借助“一題一課”建構數學概念復習課

王聞 李克民

[摘? 要] 文章借助“一題一課”建構數學概念復習課，引領學生理性回歸課本，梳理數學概念;畫圖敘事，運用圖形直觀辨析數學概念;敘事畫圖，在問題中加深對數學概念的理解;融合數學活動，增強數學概念的應用性，提升學生正確運用數學概念分析問題和解決問題的能力.

[關鍵詞] 一題一課;數學概念;深度思維;復習課

“一題一課”是指教師對一道典型題或一項學習材料進行深入研究，挖掘其內在的學習線索與資源，科學有序地組織學生開展學習活動，激發學生深度思維，從而完成一節課的教學任務.

數學概念是學生學習數學的根基，學生只有掌握數學概念的本質，了解數學概念產生和發展的過程方能厘清數學概念之間的關聯，繼而引發學生的深度思維，才能正確運用概念解決問題.

在中考數學復習的過程中，筆者發現許多學生在遇到與“距離”有關的試題時容易出錯，究其原因是學生沒有厘清與“距離”有關的數學概念的本質與關聯. 于是，筆者圍繞與“距離”有關的數學概念展開“一題一課”的概念復習課設計. 借助“一題一課”建構數學概念復習課，引領學生學會剖析數學概念的本質，厘清數學概念的關聯，能夠提升學生正確運用數學概念分析問題和解決問題的能力.

理性回歸課本，梳理數學概念

課本是最好的教材. 學生學會回歸課本，理性地研究數學概念，對相似的概念進行類比分析，厘清知識間的脈絡，可將知識“連點成線，織線成網”.

章建躍老師說，“對同類概念進行對比，可概括共同屬性”. 教師讓學生先到課本上找到“兩點之間的距離”概念、“直線外一點到直線的距離”概念、“平行線間的距離”概念，結合生活實際說明距離的含義、點與點的距離含義、點與線的距離含義、同一平面內兩條平行線之間的距離含義;接著，教師再引領學生聯想與之相關的概念，如線段的垂直平分線的性質（判定）定理、角平分線的性質（判定）定理、三角形的外心內心、圓中的兩條平行弦推論等;最后，教師引領學生畫出與距離有關的“思維導圖”，形成概念群，如圖1.

通過思維導圖讓學生意識到線段垂直平分線的性質（判定）定理實質上指點與點之間的距離，而角平分線的性質（判定）定理是指點與線之間的距離，同一平面內兩條平行線之間的距離指其中一條線上的任一點到另一條線的距離. 這樣，學生能抓住以距離為中心的核心概念之間的關聯，最終將其轉化為點與點之間的距離和點與線之間的距離這兩大類問題.

通過回歸課本，厘清相似數學概念的本質及其關聯，鎖定不同概念之間的內在聯系及不同表象之間的關聯，在頭腦中形成相關概念的網絡，概括其共同屬性，厘清其特性，有助于學生正確解決問題.

畫圖敘事，運用圖形直觀辨析

數學概念

畫圖敘事是指通過繪制圖形來敘述一件事情. 這里的畫圖敘事是指通過畫圖來敘述數學概念、定理，運用數形結合的思想方法辨析數學概念，能讓學生直觀地感受到數學概念. 例如，在復習與“距離”有關的數學概念時，教師引領學生通過畫圖感受點到點的距離是指連接兩點之間線段的長度（如圖2）、點到直線的距離是指點P到直線的垂線段的長度（如圖3）、平行線間的距離是指一條直線上的任意一點P到另一條直線的垂線段的長度（如圖4），從而讓學生理解垂線段的長度含義，能說出線段與垂線段的含義及功能. 接著，學生再通過畫三角形的外接圓與內切圓，感受外心與內心的形成過程，并正確地敘述三角形外心與內心的特征. 然后，學生根據同一平面內兩條平行線的距離解決圓中兩條平行弦之間的距離問題，進而能得出圓中兩條平行弦所夾的弧相等的推論. 這樣，學生通過直觀畫圖和具體操作能親身感受數學概念的形成過程及定理（推論）產生的依據，就會對距離的概念有深刻印象和本質的認識.

例題：已知∠MON等于60°，E，F兩點分別位于∠MON的兩邊上. 試在∠MON的內部尋找一點O，使點O到E，F兩點的距離相等，且到∠MON的兩邊距離相等.

面對此題，學生就要根據題目的敘事畫出圖形進行分析，發現線段EF的垂直平分線和∠MON的角平分線的交點即為點O. 學生在敘事畫圖中切實體驗了“到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，這個距離是點與直線之間的垂線段的長度”，并能正確地解決問題. 畫圖敘事是滲透數形結合思想方法的橋梁，它能更直觀地引領學生深刻地理解數學概念，讓學生進入深度思維狀態.

