考題追本溯源，由習(xí)題走向中考

李明莉

[摘 要]對考題開展追本溯源有助于理解問題，發(fā)掘結(jié)論.中考幾何探究題往往與教材的習(xí)題、模型、結(jié)論有著一定的關(guān)聯(lián)，深入探究可顯著提升解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.文章以一道中考幾何探究題為例進行考題溯源、解法探究，并開展教學(xué)反思.

[關(guān)鍵詞]習(xí)題;幾何;相似;模型;探究

教材是知識的本源，習(xí)題具有強化知識、引導(dǎo)方法的作用.歷年的中考壓軸題往往“根”源于教材習(xí)題，深入研讀習(xí)題可以獲得典型問題的解題思路.因此考題教學(xué)中，有必要深入探究考題，對考題進行追本溯源.下面以一道2020年中考壓軸題為例進行具體探究.

一、考題呈現(xiàn)

評析：本題為幾何探究題，以“基礎(chǔ)鞏固→嘗試應(yīng)用→拓展提高”的形式引導(dǎo)學(xué)生探究，題目所涉三個小問既相互獨立又存在關(guān)聯(lián).理解“基礎(chǔ)鞏固”環(huán)節(jié)問題的結(jié)構(gòu)和解法思路對于后續(xù)問題的探究極為關(guān)鍵.

二、考題探究

1.問題溯源

第（1）問，設(shè)定[△ABC]的[AB]邊上的一點為D，與C相連后形成三個共邊共角三角形：[△ABC]、[△ADC]、[△BDC].分析圖形結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，問題源自人教版教材九年級下冊第36題的習(xí)題2，其內(nèi)容如下.

雖然考題與習(xí)題的條件存在差異，但本質(zhì)上是一致的，圖像所涉三個三角形是相似關(guān)系，以第（1）問證明為例，過程如下：

實則在該相似模型中，還可以由相似性質(zhì)轉(zhuǎn)化出線段之間的乘積關(guān)系，由于[△ACD?△ABC]，則[ACAD=ABAC]，所以[AC2=AD·AB]，這也是上述考題“基礎(chǔ)鞏固”環(huán)節(jié)結(jié)論證明的思路方法.

2.問題解析

（1）參考問題溯源中習(xí)題的解析思路，要證明三線段之間的乘積關(guān)系，只需要證明[△ABC∽△ACD]，該對相似三角形存在一個顯著特點：含有一個公共角、一條公共邊，圖形結(jié)構(gòu)為初中數(shù)學(xué)常見的共邊共角相似模型.

（2）該問依托平行四邊形構(gòu)建了與（1）問相似的共邊三角形，問題突破還需參考上述模型的解析思路.具體突破時可進行圖形分割，[EF]將[△BCF]分割為[△BFE]和[△ECF]，三者互為共邊共角三角形.求[AD]的長，則可由平行四邊形的性質(zhì)進行等量轉(zhuǎn)化，即[AD=BC]，則后續(xù)只需分析[BE]、[BF]和[BC]三線段關(guān)系即可，顯然可將其轉(zhuǎn)化為分析[△BFE]和[△BCF]的圖形關(guān)系.參考上述問題，可知只需證明兩者相似.

（3）該問以菱形為背景，求菱形的邊長，根據(jù)上述問題突破的思路，顯然需要在圖形中構(gòu)建共邊共角相似模型，然后利用相似性質(zhì)進行比例關(guān)系轉(zhuǎn)化，進而求出線段長.注意到條件[EF∥AC]，則可分別延長[EF]和[DC]，設(shè)兩線交點為G，如圖6所示，則在[△DEF]中存在共邊共角相似模型，具體求解過程如下.

3.問題評析

上述以探究的形式，依托共邊共角相似模型構(gòu)建了幾何綜合題，整體難度適中.第（1）問的基礎(chǔ)鞏固實則就是引導(dǎo)學(xué)生回顧教材中的共邊共角相似模型，這也是整個問題突破的核心關(guān)鍵，掌握三角形相似比例變換是重點.后續(xù)兩問所考查的側(cè)重點略有不同，第（2）問側(cè)重復(fù)雜圖像中的模型提取，而第（3）問側(cè)重模型的綜合構(gòu)建，上述突破過程充分利用菱形、平行四邊形等基本圖形的性質(zhì)，有效實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化.

三、解后思考

1.重視圖像解析，追溯問題原型

中考幾何探究題往往進行階梯遞進設(shè)問，圖像結(jié)構(gòu)由簡單到復(fù)雜，充分理解圖像、掌握圖形特點是關(guān)鍵.因此在讀題階段要重視圖像解析，必要時可進行問題溯源，思考問題在教材中的原型，從而聯(lián)想解題思路，獲得對應(yīng)的解題策略，這也是中考幾何探究題的重要考查方向.如上述幾何探究題實則是對教材共邊共角模型的拓展變式，利用相似模型的結(jié)論可直接獲得關(guān)鍵條件，從而高效破解.在教學(xué)中，教師應(yīng)重視教材經(jīng)典習(xí)題的講解，結(jié)合數(shù)學(xué)模型來引導(dǎo)學(xué)生掌握問題突破策略.

2.重視結(jié)論歸納，關(guān)注模型變化

幾何探究題側(cè)重考查學(xué)生提煉結(jié)論、總結(jié)歸納能力，即基于幾何問題的條件、特征提取結(jié)論，形成問題的解析策略.如上述探究題中提取了共邊共角模型，利用相似比例關(guān)系推導(dǎo)線段長，模型的結(jié)論是后續(xù)破解的基礎(chǔ).因此在探究教學(xué)中，要注重提升學(xué)生的總結(jié)歸納能力，引導(dǎo)學(xué)生掌握總結(jié)問題、歸納結(jié)論的方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.另外，歸納總結(jié)是建立在對模型的深層理解上，故教學(xué)中教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型變化，從模型的一般性中獲得特殊的結(jié)論，逐步提升學(xué)生的綜合能力.

3.重視探究過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

“經(jīng)歷探究過程，總結(jié)問題結(jié)論”是探究型問題的典型特點，即考題以探究形式引導(dǎo)學(xué)生思考，進行結(jié)論總結(jié)，強化應(yīng)用.因此該類問題更為關(guān)注學(xué)生的思維過程，教學(xué)中教師要注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、猜想驗證的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，可結(jié)合具體內(nèi)容開展探究活動，引導(dǎo)學(xué)生操作實踐、獨立思考.以上述幾何探究題的共邊共角模型為例，可首先展示習(xí)題，讓學(xué)生思考問題圖像的特點，然后討論問題解析方法，總結(jié)并驗證結(jié)論，在此基礎(chǔ)上進行拓展探究，可以函數(shù)圖像為背景進一步變式探究，幫助學(xué)生完成知識融合與思維完善.

四、寫在最后

幾何探究題往往注重對教材習(xí)題、模型、結(jié)論的挖掘，開展考題溯源，挖掘問題本源內(nèi)容對于理解問題、總結(jié)方法有一定的幫助.教學(xué)中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材，以教材為基礎(chǔ)開展探究活動，針對性地提升學(xué)生的探究能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 李茂輝.解讀幾何探究，探討解析思考：以一道幾何探究題的思路突破為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（11）：71-73.

[2]? 劉媚.中考幾何探究性問題研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（8）：87-88.

[3]? 徐新.山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村：談一道中考幾何綜合題的命制過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（15）：57-58+74.

（責(zé)任編輯 陳 昕）