運(yùn)用方程思想求解初中幾何問題例析

【摘 要】方程思想是幾何和代數(shù)之間的橋梁，運(yùn)用方程思想能快速地解決幾何有關(guān)問題。教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用方程思想，特別是在求解初中幾何問題時學(xué)會建立等量關(guān)系。本文試舉幾道典型例題進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】方程思想;初中幾何;等量關(guān)系

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0134-02

方程思想的運(yùn)用就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過適當(dāng)設(shè)元建立未知量與已知量之間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，從而解決相關(guān)問題[1]。對于初中幾何內(nèi)容所涉及的一些線段、角及面積等問題，運(yùn)用方程思想能更簡便快捷地解決。求解這類問題的關(guān)鍵步驟是尋找等量關(guān)系再列方程，即根據(jù)題意及圖形之間的關(guān)系，找出求解問題和已知條件之間蘊(yùn)含的等量關(guān)系，建立方程或方程組。以下筆者通過舉例來說明幾種常用的方法。

1? ?以內(nèi)角和定理或外角關(guān)系建立等量關(guān)系

對于求解三角形或多邊形中某個角的度數(shù)的問題，可以根據(jù)內(nèi)角和、外角的性質(zhì)等找出等量關(guān)系，然后列方程求解。

例1：在下圖1所示?CAB中，已知CA=CB，D為CA上一點，E為CB上一點，且AE=AB，CE=ED=DA，則∠C為? ? ?度。

解：設(shè)∠DAE=x，根據(jù)己知條件有∠C=2x，∠B=

∠CAB=3x，

由三角形內(nèi)角和定理有2x+3x+3x=180°，

得到∠C=45°。

2? ?運(yùn)用勾股定理建立等量關(guān)系

借助四邊形邊長相等的條件，結(jié)合直角三角形性質(zhì)，利用勾股定理建立等量關(guān)系，列方程求解線段長度。

例2：如圖2所示，將如下長方形折疊，使得長方形的一邊DC上的點C落在AB邊上點E處，其中DA=4，DC=5，求BF的長度。

分析：想求得BF的長，利用勾股定理計算，需求EB的長，那么就需求出AE的長，利用勾股定理即可求得AE的長。

解：設(shè)BF的長為x，

∴ CF=（4?x），

∴ ?DCF折疊后的圖形是?DEF，DC=DE，∠C=

∠DEF，CF=EF，DC=AB=5，

∴ DE=DC=5。

又∵ AD=4，

在Rt?DAE中，由勾股定理可得：AD?+AE?=DE?，

即有4?+AE?=5?，

∴ AE=3，

∴ EB=AB?AE=5?3=2，

在Rt?EBF中，由勾股定理可得：EB?+BF?=EF?，

2?+x?=（4?x）?，那么4+x?=16?8x+x?

那么有8x=12，

∴ x=1.5。

3? ?借助相似三角形對應(yīng)邊互相成比例建立等量關(guān)系

例3：在圖3所示Rt?ABC中，己知BD是Rt?ABC的斜邊AC上的高，其中BC=15，AD=16，求?ABC的面積。

分析：要求?ABC的面積，就要先求AB的長度。

解：設(shè)AB=x，CD=y，求邊長AB，根據(jù)已知條件列出關(guān)于x、y的方程組，然后進(jìn)行求解即可。

∵ Rt?BDC∽Rt?ABC，

即152= y（y+16），

在Rt?BDC和Rt?ABD中，通過勾股定理，有BC2?CD2=BD2=AB2?AD2，即152?y2=x2?162，解得（負(fù)根已舍去），所以S?ABC=AB×BC=×15×20=150。

4? ?以面積相等建立等量關(guān)系

面對已知條件較為復(fù)雜的題目，需根據(jù)已知條件，挖掘面積相等這一隱含條件，建立等量關(guān)系，能化難為易。

例4：如圖4所示，在等腰?ABC中，AB=AC=10，高CD=8，AE平分∠CAB。求?ACE的面積。

分析：過E點作?ACE的高EF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得知EF=ED。由已知條件可求出AD=6。由于?ACD的面積還可以表示為?ACE和?AED的面積之和，這樣本題的思路便明朗了，即設(shè)出EF長，用兩種不同的方式表示?ABD的面積，建立方程。

解：如圖4，過點E作EF⊥AC，垂足為F。設(shè)EF=x。

因為CD為AB邊上的高，所以CD⊥AB，∠ADC

=90°。

在Rt?ADC中，∠ADC=90°，于是CD2+AD2=AC2。由于AC=10，CD=8，所以AD=6。

因為AE平分∠CAB且EF⊥AC，CD⊥AB，所以EF=ED。

因為S?ACD=S?ACE+S?AED ，所以5x+3x=24，解得x=3，即EF=3，因此S?ACE=15。

5? 利用三角函數(shù)建立等量關(guān)系

根據(jù)三角函數(shù)知識可知，在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，由此可以建立等量關(guān)系，列出方程。與此類似，同樣可以在等腰三角形中建立邊與角之間的等量關(guān)系。可以把底邊與腰的比叫做頂角的正對值，記作sad，如圖5中，sad C==

，由此可知一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的。

例5：（1）根據(jù)上述角的正對定義，如圖5，在等腰?CAB中，頂角若∠C為36°，求sad C的值。

（2）如圖6，在直角?ABC中，已知sin C=，其中∠A為銳角，試求sad C的值。

解：（1）作∠A的角平分線交BC于點D，易得CD=

AD=AB，?ABD∽?ABC。

∴，設(shè)CD=AD=AB=x，CA=CB=a，得

。

（2）如圖6所示，延長CB至點D，使得CD=CA，∵ sin C=，可設(shè)AB=3k，AC=5k。∴ BC=4k，BD=k，AD=k。

以上僅通過幾個典型例題來引導(dǎo)學(xué)生把握方程思想的精髓，強(qiáng)化學(xué)生利用方程思想解決問題的意識。其中關(guān)鍵是挖掘已知條件，根據(jù)三角形、四邊形、圓等幾何圖形的性質(zhì)建立起等量關(guān)系，從而解決問題。數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”把直觀的幾何圖形與抽象的數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來，能夠把復(fù)雜問題簡單化，把抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題路徑。當(dāng)教師賦予幾何求解以代數(shù)意義時，對其元素之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，幾何問題便可歸類到代數(shù)中去解決，方程思想就是幾何與代數(shù)的橋梁，教師要在教學(xué)中要充分挖掘方程思想的應(yīng)用[2]。

總之，方程思想是求解幾何問題的基本工具，不僅對于解析幾何問題有著積極的意義，對于學(xué)生思維的發(fā)展也具有推動作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]項彬.方程思想在幾何解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2011（4）.

[2]朱躍.方程思想在幾何題中的應(yīng)用[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報，2004（7）.

【作者簡介】

徐松海（1979～），男，山東青島人，本科，中學(xué)二級教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。