基于特征值屈曲分析的高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋穩(wěn)定性研究

郭 森，孟園英

（1. 廣東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院集團(tuán)股份有限公司，廣東 廣州 510507；2. 廣州市高速公路有限公司，廣東 廣州 511400）

0 引言

近年來，因高墩大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋梁有受力情況清晰、行車體驗(yàn)良好、施工技術(shù)成熟等特點(diǎn)，逐漸被應(yīng)用到山區(qū)高速公路跨越深溝、河流等情況中，并不斷朝著高墩、大跨、輕質(zhì)方向發(fā)展[1]。表1 為國內(nèi)外已建高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋橋墩型式，其中的空心薄壁墩及雙肢薄壁墩因其各自的特點(diǎn)和適用性而被廣泛應(yīng)用于不同地形條件下的連續(xù)剛構(gòu)橋建設(shè)中[2]。然而，橋梁的穩(wěn)定問題卻多次出現(xiàn)在薄壁高墩橋梁的施工和運(yùn)營階段。不同形式的橋墩直接關(guān)系著整個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題和受力情況，因此對(duì)薄壁柔性墩設(shè)計(jì)和施工中的自體穩(wěn)定性，T 構(gòu)最大懸臂狀態(tài)及通車運(yùn)營期間，不同階段結(jié)構(gòu)體系發(fā)生改變前后的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行分析極有必要[3]。

表1 國內(nèi)外已建高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋采用的橋墩結(jié)構(gòu)型式

陳建偉[1]利用能量法推導(dǎo)了高墩大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋中高墩的自身穩(wěn)定性、懸臂施工穩(wěn)定系數(shù)的理論計(jì)算公式，并用有限元程序進(jìn)行了驗(yàn)證。劉鋼城等[4]考慮墩頂為彈性支承，對(duì)橋墩壓桿計(jì)算長度進(jìn)行了推導(dǎo)。范迎輝[5]對(duì)橋墩在墩底、墩頂邊界約束條件不同情況下的橋墩臨界力及長度系數(shù)求解公式進(jìn)行了分析。張先忠等[6]基于有限元方法，通過歐拉公式將橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與計(jì)算長度聯(lián)系起來進(jìn)行了分析。本文基于特征值屈曲分析的有限元方法，對(duì)高墩大跨剛構(gòu)橋的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

1 橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析理論

1.1 兩類穩(wěn)定問題及界定準(zhǔn)則

兩端鉸支理想彈性直桿受荷載P 作用，處于初始平衡狀態(tài)，在外界任意存在的微小作用下，能夠使其偏離初始的平衡狀態(tài)，當(dāng)外界擾動(dòng)去除后結(jié)構(gòu)能自動(dòng)回復(fù)到初始平衡位置時(shí)，則表明結(jié)構(gòu)最初的平衡狀態(tài)是可靠的。當(dāng)結(jié)構(gòu)的平衡位置發(fā)生變化時(shí)，稱為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。當(dāng)橋梁結(jié)構(gòu)或某一構(gòu)件一直保持其最初的平衡狀態(tài)，外界任意微小作用出現(xiàn)時(shí)不會(huì)使其出現(xiàn)屈曲的最大荷載稱為臨界荷載，常用Pcr表示。

結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)通常是指結(jié)構(gòu)在外界作用變化到某一特定值時(shí)，保持穩(wěn)定的平衡狀態(tài)逐漸喪失，擾動(dòng)略微增大就會(huì)使變形急劇增大，最終使結(jié)構(gòu)喪失正常工作水平的情況。

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題在橋梁工程中主要表現(xiàn)為2 類：第1 類是以小變形理論為基礎(chǔ)的穩(wěn)定問題，結(jié)構(gòu)屈曲后的荷載- 位移關(guān)系如圖1 中OABC 段，應(yīng)歸為分支點(diǎn)失穩(wěn)問題；第2 類穩(wěn)定問題是以大位移非線性理論為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)極限承載力問題，本質(zhì)上與結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度問題相同，結(jié)構(gòu)屈曲后的荷載- 位移關(guān)系如圖1 中OBE 段，屬于極值點(diǎn)失穩(wěn)問題。2 類問題的對(duì)比見表2。

圖1 第1、2 類失穩(wěn)示意圖

表2 結(jié)構(gòu)2 類穩(wěn)定問題對(duì)比

橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)際發(fā)生的穩(wěn)定問題通常屬于第2 類失穩(wěn)。但是由于第1 類穩(wěn)定問題是特征值問題，一般情況下2 類穩(wěn)定問題的臨界值相差不大，第1 類穩(wěn)定問題能反映出結(jié)構(gòu)的剛度特征，且其臨界荷載又近似地反映第2 類穩(wěn)定問題的上限，在數(shù)學(xué)上求解特征值問題比較容易處理，因此對(duì)第1 類穩(wěn)定問題展開研究具有重要的工程意義。

