談初中數(shù)學(xué)作業(yè)講評(píng)課中的三大抓手

李潔瓊

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)作業(yè)是數(shù)學(xué)課堂的延伸與補(bǔ)充，是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固與檢驗(yàn)，是教師對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)程度的衡量與了解。作業(yè)講評(píng)課很容易上成是教師的“滿堂灌”，學(xué)生對(duì)于知識(shí)仍舊一知半解。一節(jié)好的作業(yè)講評(píng)課，離不開(kāi)師生的互動(dòng)配合。有效的課堂提問(wèn)可以凝聚學(xué)生的注意力，活躍課堂氣氛;加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，達(dá)到舉一反三的效果。

【關(guān)鍵詞】作業(yè)講評(píng) 幾何題 提問(wèn)

習(xí)題是對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的反饋，是檢測(cè)學(xué)生是否掌握知識(shí)的重要憑證。在作業(yè)講評(píng)過(guò)程中，教師可以根據(jù)習(xí)題的難易程度，選擇不同的提問(wèn)方式，幫助學(xué)生解決問(wèn)題，本文將從以下三種提問(wèn)方式展開(kāi)探究。

一、開(kāi)門見(jiàn)山式提問(wèn)

簡(jiǎn)單題考查的知識(shí)點(diǎn)單一，學(xué)生審題后可直接根據(jù)所學(xué)定理和結(jié)論來(lái)解答。像這類相對(duì)簡(jiǎn)單的題目，教師可直接問(wèn)學(xué)生“是什么”，由學(xué)生來(lái)講解。例如，已知：點(diǎn)P在∠BAC的平分線AD上，垂足為M，PM=3 cm，則點(diǎn)P到AC的距離是 ? cm。

對(duì)于普通學(xué)生而言，沒(méi)有圖形的幾何題讓他們摸不著頭腦，這時(shí)就需要學(xué)生抓住關(guān)鍵詞“角的平分線”。教師在講評(píng)作業(yè)時(shí)，可直接提問(wèn)學(xué)生：“角平分線的性質(zhì)是什么？點(diǎn)到直線的距離如何表示？”，讓學(xué)生根據(jù)問(wèn)題理解、分析題意，解決問(wèn)題。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，PM可看作是點(diǎn)P到AB的距離，那么根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得：P到AB的距離等于P到AC的距離，因而得出P到AC的距離是3 cm。

在作業(yè)講評(píng)課中直問(wèn)學(xué)生數(shù)學(xué)定理或公式，幫助學(xué)生回憶并鞏固所學(xué)知識(shí);同時(shí)開(kāi)門見(jiàn)山式的提問(wèn)，簡(jiǎn)潔明了，指向明確，便于學(xué)生集中注意力，抓住重點(diǎn)。對(duì)于直問(wèn)“是什么”類的敘述性問(wèn)題，問(wèn)題簡(jiǎn)單，答案確定，學(xué)生也敢于回答，這類提問(wèn)有利于增強(qiáng)學(xué)生的自信心。在師生間的問(wèn)答中，增加了師生交流，實(shí)現(xiàn)了師生的互動(dòng)，有利于提高課堂教學(xué)實(shí)效。

二、層層遞進(jìn)式引問(wèn)

難度中等及以上的習(xí)題，尤其是幾何題，圖中出現(xiàn)較多的線和角，學(xué)生易產(chǎn)生混亂，難以找到正確的解題方向。在作業(yè)講評(píng)時(shí)，可以將題目條件進(jìn)行拆分，化整為零，通過(guò)由易到難的階梯式提問(wèn)，層層遞進(jìn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡(jiǎn)，突破難點(diǎn)，找到正確、便捷的解題思路。

例如：如圖1，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求證：BE=CF。

本題綜合考查了角平分線、垂直平分線的性質(zhì)及三角形全等的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于證明時(shí)需添加輔助線。在分析過(guò)程中，可引導(dǎo)學(xué)生將條件分解，梳理解題思路。

提問(wèn)1：已知條件涉及了哪些較特殊的線？

答：角平分線和垂直平分線。

提問(wèn)2：哪一條是角平分線？有什么結(jié)論？

答：AD平分∠BAC，又DE⊥AB、DF⊥AC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，易得DE=DF。

提問(wèn)3：垂直平分線呢？有什么性質(zhì)？

答： DG垂直平分BC，所以點(diǎn)D到線段BC的兩個(gè)的端點(diǎn)的距離相等。

（根據(jù)學(xué)生的應(yīng)答，引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，連接CD、BD，如圖2。）

