎn)參數(shù)與偏航角對行寬影響的等效性。圖3為平底刀底刃加工進(jìn)排氣邊刀具位姿由{h,0}調(diào)整至{h,φ}及{hcosφ,0}的過程，及其簡化模型在z視角下的視圖。圖3（a）描述了位姿調(diào)整過程，其中P為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，沿葉寬方向紅色曲線為驅(qū)動(dòng)線，藍(lán)色刀具的刀位優(yōu)化參數(shù)為{h,φ}，粉色刀具的刀位優(yōu)化參數(shù)為{hcosφ,0}。坐標(biāo)系P-xyz為LWCS，其構(gòu)成元素為：P點(diǎn)為其原點(diǎn)，P點(diǎn)法矢為其z軸，P點(diǎn)沿驅(qū)動(dòng)線切矢為其x軸。記Re為P點(diǎn)沿葉寬方向的曲率半徑，進(jìn)排氣邊在P點(diǎn)的幾何屬性使用半徑為Re的圓柱面及錐面近似。圖3（b）為簡化模型在LWCS的z軸視角下的示意圖，即為在P點(diǎn)切平面上刀具底面圓調(diào)整示意圖。在圖3（b）中建立坐標(biāo)系P-x′y′，且其以P為原點(diǎn)，以-y方向?yàn)閤′方向，以x方向?yàn)閥′方向。OT1、OT2、OT3分別為刀具在{h,0}、{h,φ}及{hcosφ,0}參數(shù)下的的刀心點(diǎn)。

圖3 位姿調(diào)整過程及其在z視角下簡化視圖Fig.3 Tool Orientation Adjustment Process and its Z-direction View

因在偏航角優(yōu)化過程中刀軸矢量不變，故刀心位置可作為區(qū)分刀具位姿的指標(biāo)。將進(jìn)排氣邊簡化為圓柱面或者錐面后，刀位優(yōu)化過程變?yōu)閳A相對于平面內(nèi)直線的位置變化過程；這是因?yàn)槠降椎兜兹猩宵c(diǎn)的法矢與刀軸矢量平行，刀具初定位后，刀具底刃位于驅(qū)動(dòng)點(diǎn)切平面內(nèi)。在優(yōu)化偏航角時(shí)，是將刀具繞驅(qū)動(dòng)點(diǎn)法矢旋轉(zhuǎn)，刀具底面在優(yōu)化過程中始終處于驅(qū)動(dòng)點(diǎn)切平面內(nèi)。對于柱面錐面而言，其切平面內(nèi)直線是與刀具吻合程度最好的直線，因?yàn)楹偷毒叩酌嫣幱谕粋€(gè)平面。該直線位于刀具底面圓內(nèi)部分與行寬關(guān)聯(lián)。所以刀位優(yōu)化過程可以視為圓和直線的位置變化關(guān)系。在xy平面內(nèi)分析該問題。

參照圖3（b），在P-x′y′坐標(biāo)系下，計(jì)算{?,φ}與{?cosφ,0}參數(shù)下刀具底面圓與直線的交點(diǎn)距離均為不同參數(shù)下刀具底面圓與直線的交點(diǎn)距離相同，該距離與行寬相關(guān)，因此兩組參數(shù)求得的行寬相同。即偏航角對行寬的作用可以轉(zhuǎn)化為刀具定位點(diǎn)參數(shù)對行寬的作用。刀具定位點(diǎn)參數(shù)與偏航角對行寬的影響具有等效性。

