圖像法解一類“子彈打木塊”模型

陳衛國

(北京師范大學貴陽附屬中學,貴州 貴陽 550023)

高中物理中有一類常見的“子彈打木塊”問題,用常規物理解法計算量很大,且容易出錯．筆者試用圖像法分析解答,以得到一種直觀、簡便的解題方法．

1 “子彈打木塊”模型的兩種典型情況

物理過程:子彈質量為m,木塊質量為M,木塊長度為L,木塊靜止放在光滑的水平面上,子彈以速度v0水平射向木塊,在整個過程中木塊對子彈的阻力為恒力F．

1.1 子彈射入木塊未穿出

(1) 描畫物理過程(如圖1).

圖1

(2) 描畫物理圖像(如圖2).

圖2

(3) 物理圖像的物理意義.

圖2中,木塊的v-t圖線OB的斜率大小表示木塊勻加速運動的加速度的大小;子彈的v-t圖線AB的斜率大小表示子彈勻減速運動的加速度的大小;子彈的v-t圖線與橫坐標軸所包圍的面積的大小表示子彈位移的大小s1;木塊的v-t圖線與橫坐標軸所包圍面積的大小表示木塊位移大小s2;△ABO的面積s3=s1-s2表示子彈射入木塊的深度d;v為子彈、木塊最終共同速度．

1.2 子彈射入木塊穿出

(1) 描畫物理過程(圖3).

圖3

(2) 描畫物理圖像(圖4).

圖4

(3) 物理圖像的物理意義.

圖4中,木塊的v-t圖線OC的斜率大小表示木塊勻加速運動的加速度的大小;子彈的v-t圖線AB的斜率大小表示子彈勻減速運動的加速度的大小;子彈的v-t圖線與橫坐標軸所包圍的面積的大小表示子彈位移的大小s1;木塊的v-t圖線與橫坐標軸所包圍面積的大小表示木塊位移大小s2;梯形ABCO的面積s3=s1-s2表示木塊的最大長度L;vB,vC分別表示子彈、木塊的最終速度．

2 “子彈打木塊”類物理問題的圖像解

2.1 判斷子彈能否擊穿木塊的方法

“子彈打木塊”類物理問題,一旦它們的初始條件確定,其能夠穿透木塊的理論深度是確定的,設為s．我們只須比較理論穿透深度s和木塊的實際長度L即可確定子彈能否穿出木塊．

在所給子彈初速,子彈質量,木塊質量,木塊對子彈恒定阻力條件下,子彈可貫穿木塊的理論深度為s,理論貫穿時間為T,最后二者以共同速度v前進．如圖2,由初始條件及物理過程可得

(1)

理論貫穿時間為

(2)

理論貫穿深度為△OAB的面積,即

(3)

從而得到子彈能否擊穿木塊的判別式:當s≤L時,子彈不能穿出木塊;當s>L時,子彈能夠穿出木塊．

2.2 子彈不能擊穿木塊的情況

圖像解法:其物理圖像為圖2．

(1) 子彈未射出木塊,有s≤L，即

子彈貫入木塊的實際深度d就等于子彈的理論貫穿深度．當等號成立時,子彈恰好運動至木塊另一端,并且相對木塊靜止,子彈的理論貫穿深度即為木塊長度．

(2) 子彈未射出木塊,在木塊中穿行時間t1≤T，即

(4)

最長相對運動時間為不等式取等號,為

(3) 子彈貫入木塊的實際深度d為△OAB的面積s3,子彈對地位移為梯形OABD的面積s1,木塊對地位移為△OBD的面積s2, 從圖2我們還可以看出

s1>d=s3>s2.

(4) 子彈、木塊相對運動過程中產生的熱量為

相對靜止時全過程產生的最大熱量為不等式取等號,即Q=F·L.

(5) 二者最終共同速度根據公式(1)有

(5)

2.3 子彈能夠擊穿木塊的情況

(1) 子彈能夠穿透木塊,子彈在木塊中相對木塊穿行長度為木塊本身長度L．

(2) 圖4中,梯形OABC面積為子彈擊穿木塊的深度,即木塊的長度,等于L．

梯形OABC面積為

聯立上述3式,解得

因為子彈能夠射穿木塊,所以實際貫穿時間小于理論貫穿時間,即應該t1

(6)

(3) 子彈在木塊中穿行,二者分離時子彈對地位移s1為梯形OABD的面積;木塊對地位移s2為△OCD面積;子彈相對木塊位移s3為梯形OABC的面積,根據圖4有

s1>s3>s2.

(4) 子彈穿出木塊,產生的熱量為Q=F·L.

(5) 子彈在木塊中穿行至分離時,

二者分離時,子彈相對木塊運動時間為t1,將t1代入上述公式,得

(7)

(8)

2.4 總結

圖像法能解決的物理問題,常規方法都能解．但圖像法以它直觀、簡潔的特點遠遠優于常規方法．文中我們采用“圖像、判別式方法”幾乎可以解決內力為恒力的“子彈打木塊”模型中所有物理問題,并且可以研究穿透過程的細節．但如果采用能量、動量來解題,因為此二者只解決始、終狀態,如不告知子彈的最終狀態,我們則必須采用試探解,過程將極為煩瑣．當然,圖像法必須在它的適應范圍內才有效,對于內力為變力,或者只求子彈、木塊最終共速時的速度,我們用動量方法即可．這也就啟迪我們:任何一種方法都不是萬能的,對于具體的物理問題,我們應該尋求最適合它的解答方法．

3 “子彈打木塊”模型圖像解法的應用

3.1 對于加速度發生變化的情況

子彈質量m,以速度v0射入靜止于光滑地面上的木塊,其質量為M．木塊長度為L,木塊對子彈阻力恒為F,當子彈質量減小時,木塊的速度將如何變化?

