基于貝葉斯更新和檢測數據的服役混凝土橋梁剩余壽命預測分析

王偉芳

(廣西交科集團有限公司，廣西 南寧 530007)

0 引言

混凝土橋梁服役過程中，在環境條件、車輛荷載以及材料退化等多重作用下，其結構抗力不斷退化。對于沿海地區橋梁以及除冰鹽路段橋梁而言，氯離子侵蝕不可避免。隨著鋼筋表面氯離子的積累，鋼筋腐蝕過程隨之發展，不僅導致混凝土銹脹開裂，引發結構損傷，而且大大降低了橋梁的承載能力，嚴重時引發脆性破壞[1-2]。公路橋梁也受到重型運輸車輛的沖擊，這是影響橋梁結構可靠性的另一個主要因素。這些重載逐漸破壞結構并加劇混凝土開裂，使氯化物更快地腐蝕鋼筋。在普通的結構設計中，當施加在結構上的載荷超過其承載力時，會導致結構失效。隨著結構的老化，失效概率也隨之增加。

實際工程中橋梁的退化過程可以表示為單調遞減過程，因為如果不進行人工干預開展維修工作，腐蝕過程和混凝土裂縫寬度的增長是不可逆的。Wang和Xu[3]以逆高斯過程(Inverse Gaussian Process，IGP)為基礎，提出結構性能退化模型，建立了在役結構的時變可靠度的分析框架。張建仁[4]基于結構性能退化機理模型，考慮影響結構性能退化各種因素的不確定性，建立了結構抗力的隨機過程模型。

最近，隨著智能檢測技術的發展，利用已有的檢測數據得到橋梁運營實時狀態并對未來進行精準預測已成為橋梁安全評估的重要手段。此時，貝葉斯更新方法進入了人們的視野，與最大似然估計方法不同，貝葉斯更新不需要大量的樣本估計參數，這是涉及檢測數據的理想方法[5-7]。貝葉斯方法首先根據過去經驗和歷史數據確定先驗分布，當新檢測數據可用時，采用新數據更新初始分布，有效減小初始分布的不確定性。

本文以Gamma過程建模鋼筋混凝土橋梁結構的退化，超過閾值的周期性車輛荷載根據泊松過程隨機產生，利用廣義Pareto分布控制超過特定臨界值的荷載，并采用貝葉斯參數更新方法結合檢測數據更新Gamma過程參數分布，以一座混凝土實橋為例得到參數更新后的剩余服役壽命。

1 混凝土橋梁退化隨機過程

由于混凝土結構的劣化涉及諸多因素且過程十分復雜，為簡化模型，做出以下假設：

(1)RC橋梁退化過程可被觀測，且通過主梁抗彎承載力的降低率進行衡量。

(2)不考慮自然災害(如地震)的影響。

(3)將荷載視為系列脈沖，忽略其持續時間。

假定以t個時間單位表示抗力退化的隨機變量X(t)具有Gamma分布，其概率密度函數為：

(1)

其中：α(t)——形狀參數，是時間的函數；

β——比例參數。

Gamma過程具有以下特征：

(1)X(0)=0的概率為1。

(2)當t1≥0，且t2>t1，增量X(t2)-X(t1)遵循分布g(α(t2)-α(t1)，β)。

(3)X(t)的增量相互獨立。

由于混凝土結構抗力的降低主要是由鋼筋的腐蝕引起的，根據文獻[8]，線性函數α(t)=αt可用于描述鋼筋腐蝕而引起的混凝土結構的退化。因此，結構退化的均值和方差也為線性：

(2)

2 外荷載隨機過程

定義車輛荷載時，不僅需要定義車輛荷載到達時間的分布，還需要定義荷載大小的分布。本文采用泊松過程對車輛荷載的出現進行建模：

(3)

在此，t≥0，其中λ為荷載出現的強度；n為時間間隔(0，t]中經過橋梁的荷載總數目。

根據實際交通量調查結果，不同等級或不同類型道路的荷載分布均不相同。由于重型卡車和小汽車的軸載分別分布在某個特定位置，該分布通常具有兩個峰值，因此使用幾個分布的疊加來表示軸荷分布更為準確。但為簡化問題，假設只有高于某個值的載荷才能影響主梁，對于公路橋梁而言，該確定值是指主梁的自重和荷載的疊加值。因此，該荷載的值可以表示為最小載荷l0值加上超出部分。假定超出部分Y具有廣義Pareto分布，梁中相應的最大彎矩也具有廣義的Pareto分布。廣義Pareto分布的概率密度函數和累積分布函數由式(4)、式(5)給出：

(4)

(5)

式中：a——比例參數；

c——形狀參數。

3 結構退化與荷載組合

對于橋梁結構而言，若r0表示主梁的初始抗彎承載力，自橋梁服役以來的t時間段內該主梁承受n次重荷載，該時間段內主梁未失效概率即為每次車輛荷載作用于主梁但未失效概率，由此可知所用重載均低于剩余抗彎承載力概率。根據文獻[8]的推導，在時間間隔(0，t]中，每個荷載的條件出現具有均勻分布性，概率密度為1/t。因此，主梁未失效概率表示為：

(6)

