兩硬幣量子游走模型中的相干動(dòng)力學(xué)

李 萌 尚 云

1(中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 北京 100190) 2(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100049) 3(中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院國(guó)家數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)中心 北京 100190) 4(中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院管理決策與信息系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

量子游走是經(jīng)典隨機(jī)游走在量子世界的對(duì)應(yīng)物，它描述了微觀世界中粒子的隨機(jī)演化過(guò)程.經(jīng)典隨機(jī)游走本身應(yīng)用十分廣泛，比如k-SAT問(wèn)題[1]、圖像分割問(wèn)題[2]、圖匹配算法[3-4]等.量子游走也有廣泛的用途：實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算[5-8]；完成量子通訊協(xié)議[9-11]；制備糾纏量子態(tài)[12]等.另外，由于量子糾纏、量子干涉和量子非定域性，量子游走可以更快地搜索目標(biāo)標(biāo)記點(diǎn)，因此量子游走可以用來(lái)設(shè)計(jì)量子算法，像搜索標(biāo)記點(diǎn)問(wèn)題[13-16]、元素區(qū)分問(wèn)題[17]、搜索三角形問(wèn)題[18]等.當(dāng)前基于量子游走的量子模擬或展示各種量子游走模型自身性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)在許多不同的物理系統(tǒng)上進(jìn)行了實(shí)施，比如光子[19]、離子阱[20]、超導(dǎo)處理器[21]等.量子游走包含離散時(shí)間量子游走[22]和連續(xù)時(shí)間量子游走[23]，這里我們主要研究離散時(shí)間量子游走.

量子游走可以定義在任意給定的圖上，其中一維圓是一種最為基礎(chǔ)且常見(jiàn)的圖，它可以作為實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)基本模塊.對(duì)于圓上的量子游走，許多學(xué)者也已經(jīng)進(jìn)行了廣泛研究[24-26].

量子相干起源于量子疊加原理，它不僅可以描述量子信息處理的狀態(tài)演變過(guò)程，而且可以反映和解釋量子力學(xué)中的許多關(guān)鍵核心問(wèn)題.因此，量子相干被應(yīng)用到量子計(jì)算和量子信息的許多方面，比如量子搜索算法[27]、量子密鑰分發(fā)[28]、量子計(jì)量學(xué)[29]等.量子相干的量化方式[30]有很多種，像基于相對(duì)熵的、基于skew信息的以及l(fā)1范數(shù)相干等.由于量子態(tài)的l1范數(shù)相干[31]形式簡(jiǎn)單、便于計(jì)算，我們這里將采用l1范數(shù)相干.

由于兩硬幣量子游走模型近年來(lái)在量子通訊協(xié)議中的突出表現(xiàn)[9-12]，本文主要討論了在一維圓上兩硬幣量子游走過(guò)程中量子相干的動(dòng)力學(xué)行為，并基于此考慮了其在完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移等量子通訊協(xié)議中的演變規(guī)律.

1 預(yù)備知識(shí)

量子游走是經(jīng)典隨機(jī)游走在量子世界的對(duì)應(yīng)物.由于硬幣已經(jīng)變成了系統(tǒng)的內(nèi)部自由度，游走者依據(jù)硬幣狀態(tài)來(lái)決定在給定的圖上如何行走，而硬幣的狀態(tài)是由硬幣算子來(lái)調(diào)節(jié)控制的.因此，整個(gè)演化是發(fā)生在位置空間和硬幣空間的復(fù)合希爾伯特空間上.我們將含有N個(gè)點(diǎn)的一維圓記作N-circle.下面，我們將主要討論在N-circle上的量子游走.

1.1 在圓上的兩硬幣量子游走模型

多硬幣量子游走是由Brun等人于2003年首次提出[32].我們這里主要考慮兩硬幣量子游走模型.對(duì)于兩硬幣游走模型，粒子是按順時(shí)針行走還是逆時(shí)針行走,是通過(guò)交替地使用2枚硬幣算子來(lái)決定的.也就是說(shuō)，在奇數(shù)步，它由第1個(gè)硬幣操作C1決定;在偶數(shù)步，它由第2個(gè)硬幣操作C2決定.因此，N-circle上的兩硬幣量子游走在奇數(shù)步(翻轉(zhuǎn)第1枚硬幣的結(jié)果)的酉變換可以寫(xiě)成:

在偶數(shù)步(翻轉(zhuǎn)第2枚硬幣的結(jié)果)的酉變換可以寫(xiě)成:

其中,I2是2×2的單位矩陣，IN是N×N的單位矩陣.