1.2 穩(wěn)定問題的有限元分析理論

由有限元理論可得結(jié)構(gòu)計(jì)算的有限元平衡方程為：

式中：{F}為作用在結(jié)構(gòu)上的荷載力；[K]為彈性剛度矩陣；{δ}為結(jié)構(gòu)在荷載{F}作用 下的位置變化。

彈性剛度矩陣[K]的表達(dá)式為：

式中：[KD]是反映桿單元的截面剛度EA 及EI 影響，一般情況下稱為單元的彈性剛度矩陣；[KG]與初始軸力F、桿件的幾何長度有密切關(guān)系，通常稱為初始應(yīng)力剛度矩陣。

根據(jù)式（1）、式（2）可以得出結(jié)構(gòu)在荷載作用{F}下的位置變化{δ}。由于[K]與荷載作用相關(guān)，若荷載持續(xù)增加，則結(jié)構(gòu)位移不斷增大；若結(jié)構(gòu)的力與位移不再保持線性關(guān)系，則當(dāng){F}達(dá)到λ{(lán)F}時(shí)，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為隨遇平衡狀態(tài)，這種情況下，結(jié)構(gòu)已達(dá)到臨界荷載點(diǎn)。

通常第1 類失穩(wěn)發(fā)生前，結(jié)構(gòu)是滿足線性關(guān)系的，多數(shù)情況下應(yīng)力與外部作用也呈現(xiàn)線性關(guān)系。假設(shè)當(dāng){F} 增大λ 倍時(shí)，桿件幾何剛度矩陣也增大λ倍，可得下式：

如果λ 足夠大，則結(jié)構(gòu)不斷呈現(xiàn)隨遇平衡狀態(tài)，即當(dāng)位移{δ}變?yōu)閧δ}+{Δδ}時(shí)，平衡方程也能夠滿足，則存在：

按線性代數(shù)理論，能夠同時(shí)滿足以上2 式的條件是：

由于{Δδ}有非零解，所以可得：

以上為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性計(jì)算的特征值方程式，穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問題。若方程有n階，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)會(huì)有n 個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn。但是在實(shí)際工程中，有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的只有最小的特征值或穩(wěn)定安全系數(shù)[7]。此時(shí)的特征值或穩(wěn)定安全系數(shù)即為λcr。

通常情況下，相對(duì)于某種確定的荷載而言，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是存在的。但在大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力由兩部分組成：（1）根據(jù)施工過程確定的恒載內(nèi)力（此部分需按實(shí)際施工過程分階段分析）；（2）后期荷載（如二期恒載、活載、風(fēng)荷載等）[7]。因此，式（6）可改寫成下列形式：

一般情況下，應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)或彈性力學(xué)的方法可以解決簡單結(jié)構(gòu)的問題；對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，若采用解析的分析方法一般無法得出其臨界荷載，此時(shí)采用有限元的分析方法就能有好的計(jì)算結(jié)果。

2 橋墩穩(wěn)定性分析與計(jì)算

2.1 依托工程橋梁概況

依托工程橋梁跨越鄉(xiāng)鎮(zhèn)公路和潯江，江面寬約110 m。橋位區(qū)地面標(biāo)高約228.19～345.15 m，河道與橋梁縱軸線的交角約89°，橋跨布置為75 m+130 m+75 m 預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋，主墩采用變截面空心薄壁箱型墩。主橋位于直線段上，橋?qū)?6 m，箱梁標(biāo)準(zhǔn)寬度為12.75 m。依托工程橋型布置圖見圖2。

圖2 依托工程橋型布置圖（單位：cm）

2.2 有限元模型的建立

依托工程橋梁為75 m+130 m+75 m(設(shè)計(jì)線處跨徑)預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋。根據(jù)構(gòu)件實(shí)際尺寸對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析。主橋?yàn)橹骺?30 m 的連續(xù)箱梁，5# 主墩墩高為94.76 m，墩高為跨徑的1/1.37，6# 主墩墩高為87.71 m，墩高為跨徑的1/1.48。

計(jì)算考慮主墩及樁基的剛度對(duì)上部結(jié)構(gòu)受力的影響。根據(jù)地質(zhì)勘查資料采用土彈簧模擬。結(jié)構(gòu)Midas/Civil 有限元離散圖如圖3 所示。

圖3 結(jié)構(gòu)Mida s /Civil 有限元模型

2.3 施工階段穩(wěn)定性分析

查閱現(xiàn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范，在施工和使用階段，不同規(guī)范對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)具備的第1 類彈性屈曲穩(wěn)定分析的整體穩(wěn)定系數(shù)要求見表3。

