基于APDL 的車-連續曲線梁橋耦合系統建模及動力學分析

王京潮，鄭志均

（1.寧海縣市政建設中心，浙江 寧海 315600；2.杭州市城建設計研究院有限公司，浙江 杭州 310018）

0 引言

在曲線橋中，梁截面發生豎向彎曲時，由于曲率的影響，同時會產生扭轉，這種扭轉作用又將導致梁的撓曲變形，稱為“彎- 扭耦合作用”[1]，因此，曲線橋的變形比相同跨度的直線橋大。同時，汽車在曲線橋上行駛時會對橋梁產生水平方向的離心力，導致橫向內力及附加扭矩，使得曲線橋的動力學分析比直線橋的動力學分析復雜得多。

國內外學者的早期研究中，主要側重于解析方法研究，曲線橋采用Euler 梁、Timoshenko 梁或者梁單元模擬，且多為簡支梁，汽車模型多簡化為移動荷載[2-11]，分析曲線橋的動力響應或沖擊系數，李忠獻[12]針對公路和城市立交中的曲線箱梁橋，基于剪力柔性梁格法建立了曲線箱梁的梁格模型，進行了車橋相互作用分析，得到曲線箱梁橋的車橋耦合振動方程，利用Newmark-β 數值積分法求解橋梁的動力響應。隨著研究的逐漸深入和有限元計算軟件的發展，車- 橋耦合系統的研究轉為解析方法和有限元方法相結合的方法。

盡管國內外學者近些年對車- 曲線橋耦合系統進行了一些研究，但已有的汽車- 橋梁耦合系統的計算方法各不相同，通用性不強，對于普通的橋梁設計人員或施工人員進行實際車- 橋耦合系統的動力計算有較大難度。為此，本文擬提出一種完全基于ANSYS 有限元分析軟件，建立車- 橋耦合系統動力計算模型的方法，并與已有文獻的計算結果比較，驗證該方法的正確性；最后以某5 跨連續曲線箱梁公路橋為例，采用實體單元建立車- 曲線橋耦合系統動力模型，分析各種因素對曲線橋動撓度響應和動力系數的影響情況。研究成果可為曲線梁橋的設計、健康監測、損傷識別、加固等的進一步研究提供參考。

1 汽車- 曲線橋有限元模型

1.1 采用AP DL 建立車- 橋耦合系統有限元模型

圖1 所示是車- 曲線橋耦合系統動力分析模型，為了便于獲得解析解，該模型中橋梁的計算模型多為簡支梁，而實際的橋梁結構多為連續梁橋或連續剛構橋、變截面連續梁橋、鋼混組合梁橋等，顯然只通過解析方法進行汽車- 橋梁耦合系統的動力分析已不能滿足實際工程的需要。有限元方法卻能彌補這一不足，能夠建立各種復雜橋梁的計算模型。采用APDL位移耦合法[13]建立一個車輛模型，根據移動速度對車輛模型施加不同的位移約束，將車輛模型與所移動到的位置處的節點豎向位移耦合，該方法建模簡單，計算的橋梁的動力響應正確，且無論橋梁模型采用何種單元類型，均能夠實現車- 橋耦合系統的模擬計算。

圖1 車- 曲線橋耦合系統分析模型

本文將文獻[13]中的位移耦合法思想拓展應用到汽車- 曲線橋耦合系統動力分析模型中，并計算橋梁的動力響應。計算流程如圖2 所示，具體步驟包括：

圖2 AP DL 位移耦合法流程圖

（1）根據實際橋梁選擇合適的單元類型建立其有限元計算模型；（2）在車輛移動的起點建立質量單元MASS21 模擬圖1 中的M1，在M1的上方距離為1 m（可根據實際情況確定此高度） 的位置建立模擬M2的MASS21 單元，再將M1和M2用彈簧- 阻尼器單元COMBIN14 連接起來，模擬圖1 中的彈簧和阻尼器；（3）在橋梁有限元模型中選擇車輛移動的路線上的結點編號；（4）采用APDL 中的DO 循環命令使車輛依次經過選定的結點編號，進行瞬態動力分析，根據車輛移動的速度，計算車輛移動到各個結點的時刻，即該結點到起點的距離，對M1和M2施加相應的位移約束，并采用CP 命令將M1和該結點的豎向位移相耦合實現車輛模型的移動；（4）ANSYS 后處理功能可以提取橋梁結構任意位置的動力響應，并能通過修改控制參數，分析各個控制參數對車- 曲線橋耦合系統動力響應的影響情況。本文將這種完全由APDL 建立的車- 曲線橋有限元模型稱為APDL車- 曲線橋耦合模型。

