連續變量量子密鑰分發系統調制方差全局優化方法研究*

馬 荔, 李 揚, 楊 杰, 黃 偉, 羅鈺杰, 徐兵杰

西南通信研究所 保密通信重點實驗室, 成都610041

1 引言

量子密鑰分發(quantum key distribution, QKD)[1–3]基于量子力學原理, 可實現信息論可證安全的密鑰分發, 是量子信息技術中最接近實用化的研究方向之一. 其主要技術途徑可分為離散變量(discrete variable, DV)[4,5]和連續變量(continuous variable, CV)[6–12]兩大類. 連續變量量子密鑰分發(continuous variable quantum key distribution, CV-QKD) 技術采用光場的正則分量來編碼密鑰信息, 因其與傳統光通信網絡兼容性好且具備高碼率潛能, 極具發展前景. 最常見的CV-QKD 協議是GG02 類協議[13,14], 其量子態制備簡單、易于實現, 是目前廣泛使用的CV-QKD 協議.

典型的CV-QKD 系統包括量子信號傳遞與數據后處理兩個步驟. 提高CV-QKD 系統的性能, 通常從兩方面開展研究. 一方面是優化CV-QKD 系統的光電關鍵技術, 比如, 過噪聲控制[15,16]、后處理糾錯能力優化[17–22]; 另一方面是優化CV-QKD 系統的協議參數[23]. 本文主要從CV-QKD 系統協議參數優化的角度開展研究.

在實際的CV-QKD 系統中, 當信道傳輸距離發生變化時, 需要相應地改變量子信號的調制方差以優化系統性能. 在實際系統中, 信道透射率、過噪聲、電噪聲、探測效率在外界環境變化不大的情況下通常變化不大, 調制方差將顯著影響系統的信噪比, 而后處理中數據協商的實際效果與數據信噪比緊密相關,因此, 調制方差直接影響系統安全碼率的大小. 針對CV-QKD 系統的調制方差最優化問題是CV-QKD系統性能優化的重要問題. 已有的調制方差優化方法通常假定在某個特定傳輸距離下, 數據協商的協調效率和糾錯譯碼的誤幀率為常數[16,24], 然后計算與最大安全碼率相對應的最優調制方差. 然而, 在實際CV-QKD 系統中, 對于確定的數據協商和糾錯譯碼算法, 很難針對不同的調制方差都設計相應的糾錯矩陣來維持數據協商的協調效率β為常數, 糾錯的誤幀率FER 也會隨調制方差VA的變化而變化. 由于協調效率和誤幀率顯著影響系統安全碼率的大小, 因此在進行實際系統最優調制方差計算時, 應當綜合考慮調制方差對誤幀率、糾錯效率等參數的影響.

為解決這一問題, 本文提出一種CV-QKD 系統調制方差全局優化方案, 針對確定的數據協商和糾錯譯碼算法, 給出協調效率和誤幀率與調制方差之間的函數關系. 基于定量分析協調效率和誤幀率隨調制方差的變化關系和制約特性, 給出系統安全碼率與調制方差之間的函數關系, 最終給出使系統安全碼率最大化的最優調制方差參數選取方法, 從而提升實際CV-QKD 系統性能.

2 系統安全碼率與調制方差的函數關系

反向協調下[25], 對于無限碼長情形, CV-QKD 系統在任意聯合攻擊下的安全碼率公式為:

其中, FER 為糾錯譯碼的誤幀率,β為數據協調效率,IAB是發送端Alice 和接收端Bob 之間的經典互信息,χBE是Bob 和竊聽者Eve 之間的量子互信息.

在已有研究中, 通常認為影響CV-QKD 系統安全碼率的主要因素是協調效率, 為實現長距離和高碼率, 要求系統具備高協調效率. 以多維數據協商和MET-LDPC 矩陣譯碼為例, 制約協調效率的主要因素為協商算法選擇、度分布函數性能以及校驗矩陣的生成. 協調效率描述的是后處理能夠提取出來的密鑰比特數與Alice 和Bob 之間的二進制互信息之間的比值, 0≤β≤1,β越接近1, 即越接近香農極限, 則系統安全碼率越高、可達到的最遠傳輸距離越長. FER 會影響安全碼率的大小, 但不會影響安全碼率的有無.因此為了提高系統的實用性, 增強系統的可靠性, 應該同時提升協調效率并盡量降低誤幀率, 以獲得更高的安全碼率.

安全碼率的具體計算可參考文獻[14,26,27], 以GG02 協議為例, 其中IAB可表示為:

基于上述安全碼率計算過程可知,IAB和χBE可表示為系統信道透射率T、過噪聲ε、電噪聲vel、探測效率η和調制方差VA的函數. 當傳輸距離一定時, 對于確定的CV-QKD 系統, 一般可認為其信道透射率T、過噪聲ε、電噪聲vel、探測效率η近似為常數, 可將IAB和χBE表示為調制方差VA的函數, 即IAB=fIAB(VA) 和χBE=fχAB(VA), 則安全碼率公式(1)可以表示為以調制方差VA為唯一變量的函數, 進而可以基于優化VA對安全碼率進行最大化.

