基于灰度重構和PSO的FCM分割MRI

周同馳，李 征，瞿博陽，李 召，宋曉煒

(中原工學院 電子信息學院，河南 鄭州 450007)

0 引 言

在計算機輔助診斷中，磁共振圖像(MRI)發揮了重要作用，同時，大量學者對MRI分割展開了研究。分割時，常用的方法有神經網絡[1]、分水嶺[2]、水平集[3]、高斯混合模型[4]、模糊C均值(FCM)[5,6]等。其中，FCM模型是一種無監督學習，允許將一個像素分為一類或多類，之后根據隸屬度值進行分類，屬于軟分類。由于FCM模型具有理論易懂、執行簡單等優點，受到了大量學者的研究，但分割結果容易受到噪聲和初始聚類中心的影響。

為解決噪聲敏感問題，許多學者添加濾波操作或改進FCM模型的目標函數[7]。王小鵬等[8]提出一種自適應濾波的快速廣義模糊C均值算法，通過非局部像素的噪聲概率自適應確定參數平衡因子，將該因子用于抑制噪聲，取得了更準確的結果。其中，原始的快速廣義模糊C均值算法(FGFCM)是先對像素點灰度進行線性加權和生成新的灰度圖像，然后利用直方圖進行分割。周友行等[9]提出了一種考慮像元間相互關系的FCM聚類分割算法，使算法具備了更好的抗噪能力。Lei等[10]提出一種基于形態重構和隸屬度濾波的快速魯棒性模糊C均值(FRFCM)聚類算法，對原圖像進行形態學重構，并使用隸屬度濾波，提高了隸屬度矩陣的有效性。為解決初始值影響算法性能的問題，Zhang等[11]將粒子群算法與FCM模型相結合，提出了PSOFCM算法，并在實驗中取得了較好的結果。胡學剛等[12]利用非局部空間信息構建和圖像，根據和圖像的直方圖，自動選擇初始化聚類中心，在分割時取得了理想的效果。馮飛等[13]使用引力搜索算法確定最優聚類中心，避免了隨機初始聚類中心對分割結果的影響。為同時解決FCM模型對噪聲敏感和初始聚類中心影響分割結果的問題，提出一種融合灰度重構和改進的粒子群算法的FCM模型。應用所提算法對MR圖像進行分割實驗，并與同類型的算法的實驗結果進行對比，結果顯示，所提算法具有較強魯棒性和較高的分割精度。

1 相關算法

1.1 模糊C均值(FCM)

在FCM聚類算法中，對于給定的圖像數據集X={x1,x2,…,xN}，xi為每個像素點的灰度值，其目標函數為

(1)

式中：N為圖像的像素個數，c為聚類中心個數，m為模糊隸屬度系數，uik為第i個像素屬于第k個聚類中心的隸屬度，對隸屬度的約束如式(2)所示，xi和vk分別為第i個像素灰度值和第k個聚類中心灰度值，兩者差的平方為其歐氏距離。在隸屬度的約束下，利用拉格朗日最小二乘法分別對聚類中心和隸屬度求導，可得FCM算法的聚類中心和隸屬度更新公式，如式(3)和式(4)所示

(2)

(3)

(4)

1.2 快速廣義模糊C均值(FGFCM)

在FGFCM聚類算法中，計算窗口內像素的灰度值和空間坐標信息進行相似度測量，并作為一個權重對灰度值進行重構，之后利用灰度級數代替像素個數進行迭代計算。因灰度級數遠遠小于像素個數，大大降低了計算復雜度。其目標函數為

(5)

式中：q為圖像的灰度級數，γl為灰度為l的像素個數，ξl是在原圖像的基礎上經過線性加權和生成的新圖像。線性加權和的過程可表示為

(6)

(7)

Ss_lj=exp(-max(|aj-al|,|bj-bl|)/λs)

(8)

(9)

其中，Slj為像素l與像素j的相似度系數，j是窗口內除中心點外的其余像素，Nl是以像素l為中心的窗口，Ss_lj和Sg_lj分別為空間坐標信息和灰度信息，a和b分別為像素點的橫坐標和縱坐標。FGFCM算法的聚類中心更新公式為

(10)

隸屬度更新公式為

(11)