1.2 驗證AP DL 有限元模型的正確性

以文獻[4]中車輛和橋梁結構的參數為例，建立APDL 車- 曲線橋耦合系統計算模型，并與其計算結果比較，驗證APDL 車- 曲線橋計算模型的正確性。

橋梁跨長L=24 m，圓心角?=30°，截面積A=9 m2，截面特性Iz=18.75 m4、Ix=2.43 m4、J=21.18 m4，彈性模量E=32.3 GPa，泊松比ν=0.2，密度ρ=2.4 t/m3。車輛系統采用文獻[4]中的車重，即mv=29.9 t=29 900 kg，如圖1 所示的簧下質量M1=1 083 kg，簧上質量M2=28 817 kg，mv= M1+M2。參考重型汽車的參數，圖1 中車輛系統的彈簧剛度系數k1=2.135×106N/m，車輛阻尼系數c1=3.9×103N·s/m；車輛移動速度v =40 m/s。

首先，在柱坐標系下建立曲線梁，設曲線的徑向為x 軸（柱坐標的r）方向（正方向指向曲線的外側），沿橋的縱向為y 軸（柱坐標的θ）方向（逆時針方向為正方向），垂直于橋面方向向上為z 軸方向正方向。一端支座約束沿x 軸、y 軸、z 軸的線位移及繞y 軸的角位移，另一端約束沿x 軸、z 軸的線位移及繞y 軸的角位移。由于3 節點的BEAM189 單元可以適應曲線邊界， 能更加準確的模擬曲線橋， 因此選擇BEAM189 單元。

該曲線橋跨中截面的豎向位移動力響應如圖3所示，本文建立的APDL 車- 曲線橋耦合模型的計算結果與文獻[4]的結果吻合良好，說明該方法是可行的。

圖3 與Ya ng[4]的計算結果對比圖

1.3 5 跨連續曲線梁橋的AP DL 車- 曲線橋計算模型

以某5×25.4 m 連續曲線箱梁公路橋，如圖4 所示為研究背景，分別采用梁單元BEAM189 和實體單元SOLID95 建立橋梁的有限元模型，本文按照等截面梁體建立，橋梁的橫截面示意圖如圖5 所示。橋梁和車輛的具體參數見表1 和表2。采用位移耦合法建立APDL 車- 曲線橋計算模型，如圖6 所示。

圖6 分別采用梁單元和實體單元建立的曲線橋限元模型

表1 橋梁參數

表2 車輛參數

圖4 橋梁示意圖

圖5 橋梁橫截面示意圖（單位：cm）

計算得橋梁各跨跨中截面B 點的撓度時程曲線如圖7 各圖所示，表3 為兩種模型計算得到的各跨跨中截面最大撓度及差值列表。

圖7 采用兩種橋梁模型所得橋梁各跨跨中截面B 點的撓度時程曲線

表3 兩種橋梁計算模型所得各跨跨中B 點最大撓度及差值（單位：×10-5 m）

由圖7 可知，采用兩種橋梁計算模型所得橋梁各跨跨中截面的撓度時程曲線變化趨勢一致，實體單元模型的計算結果偏大一些。且由表3 可知，最大撓度之差最大為0.268×10-4m，可見采用實體單元模型計算偏于安全。下面的分析均采用實體單元模型進行計算。

2 車- 曲線橋耦合系統動撓度的影響因素分析

動力沖擊系數（IM）是橋梁設計中用以表征車輛動荷載對橋梁沖擊效應的系數[14]:

式中: Δdmax為最大動響應，m；Δsma為最大靜響應，m。

《公路橋涵設計通用規范》（JTG D60—2015）[15]中的計算公式為：

式中：f 為橋梁的基頻，該算例中橋梁的基頻為5.072 2 Hz，因此，動力沖擊系數為0.27。

2.1 偏載的影響

修改APDL 命令流中汽車荷載作用位置，使汽車荷載分別沿不同的路線（內偏載L1、軸線L2、外偏載L3，如圖4 所示）駛過橋梁時，計算各跨跨中截面中的A 點（橫截面底板外側點，如圖5 所示）、B 點、C點（橫截面底板內側點，如圖5 所示）的動撓度及動力沖擊系數。由于結構具有對稱性，因此第1 跨和第5 跨、第2 跨和第4 跨的撓度時程曲線也具有對稱性，因此本文只列出第1 跨、第2 跨、第3 跨的撓度時程曲線，如圖8～圖10 所示。表4 和表5 分別為，汽車荷載沿不同路線駛過橋梁時，各跨跨中截面中的A 點、B 點、C 點的最大動撓度及動力沖擊系數列表。