直觀和具體是理解數學概念的重要方式和手段，教學中我們可以設計生動形象的數學實驗解釋抽象的數學理論，讓學生真正理解數學概念的本質意義，增強概括與抽象能力. 直觀和具體的畫圖敘事方式讓學生有效地認清了數學概念的本質，并能運用數學概念解決問題.

敘事畫圖，在問題中加深對數? ? 學概念的理解

圖形語言是一種直觀模型，簡明扼要. 根據敘事能正確地畫出圖形等于學會了數形結合的思想方法，稱之為敘事畫圖. 在解決數學問題時，學生如果能根據題目的意思（即敘事）正確畫出圖形，解決問題就變得更簡單. 若想真正解決問題還需要學生有扎實的數學基礎知識，尤其是運用數學概念解決問題的能力.

問題1：如圖5，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，求PQ的最小值.

教師先引領學生用自己的語言敘事，通過問題分析和直觀地畫圖發現當PQ為垂線段時才有最小值，從而用角平分線的性質定理求出PQ的最小值是2.

問題2：如圖6，點A在∠MON的OM邊上，點B在∠MON的內部，點D是邊ON的一個動點，當點D在何處時使得點D到點A、點B的距離之和最小？

這道題既加深了兩點之間距離的概念，又鞏固了典型的幾何求最值的方法. 這要求學生運用軸對稱的性質將問題轉化為兩點之間線段最短問題，進一步提升學生運用數學概念解決問題的能力.

問題3：如圖7，點A在∠MON的OM邊上，點B在∠MON的ON邊上，點D是ON邊上的一個動點，點E是OM邊上的一個動點，當動點D，E在何處時使得AD+DE+BE的和最小？

這道題是由上題的一個動點改編成兩個動點，難度又增大很多，要求學生從部分開始先考慮AD+DE的最小值，轉化為兩點之間線段最短問題. 需要先找定點A關于直線ON的對稱點A′，再找A′E+BE的最小值，此時動點E在OM邊上，點A′與點B是在OM同側的兩個定點，再找點B關于OM邊的對稱點B′，即可又轉化為兩點之間線段最短問題. 教師要引領學生學會多個動點問題的處理方法，把陌生問題逐步轉化為熟悉的情境，再加以歸納總結，問題便可迎刃而解.

在畫圖的過程中，教師要引領學生學會思考與分析數學概念，學會在變式訓練中引發深度思維、碰撞靈感、總結思想方法和技能，形成基本的數學活動經驗，學生才能正確地運用數學概念解決實際問題.

融合數學活動，增強數學概念

的應用性

數學概念起源于問題又應用于問題解決. 近年來，與數學活動有關的中考題也越來越多，其中平移、翻折、旋轉等圖形變換是中考的熱點問題之一. 學生要在日常學習中經歷圖形的運動變化，并在變化過程中積累操作經驗，學會運用數學概念解決問題.

問題4：（2017年徐州中考數學第27題）如圖8，將邊長為6的正三角形紙片ABC按圖示順序進行兩次折疊，展平后，得折痕AD，BE，點O為其交點.

（1）探求AO與OD的數量關系，并說明理由;

（2）如圖9，若P，N分別為BE，BC上的動點.

①當PN+PD的長度取得最小值時，求BP的長度;

②如圖10，如果點Q在線段BO上，BQ=1，那么QN+NP+PD的最小值為________.

在當年的中考閱卷中，本題的得分率非常低. 許多學生只能做出第（1）小題，面對兩個動點求最值問題則不知所措，再加上翻折變化，更讓許多學生望而卻步.

本題主要考查在翻折的過程中識別等邊三角形的性質，用直角三角形的有關定理結合求距離的最小值問題訓練學生綜合運用能力，讓學生能在圖形變換過程中運用“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”解決問題.

筆者借助“一題一課”的教學方式復習與距離有關的數學概念群，建構了以距離為核心概念的概念網. 學生通過思維導圖復習相關數學概念，把這些概念歸納為兩大類（點與點的距離和點與線的距離）再進行畫圖，直觀感悟相關概念的本質和關聯;然后通過畫圖敘事和敘事畫圖的方式辨析概念、鞏固概念，再經歷一題多變、拓展提升等變式訓練達到做一題、會一類、通一片的目的，提升學生運用數學概念分析問題和解決問題的能力.

在借助“一題一課”建構數學概念復習教學時，教師要注意兼顧不同學生，重視“長時間思考”與“短時間思考”之間的平衡關系. 在遇到具有挑戰性的綜合題時，教師盡量給學生延長思考時間，有利于學生深入思考問題，把問題真正想深、悟透、學活.