提問(wèn)4：你學(xué)過(guò)哪些方法可以證明兩條邊相等？

答：可通過(guò)所在的兩個(gè)三角形全等得到對(duì)應(yīng)邊相等、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等、垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。

提問(wèn)5：觀察圖中BE和CF的位置，用什么方法來(lái)證明它們相等？

答：兩個(gè)三角形全等，只需證明△CDF≌△BDE，即可得對(duì)應(yīng)邊BE=CF。

授人以魚不如授人以漁，教會(huì)學(xué)生將一個(gè)中等難度的綜合題抽絲剝繭，最終解決問(wèn)題，是作為一名初中教師必須具備的素養(yǎng)。像這一類循序漸進(jìn)地引問(wèn)，在學(xué)生解答時(shí)進(jìn)行提示，減小問(wèn)題的難度，不僅有利于學(xué)生從單純的知識(shí)理解上升到將這些知識(shí)靈活運(yùn)用，還有助于提高學(xué)生的問(wèn)題分析與問(wèn)題解決的能力。

再如，如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BD、CE，CE與BD交于點(diǎn)F，且CE∥AB，若∠A=60°，AB=4，CE=3，求BC的長(zhǎng)。

本題考查的是垂直平分線、等邊三角形的判定與特征，以及勾股定理的運(yùn)用。它存在一定的難度，通過(guò)層層遞進(jìn)的引導(dǎo)式提問(wèn)，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

提問(wèn)1：條件AB=AD，BC=DC，你能得到什么結(jié)論？

答：點(diǎn)A與點(diǎn)C到B、D兩點(diǎn)的距離相等，得AC是BD的垂直平分線。故可作輔助線，連接AC，則AC⊥BD，如圖4。

提問(wèn)2：由AB=AD，∠A=60°，又得到什么結(jié)論呢？

答：△ABD是等邊三角形，得AB=AD=BD=4;又AC⊥BD，由三線合一可得BG=DG=2，∠BAC=∠DAC=30°。

提問(wèn)3：條件CE∥AB，這兩條線平行，又能得出什么呢？

答：由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠BAC=∠ACE=30°，通過(guò)等量代換得到∠DAC=∠ACE=30°;又由等角對(duì)等邊，可得AE=CE=3，所以DE=1。同時(shí)兩直線平行，同位角相等，所以∠BAD=∠CED=60°，得△EFD是等邊三角形，DF=DE=1，所以GF=DG-DF=1。

提問(wèn)4：現(xiàn)已有AC⊥BD、BG=2這兩個(gè)結(jié)果，該怎么求BC呢？

答：在Rt△BGC中，通過(guò)勾股定理可求斜邊BC的長(zhǎng)。

提問(wèn)5：但是要求斜邊，必須先求出另一直角邊CG的長(zhǎng)度，CG放在哪個(gè)直角三角形中來(lái)求呢？

答：在Rt△CFG中，∠ACE=30°、GF=1，因?yàn)?0°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得CF=2，由勾股定理可得CG=3。最后，在Rt△BGC中，BC=BG2+ CG2=22+（3）2=7。

綜合題與簡(jiǎn)單題的區(qū)別在于無(wú)法一眼就能說(shuō)出答案，它是環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)的，需要發(fā)揮學(xué)生的邏輯思維能力，按部就班，逐步解決問(wèn)題。層層遞進(jìn)式的提問(wèn)，充分考慮了學(xué)生的接受程度，通過(guò)提問(wèn)為學(xué)生架設(shè)了解決問(wèn)題的橋梁，降低了難度梯度，解決問(wèn)題的同時(shí)提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)了他們的探究意識(shí)，為學(xué)生以后的自主學(xué)習(xí)與探究打下基礎(chǔ)。層層遞進(jìn)式的提問(wèn)，是為了給學(xué)生指引思考方向，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。

三、豁然開(kāi)朗式激問(wèn)

在習(xí)題解答時(shí)，學(xué)生易受到思維定勢(shì)的影響，雖能解決問(wèn)題，卻少了打破砂鍋問(wèn)到底的探究精神，這時(shí)就可以通過(guò)激問(wèn)來(lái)激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行更深層次的思考。例如：“思考一下還有其他解決問(wèn)題的方法嗎？”，這既充分肯定了學(xué)生的解題思路與過(guò)程，還鼓勵(lì)學(xué)生跳出固有的思維模式。有時(shí)，換個(gè)方向考慮，也許會(huì)有預(yù)料不到的驚喜。