表5 汽車荷載分別沿L1 、L2、L3 駛過橋梁時，各跨中截面的A 點、B 點、C 點動撓度的IM 列表

圖8 汽車荷載沿內偏載路線L1 駛過橋梁時，第1～3 跨跨中截面中的A 點、B 點、C 點的動撓度時程曲線

圖10 汽車荷載沿外偏載路線L3 駛過橋梁時，第1～3 跨跨中截面中的A 點、B 點、C 點的動撓度時程曲線

圖9 汽車荷載沿軸線L2 駛過橋梁時，第1～3 跨跨中截面中的A 點、B 點、C 點的動撓度時程曲線

由圖8～10 和表4～5 可知，偏載對該5 跨連續曲線橋各跨跨中截面中A 點和C 點的動撓度及動撓度的動力沖擊系數影響較大。車輛荷載沿L1（內偏載）移動時，內側C 點的最大撓度比外側A 點和軸線B點的最大撓度大，最大差值為2.078 5×10-4m；車輛荷載沿L2（軸線）移動時，外側A 點、軸線B 點和內側C 點的最大撓度相差較小，最大差值僅為-0.430 8×10-4m；車輛荷載沿L3（外偏載）移動時，外側A 點的最大撓度比軸線B 點和內側C 點的最大撓度大，最大差值為3.401 1×10-4m。說明曲線橋在移動車輛荷載作用下均有扭轉變形，偏載時扭轉更明顯。但是，偏載對軸線B 點的動撓度的影響較小，最大差值僅為-0.363 3×10-4m，而偏載對外側A 點和內側C點的影響較大，最大差出現在第5 跨的外側A 點，差值為-2.968 1×10-4m。

表4 汽車荷載分別沿L1 、L2、L3 駛過橋梁時，各跨跨中截面中的A 點、B 點、C 點的最大動撓度列表（單位：×10-4 m）

車輛荷載沿軸線L2移動時，橋梁各跨跨中截面的撓度動力沖擊系數，均遠小于規范規定的沖擊系數0.27，而偏載時，均有大于0.27 的動力沖擊系數。車輛荷載沿L1（內偏載）移動時，較大的動力沖擊系數出現在外側A 點，除第2 跨外，其余各跨均大于0.27，最大值為0.684 7；車輛荷載沿L3（外偏載）移動時，較大的動力沖擊系數出現在內側C 點，除第4、5 跨外，其余各跨均大于0.27，最大值為0.619 6。可見，偏載時對橋梁動撓度的影響較大，內偏載時對外側點的動力沖擊系數較大，而外偏載時內側點的動力沖擊系數較大，與文獻[12]所得結論相同。

2.2 車速的影響

將APDL 命令流中的車速分別修改為：20 km/h、v=40 km/h、v=60 km/h（設計時速）、v=80 km/h，汽車荷載分別沿不同的路線（軸線L1、外偏載L2、內偏載L3，見圖4 所示）駛過橋梁時，計算各跨跨中截面A點、B 點、C 點的撓度，及動力沖擊系數。由于篇幅有限，這里只給出了車輛荷載分別在L1、L2、L3上以不同車速移動時，引起的第3 跨跨中最大撓度和動力沖擊系數列表，見表6 和表7。