2 提出的算法

2.1 灰度重構

規則的鄰域窗口通常會破壞圖像的真實局部結構，導致分割結果不佳[14]；另一方面，使用圖像中的每兩個像素的信息可以有效地抑制噪聲[15]。為更好平衡降噪與圖像細節保留的關系，本文提出一種灰度重構方法。將整幅圖像作為一個窗口，計算第i個像素與其余像素的灰度信息和空間坐標信息，將兩者乘積作為相似度系數。再根據相似度系數對第i像素進行線性加權和，之后進行Top-hat和Bottom-hat變換完成灰度重構。其中，在計算空間信息時，使用快速帶寬法自適應生成相關參數，減少參數設置問題對分割結果的影響。線性加權和圖像Xi生成過程如下所示

(12)

(13)

(14)

(15)

xj為第j個像素點的灰度值，H可表示為

(16)

式中：di為灰度偏差，如式(17)所示

(17)

在進行灰度線性加權和后，進行Top-hat和Bottom-hat變換處理。Top-hat和Bottom-hat變換是圖像差分與形態學操作相結合的結果，也是灰度圖像特有的操作，有助于處理圖像邊緣信息和保留細節信息。灰度級圖像X的Top-hat變換可定義為

That(X)=X-(X°De)

(18)

X的Bottom-hat變換定義為

Bhat(X)=(X·De)-X

(19)

式中：·為閉操作，°為開操作，De為結構元素，本文采用半徑為5的結構元素。

為驗證計算整幅圖像中每兩個像素的有效性，使用僅結合灰度重構處理的FCM模型(GFCM)對圖1進行聚類實驗。其中，圖1(a)為原始圖像，圖1(b)為真實圖像。實驗時，設置不同的窗口大小進行對比。以均方根誤差(mean square error，MSE)作為衡量標準，其計算公式為

圖1 性能驗證實驗源圖像和真實圖像

(20)

式中：Yk為算法取得的聚類中心，Bk為真實的聚類中心。MSE數值越小，則分割效果越好。

各個窗口對應的MSE見表1，根據數據可知，不恰當的窗口大小容易破壞圖像的局部結構，從而產生不理想的分割結果。計算圖像中每兩個像素的相關信息獲得的均方根誤差最小，驗證了所提方法的有效性。

表1 不同窗口下的均方根誤差

2.2 改進的粒子群優化算法

PSO是一種基于種群的隨機優化技術，被認為是一種全局搜索策略，得到了廣泛應用[16]。在PSO中，種群中的每個成員稱為粒子，代表優化問題的潛在解，被稱為粒子群的每個成員代表優化問題的潛在解。種群P通過連續迭代進行演化，候選解的質量由相關聯的粒子適應度值評估。對于每個粒子p有位置向量Zp=(zpr)p、速度向量Vp=(vpr)p、稱之為該粒子最好位置的Pbest，并與鄰域中發現的最佳位置的粒子相互作用，直至找到全局最優Gbest或者滿足最大迭代條件。第t次迭代時，每個粒子都將根據式(21)和式(22)進行移動

Vp(t+1)=wVp(t)+Q1r1[Pbest(t)-Zp(t)]+

Q2r2[Gbest(t)-Zp(t)]

(21)

Zp(t+1)=Zp(t)+Vp(t+1)

(22)

其中，式(21)為速度更新公式，式(22)為位置更新公式，Q1和Q2是學習因子，r1和r2是介于(0，1)之間的隨機數，w為慣性權重，當w值過大時，粒子速度過快，有更大的概率在全局空間尋優，當w值過小時，粒子速度過慢，有更大的概率在局部空間尋優。

進行圖像分割時，前期主要對全局分割，有初始輪廓后再對細節部分進行分割，分割速度先快后慢，分割布局為先整體后局部，即快速進行全局尋優，慢速進行局部尋優。基于此思想提出一種自適應慣性權重，并用自適應權重替換介于(0，1)之間的隨機數r1和r2，避免粒子尋優時陷入局部最優，確保粒子群算法與相應模型結合后，能夠更加有效分割圖像。改進后的慣性權重更新公式和速度更新公式如式(23)和式(24)所示

(23)

Vp(t+1)=wtVp(t)+(1-wt)(Q1(Pbest(t)-Zp(t))+

Q2(Gbest(t)-Zp(t)))

(24)

其中，t為從1開始迭代的次數，tmax為設置的最大迭代次數。慣性權重將根據迭代情況自適應調整，粒子速度也將自適應進行調整，可以更好平衡全局搜索和局部搜索，避免陷入局部最優。

2.3 提出的分割算法

應用SAPSO算法對GFCM的目標函數進行優化，提出一種FCM算法(SAPSOGFCM)。將聚類中心編碼為粒子位置，對于P個粒子，有(c*P)個優化變量需要編碼。第p的粒子的位置可以描述為Zp=(zp1，zp2，…，zpc)，其中，zpk(k=1，…，c)表示第p個解中的第k個聚類中心。適應度函數為

fp=JGFCM

(25)

