磁場中HD分子振轉躍遷的超精細結構*

唐家棟 劉乾昊 程存峰2) 胡水明2)?

1) (中國科學技術大學, 合肥微尺度物質科學國家研究中心, 合肥 230026)

2) (中國科學技術大學, 中國科學院量子信息與量子科技創新研究院, 合肥 230026)

HD分子紅外躍遷的精密測量被用以檢驗量子電動力學、確定質子-電子質量比等.但HD分子的超精細結構分裂對于測量精度是一個很重要的限制因素, 并可能是實驗中測得υ = 2—0譜帶躍遷呈特殊線型的原因之一.本文分別在耦合表象和非耦合表象下計算了HD分子振轉躍遷的超精細結構, 并計算了不同外加磁場下HD分子(2–0)帶中R(0), P(1), R(1)線的超精細結構, 模擬了10 K低溫下對應的光譜結構.結果表明, HD分子躍遷結構可隨磁場發生明顯變化.這可能有助于分析HD分子躍遷特異線型產生的機制, 進一步獲得其準確的躍遷中心頻率, 用于基礎物理學檢驗.

1 引 言

分子的精密光譜對于大氣探測[1]、檢驗量子電動力學(QED)[2?4]、測定基本物理常數[5]和探測物理常數的變化[6]等都有重要的意義.飽和吸收光譜是最常用的克服分子光譜多普勒展寬的實驗方法[7?11].此時, 譜線的加寬主要來源于壓力加寬、渡越時間加寬、功率加寬等.我們發展了基于腔增強和光頻梳鎖定的分子光譜測量技術, 對于分子近紅外振轉躍遷的飽和吸收可實現很高的測量精度[12].HD分子精密光譜的探測對于QED的檢驗、質子-電子質量比的確定有著重要的作用.我們之前用光梳鎖定的腔衰蕩光譜(CRDS)方法測量了HD第一泛頻帶R(1) (2–0)線的飽和吸收光譜,擬合得到的譜線中心位置[8]和Ubachs研究組[13]用噪聲免疫腔增強光外差光譜(NICE-OHMS)方法測得的結果之間存在明顯偏差.進一步的實驗表明, HD分子躍遷飽和吸收譜呈明顯的非對稱線型[14,15].Ubachs研究組[14]認為, 這是HD分子飽和吸收中多個超精細分裂結構子能級間干涉疊加的結果.但該模型強烈依賴于分子間碰撞導致的布居轉移, 這方面還缺乏有力的實驗和理論支持.

60多年前, Quinn等[16]利用磁共振方法研究過HD分子基態的超精細結構, 近期, Dupre[17]和Komasa等[18]分別計算了HD分子紅外躍遷的超精細結構, 在未考慮測量中泵浦探測效應的情況下, 得到了基本一致的躍遷結構, 但仍然難以預測實驗條件下的光譜線型, 不能和實驗結果進行直接對比.Pachalski等[19]認為, HD超精細結構的精密測量對于精確認識氘原子電四極矩, 理解自旋依賴的核子相互作用有著重要意義.本文提出, 通過在不同磁場下觀測HD紅外譜線結構的變化以檢驗其線型的模型.本文將計算不同磁場下HD分子υ = 2—0帶中各塞曼子能級間電偶極躍遷的結構.由于分子間碰撞和能級布居轉移的動力學效應對能級結構十分敏感, 通過實驗和理論的比對, 有望判定HD分子紅外躍遷呈現特別的非對稱線型的真正機制.

2 計算方法

由于HD分子υ = 2—0譜帶振轉躍遷極其微弱(愛因斯坦系數A ≈ 10–5/s), 目前只有在腔增強光譜實驗中才能得到其無多普勒的吸收光譜.這樣的實驗中, 比較方便的實驗條件是加上一個和探測光同軸的外磁場.實驗構想圖如圖1所示, 從ECDL激光器出來的探測光耦合進入一個光學共振腔, 腔外線圈產生一個與探測光同軸的磁場.利用光腔衰蕩光譜[7]等腔增強光譜方法來測量HD分子在不同磁場下的飽和吸收光譜.