由于n個荷載獨立同分布，因此可以通過總概率定律來獲得主梁在服役壽命t時的生存函數S(t)[5]：

S(t)=P(nofailurein(0，t])

(7)

4 貝葉斯更新與剩余壽命

根據貝葉斯定理，如果假設先驗分布，則條件獨立于給定的檢測數據集x[9]。橋梁服役壽命為結構自身退化與交通荷載的組合，可從年度交通調查報告中查得荷載數據，因此唯一需要更新的部分為橋梁退化過程，即Gamma過程。因此，如果將參數(α和β)的先驗分布表示為π(α，β)，則后驗分布π(α，β|x)為：

(8)

在此，l(x|α，β)是給定α和β的檢測數據的似然函數。由于分母是常數值，因此后驗分布π(α，β|x)與似然函數和先驗密度成正比。

本文中，先驗聯合分布π(α，β)遵循具有獨立α和β的二元正態分布。實際上，由于測量誤差始終已知且可控，因此α和β的方差可以視為恒定值，從而可得：

(9)

對于每次檢測而言，如果只能通過推斷獲得一對參數(表示為αi，βi)，則后驗聯合概率密度與先驗聯合概率密度共軛，并且更新的參數α*和β*是先驗值和檢測值的平均值：

(10)

因此，如果在時刻T進行橋梁檢測，則將使用觀測到的抗力r1和具有更新參數的新Gamma過程X*(t)計算安全服役概率分布S*(t)：

1-F*(t) (t>0)

(11)

以F*(t)的導數形式獲得橋梁安全服役密度：

(12)

此外，主梁的總壽命為時間T與檢測后的平均剩余壽命之和：

(13)

5 應用實例

為進一步闡述該方法，本研究以一座T形截面混凝土公路橋梁為例，主梁計算跨度為12m。主梁橫截面如圖1所示，材料特性如表1所示。當交通荷載作用在主梁時，主梁同時承受彎剪作用，最大彎矩作用于主梁跨中位置。若僅以梁的抗彎承載力為研究對象，則當車輛荷載引起的彎矩大于該時刻主梁的剩余抗彎承載力時，主梁失效。

橋梁初始運營時每片主梁抗彎承載力(Mcp)為4 713.25kN·m[10]，鋼筋混凝土密度約為2 500kg/m3。除自重產生的彎矩485.1kN·m外，每片主梁的抗彎能力為4 228.15kN·m。若總重量≤17.5t(即<514.5kN·m)卡車產生的彎矩忽略不計，則根據從交通量調查獲得的軸載譜，由交通荷載產生的超過514.5kN·m的部分通過廣義Pareto分布進行擬合，其中a=0.5且c=0.02，由交通荷載引起的彎矩超過514.5kN·m的次數約為4 000次/每年。

圖1 某公路橋梁橫截面示意圖(mm)

表1 混凝土主梁材料參數值表

基于同條件下類似橋梁經驗數據，彎矩退化率平均值為9.78kN·m/年，相應的方差為6.5。因此，Gamma過程分布的參數為α=14.715和β=1.505。表2列出了Gamma過程分布參數的先驗聯合正態分布，基于式(7)，利用蒙特卡羅方法得到服役壽命的先驗概率密度函數。

橋梁服役運行10年后，通過檢測主梁的鋼筋直徑，得到抗彎承載力為4 550kN·m，抗彎承載力退化率為16.84kN·m/年，相應的方差為8.8。因此，相應的α和β值分別等于32.226和1.914。此外，新的交通調查顯示，因交通荷載產生的彎矩超過514.5kN·m的次數約為5 000次/每年?；谪惾~斯更新，得到后驗概率分布(見表2)。另外，通過蒙特卡洛方法計算得到相應的服役壽命后驗分布。

表2 先驗與后驗參數比較表

如下頁圖2所示給出了第10年檢測后主梁的剩余服役壽命的先驗和后驗累積分布函數與概率密度函數的比較。結果發現，該橋梁退化速度明顯快于初始預期，這可能是由于十年來交通量增長和重載車輛增加所致，在現有服役的公路橋梁中，該現象非常普遍。因此，在橋梁的實際運行中，一旦出現這種情況，應及時修訂維護計劃，以確保在更新后的退化速率下橋梁正常運營。

另外，通過利用橋梁檢測數據對Gamma過程的參數進行更新，可以大大減小主梁剩余服役壽命的標準差，從而減小其不確定性，提高預測精度，這進一步體現了收集檢測數據進行貝葉斯更新的重要性。

(a)累計分布函數(CDF)

(b)概率密度函數(PDF)

6 結語

本文將車輛載荷與混凝土的退化過程相結合，通過貝葉斯更新方法得到了服役橋梁的剩余壽命。針對直接更新壽命分布十分困難的問題，將混凝土退化過程建模為Gamma過程，將車輛荷載建模為泊松過程，并采用廣義Pareto分布控制隨機荷載的變異性，進一步提出抗力-荷載效應雙隨機過程的服役橋梁剩余壽命評估方法?；跇蛄簷z測信息，利用貝葉斯方法更新Gamma過程的參數，采用蒙特卡羅方法計算橋梁剩余服役壽命的累積分布函數和概率密度函數。本研究可有效利用檢測數據為橋梁安全維護提供理論依據。