試卷設(shè)計(jì)的聚類算法

張啟東

（沈陽理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 遼寧省沈陽市 110159）

1 引言

在普通高校推進(jìn)教考分離改革背景下，注重學(xué)生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)和考核，將以題庫制為主要試卷設(shè)計(jì)形式，實(shí)行教考分離命題方式，迫切要求建立符合課程特點(diǎn)，形式多樣的考試評價(jià)制度，提高教育評價(jià)的科學(xué)性、專業(yè)性和客觀性，突出相應(yīng)專業(yè)能力和實(shí)踐應(yīng)用能力考查。如何選擇和設(shè)計(jì)一個(gè)合適的高效試卷設(shè)計(jì)[1-5]算法是教考分離的關(guān)鍵手段。

試卷設(shè)計(jì)的難點(diǎn)是如何調(diào)整試題的難度和區(qū)分度，已有技術(shù)是從課程的考試大綱和試題庫建立試卷的設(shè)計(jì)模型，在試卷生成算法中，已被探討的聚類方法有基于時(shí)空特征的聚類方法[6]，基于關(guān)聯(lián)灰色趨勢的聚類方法[7]，基于模糊性的聚類方法[8]，基于最優(yōu)目標(biāo)的模糊性聚類方法[9]等，以及基于傳統(tǒng)的K均值法[10]、高斯基函數(shù)[11]和神經(jīng)圖模型[12]等聚類方法。

本文從試題得分的隨機(jī)性特征參數(shù)出發(fā)，導(dǎo)出試卷及格率,以控制試卷得分的及格率為目標(biāo)和以難度系數(shù)和區(qū)分度等為約束條件建立試卷的設(shè)計(jì)模型，用一種簡化方法調(diào)整試題的難度和區(qū)分度，用一種聚類基函數(shù)從試題庫中選擇試題和用聚類算法生成試卷, 本文聚類基函數(shù)能夠方便地調(diào)整試題的難度系數(shù)和變差系數(shù)。

2 試卷設(shè)計(jì)模型

2.1 及格率度量指標(biāo)

對于一套由N道試題組成的試卷，若第k道試題權(quán)重分?jǐn)?shù)、難度系數(shù)和變差系數(shù)分別為ωk、δk和γk，則試卷的可能得分s可由式（1）表示。

式中的zk是0-1正態(tài)分布的隨機(jī)變量，用于描述第k道試題得分的離散性。

難度系數(shù)是試題的一種難度指標(biāo)；變差系數(shù)是試題的一種區(qū)分度指標(biāo)。

若在試卷中的題目互不相關(guān)，則試卷得分的平均值μs和標(biāo)準(zhǔn)差σs可由式（2）和（3）分別算出。

引入度量試卷及格率的指標(biāo)變量β，試卷及格率的指標(biāo)變量值用式（4）表示。

式中的c是試卷得分的及格分?jǐn)?shù)線，為確定性變量。容易確定試卷的及格率Pr=Φ(β)。試卷的及格率會隨著試卷平均得分和及格分?jǐn)?shù)線之差增減會變大或小，試卷的及格率會隨著試卷得分標(biāo)準(zhǔn)差的增減會變小或大。

圖1：及格率指標(biāo)與迭代次數(shù)關(guān)系

圖2：設(shè)計(jì)目標(biāo)值與迭代次數(shù)關(guān)系

采用試卷及格率的度量指標(biāo)設(shè)計(jì)試卷，設(shè)計(jì)試卷的問題可以歸結(jié)為在可行域調(diào)整試題的難度系數(shù)和區(qū)分度，使試卷得分的及格率達(dá)到預(yù)期的要求。

式中的Ωk為第k道試題的可行域。試題設(shè)計(jì)的可行域可以按試卷難度、區(qū)分度、課程考核知識點(diǎn)及其覆蓋率、試題的重復(fù)率和雷同率指標(biāo)確定。

2.2 聚類基函數(shù)

直接用式（5）設(shè)計(jì)試卷不夠簡單和方便，下面給出基于聚類基函數(shù)的方法。

用試題的歸一化靈敏度系數(shù)將試卷得分標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式擬線性化。若第k試題的靈敏度系數(shù)αk為：

靈敏度系數(shù)是試題對區(qū)分度的影響因子。一般來說，在試卷中的每個(gè)試題，都應(yīng)對試卷的區(qū)分度有明顯的影響。一般情況下，在由N道試題組成的一套試卷中，每道試題的歸一化靈敏度系數(shù)應(yīng)盡可能趨近于