(26)

其中，Z為粒子位置，即聚類中心，在算法中，最小化fp等同于最小化GFCM模型的目標函數。為了確保所有粒子在搜索空間內移動，最大位置和最小位置分別設置為圖像的最大灰度值和最小灰度值。在式(2)的約束下，利用拉格朗日最小二乘法對隸屬度求導，可得隸屬度更新公式為

(27)

由式(27)可知，聚類中心確定后，計算隸屬度，結合自適應的粒子群算法后，聚類中心通過自適應粒子群算法產生并進行尋優，隸屬度和適應度值也隨之進行更新。最后，根據輸出的聚類中心和隸屬度對圖像進行分割。

所提算法流程見表2，通過給定的數值，先計算帶寬H，進行灰度重構，再利用改進的粒子群算法優化的FCM模型進行圖像分割。

表2 SAPSOGFCM算法流程

3 實 驗

為了驗證所提算法有較高分割精度和魯棒性，使用Internet brain segmentation repository(IBSR)[17]中的數據集進行MR圖像分割實驗。IBSR是MR圖像分割常用數據集之一，具有大量真實的腦MR圖像，根據組成可分為兩大類，第一類為不存在腦脊液圖像，第二類為存在腦脊液圖像，所有圖像均含有噪聲和不均勻度。在對不存在腦脊液的圖像進行分割時，分割為白質和灰質，對存在腦脊液的圖像進行分割時，分割為白質、灰質和腦脊液。同時，將所提算法與FCM、PRFLICM、FGFCM、FRFCM、PSOFCM及SAPSOFCM算法進行定量、定性分析對比。所選對比算法不僅可驗證所提算法對噪聲的抑制能力，還可驗證所提算法對初始聚類中心的優化能力。

3.1 定量分析標準

定量分析時，采用Jaccard相似系數(JS)和Dice系數(DC)，對于一幅圖像，如果M和G分別表示分割圖像和真實圖像，那么JS系數和DC系數可表示為

(28)

(29)

JS系數和DC系數值均在0與1之間，其值越大，分割效果越好。

3.2 分割實驗

算法參數設置見表3。

表3 算法參數設置

3.2.1 不含腦脊液圖像分割

本部分，分割類數設置為3，分別分割為背景、白質和灰質。

將分割結果可視化，如圖2所示。其中，圖2(b1)～圖2(b3)分別為真實分割的整體、灰質和白質，圖2(c)到圖2(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的整體、灰質和白質。從圖中可看出所有算法均獲得了良好的分割結果，對噪聲都有一定的抗干擾性。但FCM、PSOFCM、FGFCM過多的將白質劃分為灰質，SAPSOFCM、FRFCM、SAPSOGFCM效果相對較好。其中，SAPSOGFCM的取得的效果最好，如圖中方框區域所示。同時，對分割結果進行定量分析，其JS系數和DC系數見表4。

表4 不同算法的JS系數和DC系數

圖2 實驗1原始圖像和分割結果

由JS系數和DC系數可知，FCM分割結果和PSOFCM分割結果相同。加入自適應策略的粒子群算法即SAPSO-FCM 的JS系數和DC系數均高于FCM和PSOFCM。所提出的SAPSOGFCM算法各項系數值均是最大，與定性分析中其錯分率低相對應。

對同類型圖像再次進行分割實驗，實驗結果可視化后如圖3所示。其中，圖3(b1)～圖3(b3)分別為真實分割的整體、灰質和白質，圖3(c)到圖3(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的整體、灰質和白質。FGFCM將白質過多的劃分為灰質，FCM和PSOFCM的分割結果類似，FRFCM與SAPSOGFCM對白質的分割結果類似，SAPSOGFCM對灰質的分割效果明顯接近于真實分割。對分割結果進行定量分析，其JS系數和DC系數見表5。

圖3 實驗2原始圖像和分割結果

表5 不同算法的JS系數和DC系數

從表5中可知，SAPSOFCM的JS系數和DC系數值均大于FCM和PSOFCM的系數值，FRFCM的各項系數均大于SAPSOFCM。所改進的粒子群算法有效的同時仍不能達到最好效果，當與另一種策略相結合后即SAPSOGFCM，JS系數和DC系數皆得到提高。