對于一個確定的譯碼矩陣, FER 隨調制方差VA的變化關系是實際實驗可觀測的, 可根據糾錯矩陣的隨VA變化的實際糾錯成功率進行數值擬合, 進而得到關系式FER=fFER(VA).

綜上, 安全碼率可表征為VA的函數:

由此可知, 安全碼率可以視為以調制方差VA為唯一變量的函數. 則相應地, 安全碼率的優化問題實際上可以視為以調制方差VA為參數的優化問題.

3 調制方差全局優化方法

根據上述理論推導, 我們提出了一種基于調制方差的安全碼率優化方案, 優化流程如圖1 所示.

圖1 調制方差全局優化流程Figure 1 Global optimization process of modulation variance

第一步, 首先獲取系統參數. 對于確定的CV-QKD 系統, 在特定的傳輸距離下, 信道透射率T、過噪聲ε、電噪聲vel、探測效率η受調制方差VA的影響很小, 可以不失一般性地近似為常數. 上述參數均可通過實際觀測得到[28].

第二步, 分別獲取β-VA和FER-VA的函數關系. 根據第一步中獲取的系統參數, 選擇合適的VA范圍(如: 0～20[24]/0～30[29]), 并計算相應的SNR 范圍. 根據SNR 范圍, 選擇適用于對應SNR 范圍合適的糾錯矩陣H. 糾錯矩陣確定后即可確定矩陣碼率R, 則β-VA的函數關系可基于矩陣碼率R和信噪比SNR 計算得到, 由于協調效率范圍應滿足0≤β≤1, 進一步可縮小對應調制方差VA可選范圍, 計算公式見公式(8); 而FER-VA的函數關系則需要依據實際選用的糾錯矩陣的糾錯譯碼能力進行曲線數值擬合得到, 詳細的擬合步驟在下一小節進行具體介紹.

4 結果與討論

上一節介紹了基于調制方差的安全碼率優化方案的處理步驟, 本節以信道傳輸距離為50 km 的典型條件為例介紹具體的計算分析方法.

第一步, 我們參考文獻[24,26] 設定CV-QKD 系統狀態參數: 電噪聲vel=0.041, 過噪聲ε=0.005,探測效率η=0.606, 信道衰減系數為α=0.2 dB/km, 根據傳輸距離L=50 km 計算T=10?αL/10. 第二步, 對于信道傳輸距離為50 km 的條件下, 我們選擇文獻[30] 中碼率為0.1 的度分布函數生成校驗矩陣用于糾錯譯碼, 對0 ＜VA＜20, 步長0.01 的數據逐一生成256 個塊的數據量(每個塊長為106), 測量得到對應FER, 即可得到的FER-VA曲線的測量和擬合結果如圖2 所示. 從圖2 可以看出, 當0 ＜VA＜2.6 時, FER = 1, 表明糾錯全部失敗; 當VA大于3 時, FER = 0, 表明糾錯全部成功; 而在2.6≤VA≤3時, FER 隨VA 的增加而降低, 如圖2 中實線所示; 相應地, 糾錯成功率1-FER 隨VA的增加而提高, 如圖2 中虛線所示. 因此, FER-VA的曲線關系主要擬合2.6≤VA≤3 的變化部分, 其余部分為常數.

圖2 FER-VA 曲線的測量結果和(1-FER)- VA 曲線對比(50 km 傳輸距離, 碼率0.1)Figure 2 Comparison between measured results of FER-VA curve and (1-FER)- VA curve (L = 50 km, R = 0.1)

常見的擬合函數有正弦擬合、高斯擬合和傅里葉擬合, 綜合考慮到擬合效果和計算復雜度, 我們統一采用7 階擬合函數, 對應的擬合結果如圖3 所示, 其中測量結果為實驗觀測結果, 圖中可看出擬合結果都取得了很好的一致性.

圖3 FER-V A 擬合結果Figure 3 Fitting result of FER-V A

進一步, 我們對比了三者的擬合誤差: 和方差(sum of squares due to error, SSE)、確定系數(coefficient of determination)R-square, 和均方根(root mean squared error, RMSE), 對比結果如表1 所示,從表1 結果可知7 階傅里葉擬合誤差更小, 因此我們采用該擬合函數對FER-VA曲線進行擬合.

表1 正弦擬合、高斯擬合和傅里葉擬合誤差對比Table 1 Error comparison of sinusoidal fitting, Gaussian fitting, and Fourier fitting

最終得到的分段7 階傅里葉擬合函數如公式(10) 所示:

依據公式(8), 將相關系統參數帶入即可以得到協調效率和調制方差之間的數學關系式:

其相應的變化曲線如圖4 所示. 從圖4 可以看出, 調制方差VA和協調效率β之間為負相關, 即當VA在一定范圍內變化時, 協調效率隨調制方差增大而降低, 如圖4 所示.