圖像解析:根據2.1的判別式,結果有兩種情況．

圖5

圖中AB為開始子彈入射木塊至分離時的圖線;AB′為子彈減小質量后恰好能夠穿越木塊的圖線;木塊質量不變,OB′為木塊運動圖線．

從數學上也可以判斷,隨著m減小,vC即木塊速度將變大.

從圖像和數學上都容易判斷木塊的最終速度將減小．整個過程中,當s=L時,木塊的速度最大．

同樣還可以判斷:如果只改變木塊的質量,比如變大或變小,其它條件不變,子彈以及木塊最終的運動情況．

3.2 “子彈打木塊”模型中的“三體問題”

如圖6所示,a、b是靜止在光滑水平地面上的兩塊長木塊．a的左端和b的右端相接觸,二者等高．兩木塊的質量分別為Ma、Mb,長度分別為La、Lb,c是一個質量為m的小物體(可視為質點),現給它一個初速度v0,使它從b的左端開始向右滑動．已知c與a、b之間的動摩擦因數分別為μ2和μ1,求最后c以多大的速度運動．

圖6

我們首先需要判斷小木塊在上述物理條件下的最終停留位置是在b上,還是在a上,或者最終c是否躍出a．

判斷c能否滑出b．由所給的初始條件,當c在b上運動時,可以將b、a作為一個整體．根據公式(3)此時的理論貫穿深度為

其中F1=μ1mg.

當s1≤Lb時,小木塊c將停留在b上;

當s1>Lb時,小木塊c將滑出b．若c能夠躍上a,則c剛躍上a時相對a的速度為v02=vB-vC．其中vB為c離開b時的速度;vC為b的最終速度,也即c躍上a時a的速度．c在a中的理論貫穿深度根據公式(3)為

其中F2=μ2mg.

當s2≤La時,c將停留在a上．當s2>La時,c將躍出a．

通過上述分析,我們發現題目的物理過程表面上涉及3個物體,實質上仍是兩個兩體問題的組合．只不過在運用理論貫穿公式時,對于第2次應用,應注意入射速度要作一個轉換而已．

(1)s1≤Lb,c停留在b上,實質是“子彈打木塊”問題中的子彈停留在木塊中,它們的共同速度即類同公式(5)．只不過此處木塊質量為(Mb+Ma),所以共同速度為

此即小物體c的最終速度．

(2)s1>Lb且s2≤La,c停留在a上,從整個體系來看,這類似于3.1中加速度發生變化的情況．假設F1

圖7

木塊b、木塊a共同運動v-t圖線為OC線;c離開b而躍上a的瞬間開始,a運動的v-t圖線為CD線;c在b上運動的圖線為AB線,c在a上運動的圖線為BD線．

我們發現: 當c將要離開b而躍上a的瞬間,b將以最大速度vC勻速運動;a將在速度vC的基礎上加速前進,此時b,a分離．c最終停留在a上,二者以共同速度vD前進．

如果c剛躍上a時以此時的a為參照系,入射速度即為v02=vB-vC,對應木塊質量為Ma,木塊長度為La,a對c阻力為F2．它們的最終共同速度類同公式(5),為

對于公式(7)、(8),將M以(Ma+Mb)替代,L以Lb替代,即可得到本處所求的vB,vC,從而求得v02=vB-vC,最終得出vD′．將vD′疊加a的開始速度vC，即可得c的最終速度vD．即

vD=vD′+vC.

(3)s1>Lb且s2>La,c沖出a,c的最終速度求解類似公式(7),唯一不同的是c躍上a時a有初始速度vC,c相對a的速度為v02,假設F1

圖8

在3.2(2)中我們已經求出vC、vB．以c剛躍上a時的a為參考系,根據圖8,c對a的最終速度vD′為

而根據公式(6)可得(t2-t1),將相關各式帶入可以求得c的最終速度為:vD=vD′+vC.

3.3 “子彈打木塊”模型的應用

例1.如圖9所示，電容為C的電容器固定在絕緣木板上,總質量為M,木板置于光滑水平面上．兩個極板豎直放置,極板帶有電荷量Q,極板間距為L,在電容器右極板上有一個小孔,同時左極板對應位置也有一小孔．一個質量為m,帶電量為+q的小球以速度v0從右小孔水平射入電容器中(不考慮小球的重力,電容器周圍電場強度為0),并且從左小孔射出,試確定小球、電容器的最終運動情況．

圖9

小球穿越電容器,應用公式(7)、(8)可得小球速度

電容器速度

例2.矩形大木塊質量M=2 kg,長度L=1 m,靜止放在光滑的水平面上．小木塊(看作質點)質量m=1 kg,開始時置于大木塊左上端,以初速度v0=2 m/s水平向大木塊右端滑去．求: (1) 當二木塊間動摩擦因數μ=0.1時,m、M的最終運動情況; (2) 當二木塊間動摩擦因數μ=0.5時,m、M的最終運動情況．