如果我們總共走t步，那么相應(yīng)的酉算子可以表示為(k=1,2,…):

經(jīng)過(guò)t步量子游走之后，游走者的量子態(tài)可以寫(xiě)為

其中振幅fx,c1,c2(t)滿足：

1.2 在圓上的兩糾纏硬幣量子游走模型

對(duì)于單硬幣量子游走最直接的一種推廣就是對(duì)硬幣空間進(jìn)行高維推廣，另外可以結(jié)合量子糾纏這一典型的量子資源來(lái)擴(kuò)展量子游走的演化并發(fā)掘它的非經(jīng)典性.兩糾纏硬幣量子游走模型于2005年首次被提出[33],并在后來(lái)得到在數(shù)值[34-35]和理論[36-37]等方面的更深入研究.

區(qū)別于1.1節(jié)所介紹的兩硬幣量子游走模型，該模型中的2枚硬幣在每一步游走時(shí)均會(huì)作用而非輪流交替作用，另外游走者每一步游走均有3種類(lèi)型的移動(dòng)，向前、向后和保持不動(dòng).具體地，在N-circle上的一步兩糾纏硬幣量子游走的酉變換可以寫(xiě)成:

1.3 量子游走的l1范數(shù)相干

量子相干可以衡量量子態(tài)具有的量子關(guān)聯(lián)，并可以刻畫(huà)其更具一般意義的性質(zhì)，甚至反過(guò)來(lái)也能夠啟發(fā)更豐富的物理意義.量子相干的度量有很多種，鑒于l1范數(shù)相干形式的簡(jiǎn)便性，我們主要考慮在量子游走中的l1范數(shù)相干.

對(duì)于給定的密度算子ρ，它的l1范數(shù)相干[31]定義為

從而，對(duì)于經(jīng)過(guò)t步量子游走之后的量子態(tài)|ψ(t)〉，它相應(yīng)的密度矩陣ρt，即|ψ(t)〉〈ψ(t)|為

根據(jù)l1范數(shù)相干的定義，我們可以直接知道:經(jīng)過(guò)t步量子游走之后的量子態(tài)|ψ(t)〉在整個(gè)空間的量子相干和在位置子空間的量子相干分別為

下面我們將主要依據(jù)這2個(gè)公式對(duì)兩硬幣量子游走和其實(shí)現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移這一過(guò)程進(jìn)行量子相干的相關(guān)分析.

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們將給出主要結(jié)果，即初始量子態(tài)和不同的硬幣算子的選擇對(duì)在一維圓上兩硬幣量子游走過(guò)程中量子相干的影響，并基于此來(lái)考慮它在完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移這一量子通訊協(xié)議中的演變規(guī)律.

2.1 硬幣算子為Hadamard算子的相干性定理

對(duì)于在N-circle上的兩硬幣量子游走，我們選取2個(gè)硬幣算子均為無(wú)偏的Hadamard算子H，即C1=H且C2=H.我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于初態(tài)，只要位置空間的量子態(tài)是均衡疊加態(tài)(硬幣狀態(tài)可以是任意的)，整個(gè)量子相干演化就極其有規(guī)律，具體如下：

2)經(jīng)過(guò)t步量子游走之后的量子態(tài)|φ(t)〉在整個(gè)空間的量子相干為(k=0,1,…):

(1)

3)經(jīng)過(guò)t步量子游走之后的量子態(tài)|φ(t)〉在位置子空間的量子相干為N-1.

證明.根據(jù)兩硬幣量子游走模型知，對(duì)于量子初態(tài)

經(jīng)過(guò)4步量子游走該量子態(tài)會(huì)依次演化為

由以上具體的演化過(guò)程，我們可以直接發(fā)現(xiàn)量子游走是具有周期性的且周期是4.

根據(jù)量子相干的定義，通過(guò)計(jì)算可知量子游走之后的量子態(tài)在整個(gè)空間的量子相干依次為

結(jié)合周期性可知，該定理的結(jié)論(2)成立.

量子游走之后的量子態(tài)在位置空間的量子相干為

結(jié)合周期性可知，經(jīng)過(guò)t步量子游走之后的量子態(tài)|φ(t)〉在位置子空間的量子相干為N-1.

證畢.

注1.定理1中初態(tài)的選擇只要求位置子空間上是均衡疊加態(tài)，而對(duì)兩硬幣態(tài)并沒(méi)有任何限制，可以是可分態(tài)也可以是糾纏態(tài).即兩硬幣量子態(tài)的選取對(duì)于量子游走演化的周期和概率分布并沒(méi)有影響.其中，由于均衡疊加狀態(tài)本身體現(xiàn)的無(wú)偏性，在量子游走搜索問(wèn)題中它經(jīng)常被選為量子游走的初態(tài).特別地，當(dāng)量子游走的初態(tài)為全空間的均衡疊加態(tài)，即

其中k=0,1,…,在位置子空間的量子相干為N-1.