表6 汽車荷載分別以不同車速沿L1 、L2、L3 駛過橋梁時，第3 跨跨中截面的A 點、B 點、C 點的最大動撓度列表（單位：×10-3 m）

表7 汽車荷載分別以不同車速沿L1 、L2、L3 駛過橋梁時，第3 跨跨中截面的A 點、B 點、C 點的IM 列表（單位：×10-3 m）

由表6 和表7 可見，隨著車速的增加，第3 跨跨中截面的A 點、B 點和C 點的最大撓度和動力沖擊系數均有所增加。當車輛沿L2（軸線）移動時，車速為80 km/h 時A 點、B 點和C 點的最大撓度與車速為20 km/h 時A 點、B 點和C 點的最大撓度之差較小，且均約為-0.007 3 ×10-3m，IM 的差值也都約為0.04。當車輛沿L1（內偏載）移動時，第3 跨跨中截面的C 點的最大動撓度之差最大為-0.042 2×10-3m，而A 點和B 點的最大動撓度之差分別為-0.023 7×10-3m 和-0.022 0×10-3m，均比車輛軸線移動時的差值大；A 點、B 點和C 點的IM 差值分別為0.238 6、0.121 0、0.154 0，可見內偏載時車速對第3 跨跨中截面的動力沖擊系數影響較大，且對外側A 點的IM影響最大。當車輛沿L3（外偏載）移動時，第3 跨跨中截面的A 點、B 點和C 點的最大動撓度之差比較接近，最大為-0.020 2×10-3m，最小為-0.015 1×10-3m，均比車輛沿軸線移動時的差值大；A 點、B 點和C 點的IM 差值分別為0.050 5、0.104 9、0.159 8，且對內側C 點的IM 影響最大。

2.3 離心力的影響

《公路橋涵設計通用規范》（JTG D60—2004）[15]中規定，曲線橋離心力為車輛荷載（不計沖擊力）乘以離心力系數C 計算，其中離心力系數的計算公式為：

式中：v 為設計速度，km/h，應按橋梁所在路線設計速度采用；R 為曲線半徑，m。

該算例中v=60 km/h，汽車荷載沿軸線L1移動時R=160 m，C=0.177； 汽車荷載沿外偏載L2移動時R=160+2.087 5=162.087 5 m，C=0.175；汽車荷載沿軸線L1移動時R=160-2.087 5=157.912 5 m，C=0.180。

汽車荷載分別沿不同的路線（軸線L1、外偏載L2、內偏載L3，如圖4 所示）駛過橋梁時，分別計算考慮離心力和不考慮離心力時曲線橋各跨跨中截面A點、B 點、C 點的撓度。圖11～圖12 為離心力對第3跨跨中截面的A 點、B 點、C 點的撓度的影響情況。

圖11 汽車荷載沿L1 駛過橋梁時，離心力對第3 跨跨中截面的A 點、B 點、C 點撓度的影響情況

圖12 汽車荷載沿L2 駛過橋梁時，離心力對第3 跨跨中截面的A 點、B 點、C 點撓度的影響情況

表6 為考慮離心力與不考慮離心力時各跨跨中最大撓度偏差列表。偏差的計算公式：

式中：uzlx為考慮離心力時的最大撓度，mm；uz為不考慮離心力時的最大撓度，mm。

由圖11～圖12、表6 可知，考慮離心力時，跨中橫截面中的A 點和B 點的最大撓度均比不考慮離心力時偏大，最大偏差為9.518 2%，B 點的偏差均小于1%，C 點的最大撓度均比不考慮離心力時偏小，最大偏差為-12.320 6%。內偏載和軸線移動（汽車荷載沿L1、L2移動）時，A 點的偏差均大于5%，外偏載（汽車荷載沿L3移動） 時，C 點的負偏差最大，均大于-5%，A 點的偏差均小于5%。

3 結論

本文采用有限元法，完全由APDL 建立了車-曲線橋耦合系統動力分析的模型，并與已有文獻對比驗證了該方法的正確性。以一座5 跨連續曲線梁橋為例，采用APDL 車- 曲線橋計算模型，計算了該橋在四分之一車輛荷載作用下的動撓度響應，及偏載、車速、離心力對動撓度和動力沖擊系數IM 的影響情況，結論如下：

（1）偏載對連續曲線橋各跨跨中截面的動撓度及IM 均有較大影響；

（2）隨著車速的增大，連續曲線橋跨中截面的最大撓度和動力沖擊系數IM 均有增大的趨勢。偏載時比車輛沿軸線移動時影響更大，內偏載時車速對外側的動力沖擊系數影響較大，外偏載時車速對內側的動力沖擊系數影響較大。汽車經過曲線橋時，盡量沿橋梁的軸線行駛；

（3）離心力對跨中截面軸線處的撓度影響不大，但是對于跨中截面內外側的A 點和C 點的撓度均有相對較大的影響，撓度偏差大于5%，因此，分析曲線橋的動力響應時，須要考慮離心力的影響。

本文提出的基于APDL 的車- 曲線橋動力仿真分析方法，可以有效提高工程師分析車- 橋耦合振動問題的工作效率，也可以作為進一步研究多軸多車- 曲線橋耦合系統動力分析、曲線橋損傷識別、確定曲線橋動力沖擊系數限值等的重要參考方法。