多電飛機270 V高壓直流電力系統小信號穩定性分析

劉勇智， 聶 愷， 于錦祿， 陳俊柏

(1.空軍工程大學航空工程學院， 西安， 710038； 2.空軍工程大學研究生院， 西安， 710051)

為了解決傳統飛機運行成本高、可靠性和穩定性較差的問題，多電飛機[1]的概念相繼被提出。相比于傳統飛機，多電飛機廣泛使用電能來代替氣壓能和液壓能，主要有兩大優勢：一方面隨著大量的機電作動器和功率電傳技術被應用，飛機的運行更加穩定，并且有效簡化了系統的復雜性。另一方面，由于減少了傳統液壓管道，多電飛機的體積得以減小，與此同時又使燃油效率得到提升。在飛機上，與其他二次能源相比較而言，電能的優勢尤其突出，可靠性大大增強。當飛機發生故障時，電能驅動的系統往往可以僅將故障點隔離出來，而傳統的氣、液壓能一般會將整個系統電路全部進行隔離，使系統不能正常運作。除此之外，使用電能時，在相同狀況下，故障發生的可能性僅是傳統氣、液壓能系統的百分之一。但是，含有大量電力電子變換器件的系統中往往表現為恒功率負載的特性，使系統阻尼減小，更容易發生振蕩，此時電力系統平穩運行尤為關鍵，小擾動穩定性問題成為研究重點。

飛機電力系統小信號模型建模方法[2-4]通常有3種：狀態空間平均法(SSA)dq變換法和平均值建模法。相比于其他兩種方法，dq變換法在飛機電力系統動態建模上具有突出優勢[5-6]，構建的狀態方程階數較少。文獻[7]運用電壓、電流雙閉環反饋對電機進行控制，文獻[8]提出了一種用于多電飛機電力系統的自耦變壓器整流裝置(ATRU)的動態模型。該模型大大降低了飛機動力系統建模的復雜性，使其在對電力系統進行暫態和穩定分析時更加實用。目前研究電力系統穩定性分析方法有阻抗分析法，李雅普諾夫穩定性判據等[9-11]。文獻[12]提出了一種基于模塊的小信號建模方法，為復雜多電飛機電力系統建模提供了新的思路。

對電力系統穩定性起到主要作用的參數往往難以選取，需要進行大量的篩選工作。利用參與因子可以很好地解決這一問題，故本文在建立飛機電力系統小信號模型的基礎上，通過對其線性化得到系統特征值，并將參與因子與系統特征值結合[13-14]，顯示了各模態的參與因子與狀態變量的關系，可以直觀、快捷地找出主要參與因子，簡化系統穩定性分析的過程。

1 系統小信號模型

本文研究的飛機電力系統概念圖如圖1所示。

圖1 飛機電力系統概念圖

Req、Leq、Ceq分別是傳輸線上的等效電阻、電感、電容。CPL為恒功率負載。rF、LF、CF代表系統直流部分濾波器相應參數。

本文采用dq建模法，建立適合分析系統小信號穩定性的模型。

1.1 電力系統dq等效電路

飛機電力系統的數學模型建模方法主要有3種：dq變換法、平均值建模法和狀態空間平均建模法。相比于其他兩種方法dq變換法建立的模型可以使系統中各個部分很好地連接在一起。同時，dq變換法建立的電力系統數學模型具有更低的階數，利于分析。因此，本文采用dq變換法對飛機電力系統進行建模。

圖1對應的dq坐標系下的等效電路如圖2所示。

圖2 飛機電力系統等效電路

1.2 非線性動態模型和線性化模型

將基爾霍夫電壓定律(KVL)和基爾霍夫電流定律(KCL)應用于圖2的電路中，得到一組非線性微分方程。

狀態變量：x=[IdsIqsVbus,dVbus,qIdcVout]

輸入量：u=[VmPCPL]

輸出量：y=[Vout]

系統非線性微分方程為：

(1)

假設飛機電力系統在正常運行狀態下工作點不發生快速變化。因此，利用泰勒展開的一階項對式(1)進行線性化處理，從而得到一組圍繞平衡點的線性微分方程，則式(1)的dq線性化模型為：

(2)

其中：

(3)

(4)

(5)