注2.事實(shí)上，關(guān)于在一維N-circle上單硬幣量子游走的量子相干演化[38]，若硬幣算子選為Hadamard算子且初態(tài)為均衡疊加量子態(tài)時(shí)，整個(gè)演化過(guò)程也是具有周期性的且周期為2，位置空間的量子相干一直恒為N-1.結(jié)合注1的分析，我們可知對(duì)于在圓上的量子游走，只要使用Hadamard算子為硬幣算子且選取全空間的均衡疊加態(tài)為初態(tài)，那么整個(gè)演化過(guò)程就會(huì)具有周期性，這并不依賴(lài)于硬幣的個(gè)數(shù)；但是周期會(huì)依賴(lài)于硬幣個(gè)數(shù)，即在一維圓上的k硬幣量子游走的周期為2k.

2.2 含參coin的量子相干性

在2.1節(jié)，我們討論了當(dāng)2個(gè)硬幣算子均為固定的Hadamard陣時(shí)，兩硬幣子空間的初態(tài)的任意選擇在演化過(guò)程中對(duì)量子相干的影響.這里，我們假定量子初態(tài)為均衡疊加態(tài)

可以發(fā)現(xiàn)該演化過(guò)程是十分有規(guī)律的.我們記：

其中

且

T為轉(zhuǎn)置符號(hào)，另記

|e1〉=(a,c)T，|e2〉=(b,d)T，|g〉=(1,1)T，
|f1〉=(m,s)T，|f2〉=(n,t)T，

并規(guī)定(a,c)T°(b,d)T=ab+cd，不難通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法得知(k=1,2,…)：

|p2k-1〉?|q2k-1〉=(|e1〉°|p2k-2〉，|e2〉°
|p2k-2〉)T?|q2k-2〉|p2k〉?|q2k〉=
|p2k-1〉?(|f1〉°|q2k-1〉，|f2〉°|q2k-1)T.

根據(jù)1.3節(jié)給出的量子相干公式，可以計(jì)算出該演化過(guò)程中時(shí)刻t全空間和位置子空間的量子相干分別為

從而，時(shí)刻t全空間和位置子空間的量子相干分別為

此時(shí)量子相干僅依賴(lài)于2個(gè)硬幣算子的行和，且呈正相關(guān)的關(guān)系.此外，全空間的量子相干和位置子空間的量子相干這二者的比值固定，嚴(yán)格取決于一維圓的頂點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.3 完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移協(xié)議中的量子相干

量子游走可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)量子通訊，比如完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移，即將量子態(tài)從一點(diǎn)轉(zhuǎn)移至另一點(diǎn)且保真度為1.文獻(xiàn)[39]提出了用單硬幣量子游走模型實(shí)現(xiàn)在含偶數(shù)個(gè)點(diǎn)的一維圓上將量子態(tài)從一點(diǎn)完美傳輸?shù)綄?duì)點(diǎn)的通訊協(xié)議.基于此，我們利用兩硬幣量子游走模型在任意N-circle上可完美傳輸量子態(tài)至圓上的任意位置[10]，這大大改善了文獻(xiàn)[39]中完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移協(xié)議的局限性.下面我們來(lái)分析這2種方案里狀態(tài)完美轉(zhuǎn)移過(guò)程中量子相干的變化.假定要傳輸?shù)牧孔討B(tài)為α|0〉+β|1〉，其中復(fù)數(shù)α和β滿足|α|2+|β|2=1.

文獻(xiàn)[10]提出的在N-circle上完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方案所用的硬幣算子依賴(lài)于步數(shù)，其中至多有2步會(huì)用到Pauli陣X，其余步數(shù)均選取單位陣I為硬幣算子.由1.3節(jié)中量子相干的式(1)可知，用來(lái)實(shí)現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移的t步量子游走內(nèi)，全空間的量子相干一直恒為2|αβ|，在位置空間的量子相干為0.

文獻(xiàn)[39]使用單硬幣量子游走來(lái)實(shí)現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移，該模型的量子相干演化在文獻(xiàn)[38]中已經(jīng)有所探討.文獻(xiàn)[39]具體是從硬幣算子的角度出發(fā)研究了2種情況，其中任意二階酉算子可以寫(xiě)為

在位置空間的量子相干為

根據(jù)以上情形的量子相干對(duì)比分析，我們可以看出在利用量子游走來(lái)實(shí)現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過(guò)程中，硬幣算子的選取是會(huì)直接影響到量子相干的.具體來(lái)說(shuō)，如果硬幣算子是對(duì)角或反對(duì)角形式的，即將一個(gè)基態(tài)映射到另一個(gè)基態(tài)上去的(計(jì)算基)，那么量子相干在演化過(guò)程中會(huì)保持不變，恒為定值.否則，若硬幣算子將一個(gè)基態(tài)映射到一些基態(tài)的疊加態(tài)上(計(jì)算基)，比如無(wú)偏的Hadamard算子等，此時(shí)量子相干在量子游走過(guò)程中不會(huì)保持不變，而是會(huì)依賴(lài)于量子游走的步數(shù)，隨時(shí)間變化而變化.