圖1 在磁場中測定HD分子振轉躍遷Fig.1.Determination of the ro-vibrational transition of HD molecule in magnetic field.

以下將分析HD振轉躍遷在外磁場下的結構.為減小譜線的渡越加寬、增加下態布居, 比較理想的實驗方式將是在低溫下測量R(0)譜線.低溫下HD分子主要布居在J = 0的轉動能級, 相對來說,超精細結構較為簡單, 也有利于分辨其光譜結構.因此, 本文將主要以υ = 2—0帶中R(0)躍遷為例進行討論.當然, 相關的計算方法很容易推廣到其他躍遷.

可以用兩種表象分別來計算HD分子振轉躍遷的超精細結構.一種是選用N, iD, F1, iH, F,mF這6個量子數構成的耦合表象, 另一種是用N,mN, iH, mH, iD, mD這6個量子數構成的非耦合表象.其中N是轉動角動量量子數, iD, iH分別是氘、氫原子核自旋角動量量子數, F1, F為耦合得到的量子數, mF, mN, mH, mD為對應的磁量子數.

2.1 耦合表象

耦合表象下, 選用N, iD, F1, iH, F, mF這6個量子數構成的基函數.此時, 可以認為HD分子的轉動角動量N與氘原子核自旋角動量iD耦合為F1, F1再與氫原子核自旋角動量iH耦合為總角動量F, F在Z軸方向的投影記為mF, 如圖2所示.即

圖2 耦合表象下HD分子的角動量耦合示意圖Fig.2.Angular momentums of the HD molecule in the coupled representation.

在無外加磁場的情況下, 能級對于mF量子數是簡并的.此時, 可以選擇N, iD, F1, iH, F這5個量子數構成的表象來計算哈密頓矩陣.對于HD υ = 2—0帶的R(0)躍遷, 上能級υ = 2, N = 1的態共有5組基.5組基│N iDF1iHF 〉 分別記為

系統的相互作用哈密頓量分為下面四個部分.第一部分為分子轉動與氫原子核自旋的相互作用, 其中cH為氫原子核的自旋-轉動常數:

第二部分為分子轉動與氘原子核自旋的相互作用,其中cD為氘原子核的自旋-轉動常數:

第三部分為由Breit方程[20]得到的兩個原子核自旋磁矩之間的偶極-偶極相互作用, 其中cs為兩個原子核自旋之間的相互作用常數, rHD為核間距,gH, gD分別為氫原子核和氘原子核的朗德因子,μN為核磁子, μ0為真空磁導率:

第四部分為電四極相互作用, Q為核電四極張量,?E為靜電場梯度:

在N, iD, F1, iH, F這5個量子數構成的耦合表象下, 由于上能級υ = 2, N = 1只有5組基, 其哈密頓矩陣為一個5 × 5的矩陣.由于分子轉動與核自旋之間的相互作用, 以及兩個原子核自旋之間的相互作用, 哈密頓矩陣為一個非對角的矩陣.為了計算其矩陣元, 需要將系統的相互作用哈密頓量寫成張量形式[21]:

其中

按照Dupre[17]的方法, 可以計算得到上能級的5 × 5的哈密頓矩陣中所有的矩陣元, 計算中用到的cH, cD等常數已經有了比較精確的計算結果[17,18,22].本文使用Komasa等[18]通過Born-Oppenheimer近似得到的結果, 上能級υ = 2, N =1對應的cH= 82.183 kHz, cD= 12.524 kHz, d1=16.654 kHz, d2= –22.043 kHz.得到的哈密頓矩陣的本征值即為各超精細分裂能級的能量移動, 本征向量即為對應的本征波函數.記5個本征態分別為:

對于下能級υ = 0, N = 0的態, 只有F = 1/2和F = 3/2兩個能級, 且能量是簡并的, 分別記為a態和b態.

