維數(shù)約化的弱耦合KP-Boussinesq方程的lump解和有理解

劉 袁,汪一航

（寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,浙江 寧波 315211）

非線性演化方程描述了非線性現(xiàn)象,具有廣泛的應(yīng)用.非線性演化方程的精確解在非線性科學(xué)中起著至關(guān)重要的作用[1-2].lump 解是一種特殊的有理解,它在空間的各個方向都是局域的[3-4].基于構(gòu)造平方函數(shù)[5-7]和長波極限的方法[8-10],諸多方程都被發(fā)現(xiàn)存在lump 解.

(3+1)維的廣義KP-Boussinesq 方程[11]為

相當(dāng)于把utt的項添加到廣義KP 方程中,u=u(x,y,z,t)是可微函數(shù).通過變量變換

可得式(1)的Hirota 雙線性形式,即

式中:f=f(x,y,z,t)為實輔助函數(shù);D為Hirota雙線性微分算子.利用極大交換子代數(shù)中取值的Zm-KP 方程族結(jié)構(gòu)[12-13],得到弱耦合KP-Boussinesq方程:

式中,v=v(x,y,z,t)是可微函數(shù).

1 lump 解和有理解

1.1 lump 解

對于z=y的情況,式(4)可簡化為

A和B為對稱矩陣,A和B的元素及c1、c2均為實變量.

將式(9)代入式(7),求解方程得到各參數(shù)的約束方程

為保證解u為lump 解,矩陣A和參數(shù)c1必須滿足以下約束:

(i)矩陣A是一個半正定矩陣;

條件(i)和(ii)保證f是一個恒大于0 的函數(shù).條件(iii)保證f在任意時刻只有一個最小值.

在式(12)中有自由參數(shù)a22、a23、a33和c1.對各參數(shù)取值如下:

圖1 t=0 時lump 解u 的特征

圖2 t=0 時lump 解v 的特征

1.2 有理解

本節(jié)主要研究方程(4)的另一種有理解,它表現(xiàn)出不同于lump 解的性質(zhì).

將式(9)代入式(7)可解得如下約束方程:

上式包含3 個自由參數(shù)b22、b23和b33,令參數(shù)值為

輔助函數(shù)g的解析表達(dá)式為

那么在變量變換(6)下可得vr:

上述vr為方程(5)的有理解,圖3 所示為有理解vr在不同時刻的動力演化.

圖3 有理解 v r在不同t 下的動力演化

分析有理解vr,其表現(xiàn)出不同于lump 解的性質(zhì).首先,vr是奇函數(shù),即滿足vr(x,y,t)+vr(-x,-y,-t)=0.如果能計算出波峰在t﹥ 0時的軌跡,那么可知任何t下的波峰位置.vr的偏導(dǎo)數(shù)反映了解的極值的性質(zhì),通過計算vr,x=0和vr,y=0不能直接解出有理解的極值.為了分析解的波峰和軌跡變化,需要采用數(shù)值方法來研究其性質(zhì).

表1 描述了t取不同值時有理解vr的波峰變化,其中h為峰值高度,|vr,x|和|vr,y|的數(shù)值越小,計算的波峰位置越精確.從圖3 可以看出,隨著時間的增加,波峰高度逐漸減小.當(dāng)t﹤ 0時,波峰高度為正;當(dāng)t﹥ 0時,波峰高度為負(fù).

根據(jù)前面的描述,對表1 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合.

表1 有理解 vr 的波峰位置和高度

對于t﹥ 0,波峰的運動軌跡近似符合下式:

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),在t﹤ 0處波峰的軌跡為

波峰的高度h為

由式(23)可知,隨著時間的增加,波峰的運動過程近似為勻速線性運動.此外,任何單位時間所產(chǎn)生的高度變化值大約為2.為驗證式(21)和式(22)能否準(zhǔn)確表示出波峰的位置和高度,另取不同的t值,可得相應(yīng)的波峰坐標(biāo)和高度,見表2.其中|vr,x|和|vr,y|略有增加,這是因為當(dāng)|t|越大,波峰越尖銳,高度h的誤差略有增加,但這仍是有效計算出波峰高度的一種方法.

表2 有理解 vr 的估計

2 結(jié)語

在本研究中,利用Zm-KP 方程族構(gòu)造了一個新的弱耦合廣義KP-Boussinesq 方程.基于Hirota雙線性方法和符號計算研究了其維數(shù)約化情形的有理解問題.通過假設(shè)半正定的對稱矩陣形式的輔助函數(shù),限制參數(shù)之間的關(guān)系,得到了lump 解和有理解,并討論了lump 解的動力學(xué)性質(zhì).然后發(fā)現(xiàn)了一種不同于lump 解的有理解,并分析了其動力學(xué)性質(zhì).由數(shù)值分析給出了有理解的波高和極值點的運動軌跡,并通過相應(yīng)的圖表來說明其運動規(guī)律.希望本文所描述的新結(jié)果能夠?qū)ζ渌蔷€性模型的應(yīng)用有所幫助.