3 模型等價(jià)性及在隱形傳輸上的應(yīng)用

對(duì)于由2枚硬幣控制的量子游走，我們?cè)?.1節(jié)和1.2節(jié)分別介紹了2種模型.這里不考慮初態(tài)的選取，二者最主要的區(qū)別就是硬幣算子的作用方式.模型1是通過(guò)2枚硬幣交替作用，每一步僅有一枚硬幣算子在起作用，經(jīng)過(guò)這枚硬幣的翻轉(zhuǎn)作用后游走者依據(jù)硬幣的當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行移動(dòng)(向前或向后移動(dòng)一個(gè)單位)；模型2是2枚硬幣在每一步游走中均起作用，基于此，游走者向前移動(dòng)、向后移動(dòng)一個(gè)單位或者保持不動(dòng).在本節(jié)中，我們將說(shuō)明這2種模型在一定意義下是等價(jià)的，并給出量子相干的比較和具體的應(yīng)用來(lái)詳細(xì)說(shuō)明這一點(diǎn).

對(duì)于兩硬幣量子游走，在奇數(shù)步和偶數(shù)步量子游走的酉算子分別是U1和U2，因此每2步量子游走對(duì)應(yīng)的演化為

即每2步量子游走，2枚硬幣均起作用，且游走者依據(jù)經(jīng)硬幣翻轉(zhuǎn)操作之后的量子態(tài)向前、向后移動(dòng)2個(gè)單位或者保持不動(dòng).而對(duì)于兩糾纏硬幣量子游走具體形式已在1.2節(jié)由酉算子V給出，可以直接看出，每2步兩硬幣量子游走相當(dāng)于一步兩糾纏硬幣量子游走，差別僅僅是在游走者發(fā)生移動(dòng)的前提下二者相差一個(gè)單位.在這個(gè)意義下，從量子游走酉算子的角度來(lái)看，這2個(gè)模型是等價(jià)的.

下面，我們從量子相干的角度與注1中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比來(lái)說(shuō)明2種模型就上面指出的不同之處所造成的影響.同樣地，當(dāng)量子游走的初態(tài)為全空間的均衡疊加態(tài)時(shí)，即

在兩糾纏硬幣量子游走下(C1=C2=H)，量子態(tài)演化依次為

我們接下來(lái)通過(guò)量子游走實(shí)現(xiàn)隱形狀態(tài)傳輸[9]這一應(yīng)用來(lái)說(shuō)明二者的這種等價(jià)性.我們以在4-circle上對(duì)單量子比特隱形傳輸為例.在該協(xié)議中，量子初態(tài)為|φ(0)〉=|0〉(a|0〉+b|1〉)|0〉，經(jīng)過(guò)2步量子游走，分別選取C1=I和C2=H，量子態(tài)演化為

事實(shí)上，基于2種量子游走模型的等價(jià)性，對(duì)于同樣的初態(tài)，利用兩糾纏硬幣量子游走模型同樣可以實(shí)現(xiàn)隱形狀態(tài)傳輸.具體如下：選取硬幣算子為C=C1?C2=I?H，只需一步量子游走(V)，就可以得到量子態(tài)：

4 結(jié) 論

量子游走是經(jīng)典隨機(jī)游走的量子對(duì)應(yīng)物，由于它在量子計(jì)算領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，其本身的性質(zhì)研究也備受關(guān)注.本文針對(duì)一維圓上的兩硬幣量子游走的量子相干進(jìn)行了分析.我們具體地討論了初始量子態(tài)和硬幣算子的選取對(duì)量子相干的影響，以及它在量子通訊協(xié)議——完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移——中的演變.另外，我們也探討了2種兩硬幣量子游走模型之間的等價(jià)性，并基于此闡述了其在量子隱形傳輸中的作用.我們這里僅探討了量子游走過(guò)程中量子相干性質(zhì)的變化如何受影響，反之，量子相干的變化如何影響量子游走的各種性質(zhì)是未來(lái)值得探索的問(wèn)題.進(jìn)一步，它在量子計(jì)算或量子密碼中的作用也值得探索[40].