例如：如圖5，在△ABC中，AB=AC，M、N在BC上，且AM=AN，試說(shuō)明BM=CN。

學(xué)生的解答：（1）∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角），有AB=AC、AM=AN、∠B=∠C兩邊一角對(duì)應(yīng)相等，學(xué)生很輕易地聯(lián)想到證明△ABM≌△ACN，就可以得出BM=CN的結(jié)論。

提問(wèn)1：這三個(gè)條件能否證明兩個(gè)三角形全等？通過(guò)提問(wèn)設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生回顧兩個(gè)三角形全等的條件有哪些。

答：三角形全等的條件有：SAS（兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等）、ASA（兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等）、AAS（兩角及其對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等）、HL（直角邊斜邊對(duì)應(yīng)相等）、SSS（三邊對(duì)應(yīng)相等）;兩邊一角證明全等時(shí)這個(gè)角必須是兩條邊的夾角。讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，達(dá)到化錯(cuò)為對(duì)的目的;然后追問(wèn)，那該如何證明全等呢？

提問(wèn)2：那么換成是什么條件來(lái)證明△ABM≌△ACN？

答：兩角一邊對(duì)應(yīng)相等。

提問(wèn)3：已經(jīng)有∠B=∠C這一對(duì)角相等，還需要哪兩個(gè)角相等呢？

答：∠BAM=∠CAN或∠AMB=∠ANC，就能根據(jù)AAS證明兩個(gè)三角形全等。而無(wú)論哪一組角相等，都需要借助條件AM=AN來(lái)得到∠AMC=∠ANB。

提問(wèn)4：你們還有其他解答方法嗎？能不能不通過(guò)證明三角形全等就得到所需的結(jié)論呢？

在問(wèn)題得到解決后繼續(xù)追問(wèn)，吸引學(xué)生的注意力，引發(fā)他們的好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生大腦的運(yùn)轉(zhuǎn)，讓他們不斷地思考。這樣的提問(wèn)有利于學(xué)生保持興奮度，在作業(yè)講評(píng)課中，需要學(xué)生全身心地投入，積極思考。在作業(yè)講評(píng)課中，教師根據(jù)學(xué)生的應(yīng)對(duì)及時(shí)給出提示，在關(guān)鍵處不斷發(fā)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生換一個(gè)思路，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，并且收獲成功的喜悅。

提問(wèn)5：條件AB=AC也就是說(shuō)明這是一個(gè)等腰三角形，那么等腰三角形有什么性質(zhì)或特征嗎？可以用等腰三角形的性質(zhì)來(lái)證明BM=CN嗎？

教師不斷強(qiáng)調(diào)等腰三角形，暗示學(xué)生聯(lián)想到等腰三角形的三線合一，所以添加輔助線AD：如圖6，作AD⊥BC，垂足為D。在等腰△ABC和等腰△AMN中，由三線合一可知，AD是BC和MN上的高，所以BD=CD、MD=ND，所以BM=CN。

問(wèn)題解決：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD（三線合一）

∵AM=AN，AD⊥BC，

∴MD=ND（三線合一）

∴BD-MD=CD-ND即BM=CN。

這個(gè)過(guò)程相較而言更加簡(jiǎn)潔明了，但是學(xué)生往往想不到，通過(guò)師生間的問(wèn)答，逐步引導(dǎo)，可以讓學(xué)生有一種豁然開(kāi)朗，柳暗花明又一村的感覺(jué)，讓學(xué)生頓覺(jué)原來(lái)還可以這樣做。不僅充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，突破了學(xué)生的思維定勢(shì)，還有利于發(fā)展他們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)作業(yè)講評(píng)課是新授課的延伸與補(bǔ)充，不僅是糾正作業(yè)中的問(wèn)題，更是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由了解知識(shí)向運(yùn)用知識(shí)轉(zhuǎn)化的重要過(guò)程。通過(guò)師生間的提問(wèn)與回答，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。不同難度的習(xí)題，可以采用不同的提問(wèn)方式，讓作業(yè)講評(píng)課變得富有生機(jī)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力不斷得到提升，達(dá)到“問(wèn)”故知新的效果。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：蘇州市吳江區(qū)北厙中學(xué)）