圖4 β-V A 曲線(50 km 傳輸距離, 碼率0.1)Figure 4 Curve of β-V A (L=50 km, R =0.1)

圖5 VA-KeyRate 曲線, 最優調制方差=2.804 (50 km 傳輸距離, 碼率0.1)Figure 5 Curve of VA-KeyRate, optimal modulation variance=2.804 (L=50 km, R =0.1)

我們對以下三種調制方差的選擇方法進行對比, 對應選擇CV-QKD 系統參數為vel= 0.041,ε=0.005,η= 0.606,α= 0.2 dB/km,T= 0.1, 且選用R= 0.1 碼率的糾錯矩陣進行糾錯: 1) 根據經驗調節適用于R= 0.1 碼率的信噪比范圍, 使得SNR = 0.161/SNR = 0.158, 可對應實現協調效率β=92.85%/β=94.50%, 對應參數可得到調制方差的對應結果; 2) 在協調效率和誤幀率為常數的情況下,如:β= 92.00%, FER = 0 時, 得到最優調制方差; 3) 本文提出的優化方案. 采用相同的數據協調和糾錯譯碼方法, 對比結果如表2 所示, 對于方法一, 不考慮系統參數和數據后處理能力, 根據經驗選擇SNR 和協調效率β, 無法保證安全碼率最大化; 對于方法二, 不考慮調制方差對誤幀率、協調效率的影響, 而不結合實際后處理能力, 導致實際協調效率無法達到目標值, 也無法保證安全碼率最大化; 而采用本文方法, 考慮調制方差對協調效率和誤幀率的影響, 根據最優調制方差可得,K= 0.0177 bits/pulse, 對比方法一和方法二, 本方法安全碼率顯著提升. 綜上表明, 僅通過經驗或固定協調效率和誤幀率的方法來確定調制方差, 無法達到最優系統性能, 本方法通過明確的優化方案實現安全碼率最大化.

進一步地, 針對相同的CV-QKD 系統狀態參數, 即vel= 0.041,ε= 0.005,η= 0.606,α=0.2 dB/km, 我們以文獻[30] 的度分布函數為例, 生成了碼率為0.1、0.05、0.02 的糾錯矩陣, 分別適用于當傳輸距離L約為50 km、80 km、100 km 時系統的糾錯譯碼. 在不同的信道傳輸距離下, 首先可計算得到相應的信道透射率T, 然后基于前文所述方法, 可以獲得相應的安全碼率與隨調制方差的變化曲線, 如圖6 所示.

從圖6 的曲線可以看出, 針對不同傳輸距離以及相應的糾錯矩陣, 都可以依據本文所提出的方案得到系統安全碼率隨調制方差變化的曲線, 并且均可求解得到使系統安全碼率最大化的最優調制方差; 針對同一糾錯矩陣下, 在其適用的傳輸距離范圍內, 最優調制方差的大小隨傳輸距離的增加而增加, 且與之對應的最大安全碼率隨著傳輸距離的增加而減小; 不同傳輸距離對應的最優糾錯矩陣不同, 其最優的調制方差范圍也不同, 需要根據實際情況選擇合適的糾錯矩陣來確定最優調制方差. 其次, 對于確定的傳輸距離,調制方差的調節范圍較大, 可以采用多種不同碼率的糾錯矩陣來實現糾錯譯碼, 基于本文所提出的方案可以從備選的糾錯矩陣中選擇出使系統安全碼率最大化的糾錯矩陣以及與之對應的最優調制方差. 這一優化方案, 將CV-QKD 系統的光電層參數調制和后處理層的糾錯譯碼能力結合, 為系統的參數調節提供了依據. 通過定量分析協調效率和誤幀率各自隨調制方差的變化關系和制約特性, 綜合得到系統安全碼率與調制方差之間的函數關系式, 最終計算得到使系統安全碼率最大化的最優調制方差, 進一步提升實際CV-QKD 系統的性能.

圖6 安全碼率和調制方差關系曲線Figure 6 KeyRate-VA curve

5 結論

本文提出了一種CV-QKD 協議調制方差全局優化方法. 對于確定的數據協商和糾錯譯碼算法, 綜合考慮了調制方差變化時協調效率和誤幀率的變化特性, 量化分析了實際CV-QKD 系統中調制方差對誤幀率、糾錯效率等參數的影響, 以達到安全碼率最大化. 相較于已知常用方法, 本優化方法在典型CV-QKD系統參數下僅通過調制方差參數優化即可將顯著提升安全碼率. 此外, 該方法適用于各類CV-QKD 協議,包括高斯調制、離散調制協議等, 也適用于有限碼長和無限碼長情形, 可擴展性好, 在今后的研究中將結合自適應譯碼或其他譯碼算法開展更加深入的研究.