3.2 刀具定位點(diǎn)參數(shù)一致性分析

（2）式為偏航角為0的行寬計(jì)算公式，由該式可知：在確定加工位置行寬W與?負(fù)相關(guān)。即由其他約束條件所計(jì)算出的最小?，是實(shí)現(xiàn)行寬最優(yōu)的?。同一刀軌行設(shè)置統(tǒng)一的?能夠最大程度的降低刀軌波動(dòng)程度。由于各加工位置點(diǎn)rs具有差異，因此對于統(tǒng)一的?，各位置行寬存在差別。進(jìn)而造成過搭接，即同一位置被多次加工，浪費(fèi)加工資源。但零件質(zhì)量要求的優(yōu)先級(jí)高于資源的優(yōu)化配置。因此設(shè)置統(tǒng)一的?是一種可取的刀位優(yōu)化策略。

3.3 刀具位姿優(yōu)化求解

結(jié)合3.2節(jié)及3.3節(jié)的分析，平底刀加工進(jìn)排氣邊的刀位優(yōu)化過程，可簡化為單參數(shù)優(yōu)化過程，?作為刀具位姿優(yōu)化參數(shù)，且同一刀軌行設(shè)定統(tǒng)一的?。本文所考慮的約束為切削線速度約束。定義轉(zhuǎn)速為N，線速度約束為Vr。由切削線速度計(jì)算公式可知刀具定位點(diǎn)切削線速度為2π?N，切削線速度與?成正比。因此根據(jù)線速度約束可求解出最小刀具定位點(diǎn)參數(shù)：

由（1）式可得出以P作為加工位置在{?min,0}參數(shù)下的刀具位姿為：

4 實(shí)驗(yàn)

以某航空發(fā)動(dòng)機(jī)薄厚可調(diào)葉片為驗(yàn)證對象，驗(yàn)證本文所提算法在刀軌光順上的有效性。該葉片曲面尺寸及曲率分析結(jié)果如圖4（a）所示，葉片長度約370 mm，榫頭寬度范圍約55mm～100mm，葉片曲面的曲率變化較小，且大部分區(qū)域較為一致，排氣邊沿葉寬方向半徑范圍為3.35mm～3.85mm。刀具選定為直徑16mm，圓角半徑為1mm的平底刀，刀具母線如圖4（b）所示。編程公差為0.01mm。

圖4 葉片尺寸曲率分析及所使用平底刀母線示意圖Fig.4 The Size and Curvature Analysis of the Blade Surface

4.1 刀具定位點(diǎn)參數(shù)與偏航角對行寬影響的等效性驗(yàn)證

由3.1節(jié)分析可知，{?,φ}對行寬的影響等效于{?cosφ,0}。現(xiàn)對表1中的4組參數(shù)進(jìn)行刀軌仿真，以仿真結(jié)果驗(yàn)證3.1節(jié)的分析結(jié)果。表1中的4組參數(shù)具有如下對照關(guān)系：第1組和第2組為對照組，第3組和第4組為對照組，對照組間?和φ滿足：

表1 對照組實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.1 The Experimental Parameters of Control Groups

式中：n—實(shí)驗(yàn)序號(hào)，?n—第n組的?參數(shù)，φn—第n組的φ參數(shù)，n=2,4。刀軌數(shù)均為20，刀軌方向沿u向，行寬取定為等參數(shù)行寬即(0.9-0.1)20。

圖5為對照仿真結(jié)果，其中圖5（a）為第1組參數(shù)和第2組參數(shù)的刀軌仿真結(jié)果。圖5（b）為第3組參數(shù)和第4組參數(shù)的刀軌仿真結(jié)果。圖5（a）由三部分組成，從左向右分別為：第1組參數(shù)所生成刀軌的仿真結(jié)果，第2組參數(shù)所生成刀軌的仿真結(jié)果，仿真數(shù)據(jù)中余量與顏色的對應(yīng)關(guān)系。觀察圖5（a）可知，兩組參數(shù)所生成刀軌的仿真圖像的形狀、位置、顏色均相同。因此，由第1組參數(shù)和第2組參數(shù)所生成的刀軌的仿真結(jié)果是一致的，即該對照組參數(shù)的加工效果一致。觀察圖5（b）可知第3組參數(shù)和第4組參數(shù)所生成的刀軌仿真結(jié)果也是一致的。刀軌仿真結(jié)果與3.1節(jié)分析結(jié)果一致，即刀具定位點(diǎn)參數(shù)與偏航角對行寬的影響具有等效性。