各超精細躍遷譜線相對線強度主要由各躍遷電偶極矩的平方|μul|2決定, 計算下能級a, b兩個態分別到上能級A, B, C, D, E五個態的躍遷電偶極矩的平方即可得到所有超精細躍遷譜線的相對線強度.

根據文獻[17], 上下能級間的躍遷電偶極矩 ,μul=〈X||T(1)(μ)||Y〉=c1〈n||T(1)(μ)||Y〉+c2〈n′||T(1)(μ)||Y〉其中, X代表A, B, C, D, E中的一個態, Y代表a, b中的一個態, n和n' 代表1, 2, 3,4, 5中的一個態, c為歸一化的疊加系數, 數值為對應的本征波函數的系數.〈 n||T(1)(μ)||Y〉 的值可以按照文獻[17]中的公式計算得到:

由于上能級Nn= 1, 下能級NY= 0, 最后一項 〈 Nn||T(1)(μ)||NY〉 的值對于所有超精細躍遷都是相等的, 只需計算前面的系數即可.例如, 要計算 b →A 的躍遷強度, 記其相對線強度為Sul, 由(12)式可以計算出, 〈 1||T(1)(μ)||b〉 和〈2||T(1)(μ)||b〉分別為由于 | A〉=?0.9493|1〉+0.3142|2〉 ,則

按照這種方法, 可以計算出HD分子υ = 2—0帶R(0)線的所有超精細躍遷譜線的頻率和相對線強度, 得到的結果如圖3最下面一欄所示.如果進一步考慮Zeeman子能級間的躍遷, 其相對線強度為

圖3 計算得到的HD分子υ = 2—0帶R(0)線的所有超精細躍遷譜線的頻率偏移及其對應的相對線強度(有部分弱線在顯示范圍之外)Fig.3.Calculated frequency shifts of all hyperfine transition lines in the R(0) line in the υ = 2–0 band and their corresponding line intensities (some weak lines are outside the display range).

2.2 非耦合表象

也可以選擇N, mN, iH, mH, iD, mD這6個量子數構成的非耦合基來進行計算.此時, 可以認為HD分子的轉動角動量N、氘原子核自旋角動量iD以及氫原子核自旋角動量iH分別與磁場耦合.對于HD υ = 2—0帶的R(0)線, 上能級υ = 2; N =1; mN= 0, ± 1; mH= ± 1/2; mD= 0, ± 1, 共有3 × 2 × 3=18組基.下能級υ = 0; N = 0; mN=0; mH= ± 1/2; mD= 0, ± 1, 共有2 × 3 = 6組基.在無外加磁場的情況下, 按照Ramsey和Lewis[22]的表示方法, 系統的有效哈密頓量為

其中, 前兩項對應于自旋-轉動磁相互作用, 第三項對應于兩個核自旋磁矩之間的偶極-偶極相互作用,第四項代表氘核電四極矩的相互作用.躍遷矩陣元可以按照角動量算符的性質來進行計算:

(16)式中角動量算符矢量積可以分別化為如下形式:

按照(17)式—(19)式給出的角動量算符的性質來計算有效哈密頓量Hhfs的矩陣元, 可以得到上能級18 × 18的哈密頓矩陣(注意是塊對角化的).將得到的哈密頓矩陣求本征值和本征向量, 即可得到對應的各超精細分裂能級的能量移動和本征波函數, 非耦合表象基之間的躍遷矩可以由耦合表象基之間的躍遷矩得到.而對于下能級υ = 0,N = 0態的6個能級, 由于N = 0, 所以Hhfs= 0,能量是簡并的, 且能量移動為0.

3 外磁場下的電偶極躍遷

在無磁場情形下, 可以分別用耦合表象和非耦合表象得到各超精細能級的位移和能級間的躍遷矩.我們計算得到的結果和文獻[18]的結果一致.受限于光譜實驗的分辨, 目前還沒有HD振轉躍遷的測量可以分辨超精細結構.例如, Hua等[15]測量了HD在υ = 2—0帶R(1)線的光譜, 分辨率僅為800 kHz, 無磁場下完全無法分辨超精細結構.而有外加磁場時, HD超精細結構可以分辨開來,這為分辨超精細結構提供了契機.