3.2.2 含腦脊液圖像分割

本部分，分割類數設置為4，分別分割為背景、白質、灰質和腦脊液。

實驗結果可視化后如圖4所示，其中，圖4(a1)為源圖像，圖4(a2)為真實圖像，圖4(b1)～圖4(b3)分別為真實分割的灰質、白質和腦脊液，圖4(c)到圖4(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的灰質、白質和腦脊液。從圖中可以看出PSOFCM對灰質的分割結果比FCM的分割結果更接近真實結果，SAPSOFCM與PSOFCM相比則更接近真實結果。PRFLICM、FGFCM和FRFCM的白質分割結果比SAPSOGFCM更接近真實分割。在灰質和腦脊液的分割中，SAPSOFCM的分割結果明顯比其余算法的分割結果更為接近，尤其是腦脊液的實驗結果。對腦脊液的分割效果均不理想，是由于圖像噪聲的影響，大量的腦脊液被劃分為白質或灰質。實驗結果的JS系數和DC系數見表6。

表6 不同算法的JS系數和DC系數

圖4 實驗3原始圖像和分割結果

分析各算法的JS系數和DC系數可知，各算法在分割圖像的不同區域都有明顯優勢，如PRFLICM在白質區域的JS系數和DC系數值最大。自適應粒子群算法優化的FCM與傳統粒子群算法優化的FCM相比，整體上JS系數和DC系數值更大。所提出的SAPSOGFCM與上述算法相比，在灰質和腦脊液區域的JS系數和DC系數最大。雖然所提算法在白質區域JS系數和DC系數小于PRFLICM算法，但整體上所提算法系數值最大。

對同類型圖像進行實驗，分割結果可視化后如圖5所示，其中，圖5(a1)為源圖像，圖5(a2)為真實圖像，圖5(b1)～圖5(b3)分別為真實分割的灰質、白質和腦脊液，圖5(c)到圖5(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的灰質、白質和腦脊液。從圖5中可看出，SAPSOFCM算法對灰質和腦脊液的分割結果與FCM和PSOFCM相比更接近真實結果，對白質的分割結果與PSOFCM的結果相比更接近真實分割。PRFLICM算法對白質的分割結果與另幾種相比更接近真實結果。所提算法SAPSOGFCM對灰質和腦脊液的分割結果與其余幾種相比更接近真實分割結果。實驗結果的JS系數和DC系數見表7。

圖5 實驗4原始圖像和分割結果

對比各算法的JS系數和DC系數，可知SAPSOFCM的各項系數均大于PSOFCM的系數。PRFLICM的白質分割JS系數和DC系數最大，在另兩個區域的錯分區域較大，系數值較小。SAPSOGFCM在灰質和腦脊液區域的JS系數和DC系數均大于其余算法的系數。

表4～表7中，不同算法的JS系數和DC系數存在明顯差距，所提算法的JS系數和DC系數均取得較理想效果。與FCM、FGFCM、FRFCM、PRFLICM相比，所提算法不僅考慮噪聲，而且還考慮了隨機選取初始聚類中心的影響，與PSOFCM相比，自適應粒子群優化算法可以更好平衡全局尋優與局部尋優，從而取得更為理想的結果。

表7 不同算法的JS系數和DC系數

3.3 算法參數分析

與傳統模糊C均值算法不同，本算法需要根據經驗值設置粒子群優化算法中的參數和參數σ，為避免影響實驗結果，根據文獻[18]確定了粒子群算法的相關參數值。為評價參數σ對所提算法的影響，設定σ=[25,30,35,40,45,50,55,60]，分別對實驗圖像進行分割實驗，對實驗圖像的白質DC系數進行統計，如圖6所示。從圖6可以看出，σ值對不同圖像的影響程度不同，σ值的選取對實驗結果有一定影響，但浮動較小，隨之σ值增大，DC系數趨于穩定狀態。σ值等于40時，4幅圖像的DC系數有同一趨勢，其余值的DC系數均在最大值附近波動。對于本文實驗，選取σ=40，達到實驗要求。對于不同算法，可根據需要取得的效果，適當增加σ值或減小σ值。

圖6 不同σ值對應的白質DC系數

4 結束語

本文通過對原圖像進行灰度重構，并對FCM算法的聚類中心進行優化，提出了一種FCM算法。利用IBSR數據集中的腦MR圖像對所提算法進行驗證，實驗結果驗證了所提出的灰度重構和改進的PSO算法的有效性，進一步驗證了所提算法能更好抑制噪聲和解決初始聚類中心影響分割結果的問題，取得理想的效果。但引入啟發式算法后，FCM的計算復雜度變高，耗費時間增加。為此，下一步將針對復雜度進行改進，以減小運算時間。