由式(4)可知，線性化模型需要定義Vout,o、λo用于小信號仿真和穩定性分析研究。建立出電力系統單線圖，得到潮流方程[15]，通過牛頓-拉夫遜迭代法可以求得穩態點數據Vout,o、λo，系統中參數如表1所示。

表1 飛機電力系統參數

2 系統穩定性分析

2.1 系統特征值分析

由特征值理論可知：當求得的系統特征值全部處于坐標軸左側時，此時所研究的飛機電力系統是穩定的；當求得的系統特征值存在于任一處坐標軸右側時，所研究的飛機電力系統不穩定。已知電力系統小信號數學模型，由式(4)中的雅可比矩陣A(x0,u0)計算出特征值λ=δ±jω。

當特征值實部δ小于0，該系統處于穩定狀態；當特征值實部δ大于0，該系統處于不穩定的振蕩狀態；當特征值實部δ等于0，該系統處于臨界狀態，即不穩定。將此系統用特征值法進行分析，可以快速、直觀地觀察系統的穩定性，并且整個計算過程簡便，準確度高。經過計算，可得系統特征值分布如圖3所示。

圖3 系統特征值分布圖

PCPL從0～30 kW變化時系統在不同功率下的特征值如圖4所示。

圖4 不同功率下的特征值(λ5，λ6)

圖4中選取靠近坐標軸的局部特征值，隨著PCPL的增大，該電力系統特征值λ5和λ6(分別位于圖4的上半部和下半部)的實部由坐標軸負半軸逐漸過渡到正半軸，這也就表示系統的穩定性在逐漸變差。當PCPL=17 kW到PCPL=18 kW時，系統特征值開始越過坐標軸，系統失穩，即此時系統處于穩定性的臨界點。

在0、0.4、0.6、0.9 s分別給定功率7、12、17、18 kW如圖5所示。

圖5 負載功率改變時電壓的變化情況

由圖5可知，PCPL變化對輸出電壓的影響如下：當給定的功率逐漸增大，系統輸出電壓收斂到穩定的能力逐漸變差。給定功率為17 kW時，系統輸出電壓有收斂到穩定的趨勢，當給定功率增加到18 kW時系統輸出電壓無法收斂，呈現發散趨勢。該仿真驗證了在18 kW恒功率負載值下發生失穩時的理論結果。這大于不穩定狀態下的17 kW值。

2.2 特征值所對應模態參與因子分析

當系統受到小擾動后，系統的穩定性對每一個狀態變量的反應程度均不同，采用參與因子來表示這種影響程度，設特征值的左、右特征向量矩陣分別為Ψ=(φ1T,φ2T,φ3T…)和Φ=(φ1,φ2,φ3…)，Λ=diag(λ1,λ2,λ3…)表示所有特征值組成的對角矩陣。因而有如下關系式[16]：

(6)

參與因子pki可以由第k個狀態變量對第i個特征值的相關性表示：

pki=φikφki

(7)

式中:φki和φik為矩陣Φ和Ψ中相應行和列的元素。

由圖3特征值分布可知，其相對應的各模態參與因子與狀態變量之間的關系如表2所示。

表2 各模態參與因子與狀態變量

表2所示狀態變量Vbus,d是模態λ1、λ2對應的主要參與因子；狀態變量Vbus,q是模態λ3、λ4對應的主要參與因子；狀態變量Vout是模態λ5、λ6對應的主要參與因子。

3 系統參數變化對系統穩定性影響

電力系統矩陣的特征值會根據參數值的變化而變化，特征根離虛軸的距離決定了其系統的穩定性。靠近虛軸的特征根稱為主導特征根。由圖3可選取此系統的主導特征根λ5、λ6。

本文選取了電力系統中具有代表性的參數：直流側濾波器電容CF、直流側濾波器電感LF、系統的頻率ω。

在保證系統其他參數不變的前提下，分別給定系統直流側濾波器電容CF的值為300、350、400、450、500、550、600、650 μF。得到電力系統直流側濾波器電容CF增大時系統主導特征值λ5、λ6的變化軌跡如圖6，其中300 μF≤CF≤650 μF。