在有磁場情況下, 采用非耦合表象更為方便.從N, mN, iH, mH, iD, mD這6個量子數構成的非耦合表象出發, 按照Ramsey和Lewis[22]的表示方法, 系統的有效哈密頓量為中H為磁場強度, 單位為其

其中, 前兩項對應于核磁矩與外加磁場的相互作用, 第三項為分子轉動磁矩與外加磁場的相互作用, 第四項和第五項對應于自旋轉動磁相互作用,第六項對應于兩個核自旋磁矩之間的偶極-偶極相互作用, 第七項代表氘核電四極矩的相互作用.式他各系數的定義與文獻[22]中的相同, 各系數的數值該文獻中也有給出.

取磁場方向為Z方向, 由于光的方向與磁場方向相同, 這時只能探測Δm = + 1和Δm = –1的躍遷.因此以下只考慮這兩種躍遷, 而不考慮Δm = 0的躍遷.Hhfs中前三項角動量算符只有Z方向的分量, 因此其對應的哈密頓矩陣元只有對角項不為零, 根據(17)式可以很容易算出.而后四項哈密頓矩陣元的計算與2.2節中的計算方法相同.得到哈密頓矩陣后, 求本征值和本征向量, 即可得到上、下能級分別在對應磁場下的各超精細分裂能級的能量移動和本征波函數, 由每條躍遷譜線上下能級的能量移動即可得到該躍遷譜線的頻率移動.按照(13)式的疊加方法, 從非耦合表象基之間的躍遷矩按照疊加系數疊加即可得到對應超精細躍遷的躍遷矩, 進而得到每條超精細躍遷譜線的相對躍遷強度.在100, 300 和1000 G的外加磁場下計算得到的結果分別如圖3上面三部分所示.結果的具體數值如表1所列.圖3中頻率偏移的零點對應于不考慮超精細分裂結構時的躍遷頻率.相對躍遷強度的值取對應的躍遷電偶極矩的平方.在加上外加磁場后, 躍遷分為Δm = + 1和Δm = –1兩支, 分別用紅、綠兩種顏色標注.為了顯示某一條躍遷在考慮塞曼分裂后隨磁場強度的變化, 選出了3條線分別用深紫、墨綠、藍三種顏色的粗線標出, 這3條線都由無外加磁場中的紫色線分裂而出.

表1 計算得到的R(0)線所有超精細躍遷譜線的頻率偏移及其對應的相對線強度Table 1.Calculated frequency shifts of all hyperfine transition lines in the R(0) line and their corresponding line intensities.

從圖3可以看出, 當外加磁場強度較大時, 超精細躍遷譜線明顯分為兩支, 分別為Δm = + 1和Δm = –1的躍遷.隨著外加磁場強度的增大,各超精細躍遷譜線頻率偏移的數值也在增大.可以看出, 當外加磁場強度達到1000 G時, 兩支超精細躍遷譜線已經完全分開, 此時分子轉動角動量以及原子核自旋角動量之間的相互作用已經遠小于外加磁場導致的磁能級的分裂, 此時使用非耦合表象更加直觀.

同時, 我們也分別在無外加磁場以及100, 300,1000 G外加磁場的條件下, 按照上述的計算方法計算了HD分子υ = 2—0帶中P(1), R(1)線的超精細分裂結構及各超精細躍遷譜線的相對線強度.得到的結果分別如圖4和圖5所示, 頻率偏移的零點對應于不考慮超精細分裂結構時的躍遷頻率, 相對躍遷強度的值取對應的躍遷電偶極矩的平方, 不同顏色的標注與圖3中的意義相同.

圖4 計算得到的HD分子υ = 2—0帶P(1)線的所有超精細躍遷譜線的頻率偏移及其對應的相對線強度(有部分弱線在顯示范圍之外)Fig.4.Calculated frequency shifts of all hyperfine transition lines of υ = 2–0 band P (1) lines of HD molecule and their corresponding relative line intensities (some weak lines are outside the display range).