表1：試題的候選試題

將試卷的及格分?jǐn)?shù)線規(guī)格化。若規(guī)格化及格分?jǐn)?shù)線c0為：

利用式（6）-（7）和式（2）-（4），可將式（5）改成寫成下述形式：

式中：J為設(shè)計(jì)目標(biāo)的變量值；ψ(·)為聚類基函數(shù)，由式（9）確定。

聚類基函數(shù)的值可以度量試題的設(shè)計(jì)參數(shù)對試卷設(shè)計(jì)目標(biāo)的影響程度。若按約束條件使每道試題的聚類基函數(shù)ψ(δk,γk)趨近于0，則生成的試卷已逼近試卷的預(yù)期設(shè)計(jì)目標(biāo)。采用聚類基函數(shù)從試題庫中選擇試題和生成試卷也比較簡單和方便。

3 試卷生成的聚類算法

按約束條件用逐次迭代來逼近試卷的設(shè)計(jì)目標(biāo)和生成試卷。基于聚類基函數(shù)的生成試卷的迭代算法概括如下：

步驟1 給出在試卷中的試題數(shù)量、及格分?jǐn)?shù)線或規(guī)格化的及格分?jǐn)?shù)線、以及預(yù)期的及格率指標(biāo)，并為每個(gè)試題分配權(quán)重分?jǐn)?shù)等。

步驟2 按試題的可行設(shè)計(jì)域從試題庫中隨機(jī)選取N組試題，每組試題至少有一道候選試題；按候選試題數(shù)量由少到多的順序，為試題組編制從1到N的序號；將每組試題的靈敏度系數(shù)均設(shè)置為

步驟3 設(shè)置迭代計(jì)算精度ε；迭代計(jì)數(shù)器變量n初始化，n=0；設(shè)置試卷設(shè)計(jì)的目標(biāo)值J(0)=∞。

步驟5 先用式（6）算出每組候選試題的靈敏度系數(shù)；最后用式（8）算出試卷設(shè)計(jì)的目標(biāo)值J(n+1)。

步驟6 若|J(n+1)-J(n)|>ε，則令n=n+1，并轉(zhuǎn)至步驟4，否則輸出試卷設(shè)計(jì)結(jié)果。

一般情況下，通過調(diào)整試題的權(quán)重分?jǐn)?shù)、難度系數(shù)和區(qū)分度的界值，能夠得到難度適中、及格率符合預(yù)期要求的一套試卷。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

某套試卷由試題A、B和C組成。試題A、B和C的權(quán)重分?jǐn)?shù)分別為4、4和2；考試及格分?jǐn)?shù)線c=6，歸一化及格分?jǐn)?shù)線c0=0.6；考試及格率為90%以上，預(yù)計(jì)及格率預(yù)期指標(biāo)β=Φ-1(0.90)≈1.28。試題的難度系數(shù)和變差系數(shù)按試卷的難度和區(qū)分度確定。

設(shè)計(jì)結(jié)果：及格率指標(biāo)與迭代次數(shù)關(guān)系見圖1，設(shè)計(jì)目標(biāo)值與迭代次數(shù)關(guān)系見圖2。

及格率預(yù)期指標(biāo)β=1.28，預(yù)期的考試及格率為90%。當(dāng)?shù)?次時(shí)，生成試卷預(yù)期的及格率指標(biāo)已符合試卷的設(shè)計(jì)指標(biāo)；采用本文的聚類算法迭代生成試卷時(shí)，可以較快的收斂速度趨近于試卷的設(shè)計(jì)目標(biāo)值。

在設(shè)計(jì)試卷時(shí)，按關(guān)系式γ≤(1?δ-1)?β選擇候選試題可以得到較好的設(shè)計(jì)結(jié)果。

5 結(jié)語

本文以試題得分的正態(tài)概率分布特征出發(fā)，導(dǎo)出試卷及格率的度量方法，以預(yù)期的及格率為目標(biāo)建立了試卷的設(shè)計(jì)模型，給出一種聚類基函數(shù)和基于聚類基函數(shù)的試卷生成算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文聚類基函數(shù)能夠按難度和區(qū)分度等約束條件，從試題庫中選取題目和生成難度適中、及格率符合預(yù)期要求的試卷。