圖5 對照仿真結(jié)果Fig.5 The Simulation Results about the Parameters

4.3 刀軌波動(dòng)對比

本節(jié)以各軸加速度為指標(biāo)，對比本文所提算法與現(xiàn)有算法所生成刀軌的波動(dòng)性。所選加工參數(shù)位置為v=0.5，u∈[0.96,1]（該區(qū)域被排氣邊所包含）。如表2所示為原有算法所生成的刀軌的各軸加速度變化幅度與本文算法的對比結(jié)果。由表可知多參數(shù)算法x,y,z軸加速度變化幅度最大為40 mm/s2，本文加速度變化幅度最大為4.5 mm/s2，其加速度波動(dòng)幅度降低至多參數(shù)算法的12%。多參數(shù)算法A,B軸加速度變化幅度最大為500 rad/s2，本文算法A,B軸加速度變化幅度最大為13 rad/s2，降至多參數(shù)算法的3%。

表2 原有算法與本文算法加速度對比結(jié)果Tab.2 The Contrast Results of the Proposed Method and Multi-Parameter Method

4.4 試切實(shí)驗(yàn)

以鋁合金作為實(shí)驗(yàn)材料對本文所提算法進(jìn)行試切驗(yàn)證，刀具材料選擇高速鋼。對于該葉片曲面，(u,v)∈[0.93,1]*[0,1]區(qū)域覆蓋其排氣邊，且u方向?yàn)槿~寬方向。以u參數(shù)線作為刀軌驅(qū)動(dòng)線。

切削材料為鋁合金，刀具材料為高速鋼，切削線速度至少為150 m/min［13］。其他加工參數(shù)設(shè)置如下：主軸轉(zhuǎn)速設(shè)定為4000r/min，進(jìn)給速度設(shè)定為600mm/min，切深0.2mm。將線速度約束帶入（3）式，可計(jì)算出刀具定位點(diǎn)參數(shù)為5.972mm，選定刀具定位點(diǎn)參數(shù)為6mm，并由（4）式求解各刀具位姿。刀軌如圖6（a）所示，共60行。如圖6（b）所示為刀軌仿真結(jié)果，由該圖可知使用本文算法所生成刀軌無過切，且殘留量小于0.012mm，符合編程公差要求。使用該算法在鋁件上的加工驗(yàn)證結(jié)果，由圖可知零件表面光潔且無顫振刀紋，如圖7所示。

圖6 刀軌與仿真結(jié)果Fig.6 Tool Paths and the Simulation Results

圖7 葉片試切結(jié)果Fig.7 The Machined Blade Surface

5 結(jié)論

針對平底刀具底刃加工進(jìn)排氣邊刀位優(yōu)化算法所生成刀軌光順性不能滿足加工要求的問題，本文提出了單參數(shù)刀位優(yōu)化算法，有效提高了刀軌光順性，且不降低行寬。該方法的構(gòu)建基于對刀位優(yōu)化過程的有效簡化，具體工作如下：

論證了刀位優(yōu)化過程中偏航角與刀具定位點(diǎn)對行寬作用的一致性，并分析了設(shè)定一致的刀具定位點(diǎn)參數(shù)的必要性，進(jìn)而簡化了平底刀底刃加工具有柱面或圓錐面特征的進(jìn)排氣邊的刀位優(yōu)化過程，確定了單參數(shù)的優(yōu)化策略。

在某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)薄厚可調(diào)葉片模型上完成了試切驗(yàn)證。加工后的零件表面光潔，表面無顫振刀紋，滿足加工要求。與原有算法相比，本文算法所生成刀軌的各軸加速度變化幅度降低至對比算法的12%。