圖5 計算得到的HD分子υ = 2—0帶R(1)線的所有超精細躍遷譜線的頻率偏移及其對應的相對線強度(有部分弱線在顯示范圍之外)Fig.5.Calculated frequency shifts of all hyperfine transition lines of HD molecule υ = 2–0 band R (1) line and their corresponding relative line intensities (some weak lines are outside the display range).

將計算得到的超精細躍遷譜線以相對強度為權重做加權平均, 可以發現兩支超精細躍遷譜線疊加后的光譜中心位置的頻率偏移與磁場強度都基本成線性關系, 斜率分別為0.5056和–0.5056 kHz/G,如圖6所示.

圖6 HD分子R(0) (υ = 2—0)躍遷在軸向磁場下, Δm= + 1和Δm = –1兩支超精細躍遷譜線光譜中心的頻率偏移與磁場強度的關系Fig.6.Relationship between the magnetic field intensity and the frequency shift of the spectral center of the Δm =+ 1 and Δm = – 1 hyperfine transitions of the R(0) (υ =2–0) line of HD.

4 低溫下光譜線型

在低壓情況下, 每條超精細躍遷譜線的飽和吸收光譜的線寬可以近似認為是渡越時間加寬導致的.可以用公式[23]來估算渡越時間展寬的大小, 其中為分子的最概然速度.通過估算得到, 在10 K的溫度下, 每條超精細躍遷譜線的半高全寬(FWHM)約為99 kHz.根據文獻[24], 輻射場和吸收子之間的動量交換產生的recoil效應會導致每條超精細躍遷譜線的飽和吸收光譜分裂為兩個峰.兩個峰的中心位置分別位于未考慮recoil效應前該超精細躍遷譜線峰中心的兩側, 且偏移量相同, 記為對于HD分子υ = 2—0帶的R(0)線, recoil效應產生的偏移量δ約為34 kHz, 即兩峰間距約為68 kHz.

本文在理論上模擬了在10 K的低溫條件下,分別在無磁場、100 G外加磁場、300 G外加磁場、1000 G外加磁場下HD分子υ = 2—0帶R(0), P(1),R(1)線的光譜.模擬中只考慮了Δm = + 1和Δm = –1的躍遷.由于recoil效應產生的分裂, 每條超精細躍遷譜線都分為間距為2δ的兩個峰.每個峰都用FWHM為99 kHz的洛倫茲線型來模擬,模擬得到的結果如圖7所示.

圖7 在10 K的低溫條件下, 分別在不同外加磁場下模擬的HD分子(2—0)帶R(0)線、P(1)線、R(1)線的光譜Fig.7.Simulated spectra of R (0), P (1) and R (1) lines in the (2–0) band of HD under different magnetic fields at the temperature of 10 K.

5 結 論

為了檢驗超精細分裂結構對HD分子的光譜線型帶來的影響, 在無外加磁場的條件下, 分別使用耦合表象和非耦合表象計算了HD分子(2—0)帶中R(0), P(1), R(1)線的超精細分裂結構及各超精細躍遷譜線的相對線強度.利用無外加磁場得到的計算結果, 推導出了非耦合表象下各塞曼子能級之間的躍遷矩, 并分別在100, 300, 1000 G的外加磁場下, 計算出了R(0), P(1), R(1)線的所有超精細躍遷譜線的頻率和相對線強度.模擬了在10 K的低溫條件下, 在不同磁場下HD分子υ = 2—0帶R(0), P(1), R(1)線的飽和吸收光譜.通過分析在低溫下考慮渡越加寬和反沖分裂后疊加的光譜線型, 發現能級中心位置的頻率偏移與磁場強度近似成線性關系, 斜率約為0.5 kHz/G.我們計劃使用光梳鎖定的腔衰蕩光譜的方法, 在不同外加磁場的條件下, 測量常溫下HD分子(2—0)帶R(0), P(1),R(1)線的飽和吸收光譜, 與理論上模擬得到的結果進行對比, 來檢驗相關的光譜線型模型.