表3 不同規(guī)范對(duì)第1 類穩(wěn)定系數(shù)的要求

2.3.1 高墩自體穩(wěn)定性分析

通過橋梁專用計(jì)算分析軟件Midas/Civil，對(duì)橋墩施工期裸墩狀態(tài)進(jìn)行自體屈曲分析。屈曲分析時(shí)分為2 種荷載類型：第1 類是將一期恒載定義為不變荷載，施工期風(fēng)荷載定義為可變荷載G+λP，即表3 中的工況3；第2 類為將一期恒載與施工期風(fēng)荷載定義為可變荷載λ（G+P），即表3 中的工況1、2。通過分析3 種荷載工況來研究風(fēng)荷載對(duì)橋墩穩(wěn)定性的影響大小。

裸墩狀態(tài)下穩(wěn)定性影響因素見表4；裸墩狀態(tài)下穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果見表5。

表4 裸墩狀態(tài)下穩(wěn)定性影響因素

表5 裸墩狀態(tài)下穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

通過分析G+λP 即風(fēng)荷載作為影響幾何剛度矩陣的參考荷載、λ（G+P）即恒載+ 風(fēng)荷載同時(shí)作為影響結(jié)構(gòu)初始應(yīng)力剛度矩陣的參考荷載，確定這3 種荷載工況對(duì)裸墩階段結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響。

由表5 可見，3 種荷載工況的穩(wěn)定系數(shù)相差較大，在該階段風(fēng)荷載不是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的控制荷載。

2.3.2 施工階段高墩穩(wěn)定性影響因素

對(duì)最大懸臂狀態(tài)下的T 構(gòu)進(jìn)行施工誤差及偶然因素背景下的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析，以便確定影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素。施工階段高墩穩(wěn)定性影響因素見表6。對(duì)G+λP、λ（G+P）這2 種荷載類型進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析，結(jié)果見表7、表8。

表6 施工階段高墩穩(wěn)定性影響因素

由表7、表8 可知：λ（G+P）類型參考荷載作為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的控制因素時(shí)，G+λP 類型參考荷載對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的影響可以忽略，該階段結(jié)構(gòu)1 階失穩(wěn)表現(xiàn)為縱橋向失穩(wěn)；上下行分離結(jié)構(gòu)形式的高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)的橋墩橫向系梁設(shè)置對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定貢獻(xiàn)可以忽略，該階段設(shè)置橫向連系梁將影響結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模態(tài)，使其不再表現(xiàn)為單墩的失穩(wěn)。

表7 最大懸臂狀態(tài)下G+λP 類型穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

表8 最大懸臂狀態(tài)下λ（G+P）類型穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

2.4 成橋運(yùn)營階段穩(wěn)定性分析

成橋運(yùn)營階段結(jié)構(gòu)體系發(fā)生改變時(shí)，對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響的荷載類型也會(huì)發(fā)生改變。本階段將橋梁自重、移動(dòng)荷載、風(fēng)荷載作為影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的因素（見表9），對(duì)成橋階段結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。移動(dòng)荷載工況分為使墩頂產(chǎn)生最大軸力和最大彎矩的汽車荷載加載工況。

表9 成橋運(yùn)營階段高墩穩(wěn)定性影響因素

成橋狀態(tài)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析計(jì)算結(jié)果見表10。本階段結(jié)構(gòu)體系發(fā)生改變而成為超靜定結(jié)構(gòu)體系，1 階彈性屈曲穩(wěn)定系數(shù)遠(yuǎn)大于4，穩(wěn)定性不控制設(shè)計(jì)。

表10 成橋狀態(tài)下穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)語

（1）裸墩狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)屬于靜定結(jié)構(gòu)，風(fēng)荷載作為參考荷載對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響可以忽略，該階段穩(wěn)定性不控制設(shè)計(jì)。

（2）最大懸臂狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)體系并未發(fā)生改變，恒載、偶然荷載和施工誤差荷載組合引起的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題風(fēng)險(xiǎn)性較大，在設(shè)計(jì)和施工階段對(duì)引起結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的因素應(yīng)引起足夠重視。

（3）成橋狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)體系發(fā)生改變，屬于超靜定結(jié)構(gòu)，該階段對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響的各種荷載工況并不控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

（4）通過對(duì)施工、成橋階段結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析可知，穩(wěn)定系數(shù)最小值為11.90，發(fā)生在最大懸臂狀態(tài)下T構(gòu)狀態(tài)，是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的控制階段，因此，在施工階段應(yīng)對(duì)偶然因素及施工誤差進(jìn)行嚴(yán)格控制。