圖6 CF增大時特征根變化趨勢

由圖6可知：隨著CF的增大，λ5、λ6由坐標軸右側逐漸移到坐標軸左側，意味著實部由正數變為負數，整個系統由不穩定狀態過渡到穩定狀態，并且穩定性增強。此外通過表2可知Vout是模態λ5、λ6的主要參與因子，隨著CF的增大，Vout的穩定性也隨之增強。

在0.4、0.6、0.8、1.0 s時分別在系統中給定功率12、18、26、32 kW。并選取CF的值分別為300、500、700、900 μF如圖7所示。

由圖7可知，隨著CF值的增大，相同條件下系統可承受負載越來越大，直流側輸出電壓Vout收斂到穩定所需時間縮短。意味著CF越大，系統穩定性越好，同時可以準確的預估出CF的失穩點。由此可見，CF的值越大，系統失穩發生的概率越小。

圖7 CF變化時系統的帶載能力

在保證系統其他參數不變的前提下，分別給定系統直流側濾波器電感LF的值為1、1.5、2、2.5、3、3.5、4、4.5、5 mH。得到電力系統直流側濾波器電感LF增大時系統主導特征值λ5、λ6的變化軌跡如圖8，其中1 mH≤LF≤5 mH。

圖8 LF增大時特征根變化趨勢

由圖8可知：隨著LF的增大，λ5、λ6由坐標軸左側逐漸移到坐標軸右側，意味著實部由負數變為正數，整個系統由穩定狀態過渡到不穩定狀態。此外通過表2可知Vout是模態λ5、λ6的主要參與因子，隨著LF的增大，Vout的穩定性也隨之降低。

在保證系統其他參數不變的前提下，0.4、0.6、0.8、1.0 s時分別在系統中給定功率10、13、18、34 kW。并選取LF的值分別為1、2、3、4 mH如圖9所示。

由圖9可知，隨著LF值的增大，相同條件下系統可承受負載越來越小，直流側輸出電壓Vout收斂到穩定所需時間變長。意味著LF越大，系統穩定性越差，同時可以準確預估出LF的失穩點。由此可見，LF的值越大，系統失穩發生的概率越大。

圖9 LF變化時系統的帶載能力

在保證系統其他參數不變的前提下，分別給定系統頻率ω的值為200、250、300、350、400、450、500、550、600 Hz。得到電力系統頻率ω增大時系統主導特征值λ5、λ6的變化軌跡如圖10，其中200 Hz≤ω≤800 Hz。

由圖10可知，隨著ω的增大，λ5、λ6由坐標軸右側逐漸移到坐標軸左側，意味著實部由正數變為負數，整個系統由不穩定狀態過渡到穩定狀態，并且穩定性增強。此外通過表2可知Vout是模態λ5、λ6的主要參與因子，隨著ω的增大，Vout的穩定性也隨之增強。

圖10 系統頻率增大時特征根變化趨勢

在0.4、0.6、0.8、1.0 s時分別在系統中給定功率16、18、20、22 kW。并選取ω的值分別為200、400、600、800 Hz。帶載能力如圖11所示。

圖11 頻率變化時系統的帶載能力

由圖11可知，隨著ω值的增大，相同條件下系統可承受負載越來越大，直流側輸出電壓Vout收斂到穩定所需時間變短。意味著ω越大，系統穩定性越強，同時可以準確的預估出ω的失穩點。由此可見，ω的值越大，系統失穩發生的概率越小。

4 結語

本文針對飛機電力系統直流側濾波器等參數對應系統的穩定域難以確定、參數主要參與因子選取困難的問題，提出了一種基于特征值及其參與因子分析系統穩定性的方法：通過對系統穩定點的分析，結合泰勒公式建立了飛機電力系統小信號模型，并運用特征值原理、參與因子原理分析系統的穩定性。此分析過程快速、便捷，并且分析結果具有高精度。通過與simulink仿真相結合，驗證了模型的有效性和可行性。在分析過程中，通過對飛機電力系統中主要參數進行數值上改變，可以觀察的系統穩定性的變化趨勢，從而獲取準確的穩定邊界，結果表明：系統直流側濾波器電容CF的值越大，系統越穩定。系統直流側濾波器電感LF的值越小，系統越穩定。系統頻率ω的值越大，系統越穩定。同時此方法為系統預測各參數失穩點提供了有效、快捷的解決辦法。