復雜系統的同步穩定性研究

孫啟陽

(廣東工業大學，廣東 廣州 510000)

1 概述

隨著科技水平的提高和技術融合的發展，復雜系統近年來逐漸走進了人們的視野，并且越來越受到人們的關注。因其具有資源共享、系統簡便、容易構建、靈活性強等優點，因而廣泛應用于諸如互聯網以及通信領域、交通領域、智能制造領域、航空航天等各個領域。在實際控制中，因系統各個節點所面臨不同的情況以及其中不同節點之間的通信延遲，常會影響到系統的穩定性，進而對系統的工作效率產生不良影響。由于復雜系統的廣泛應用以及其所具有很高的研究價值，因而吸引了國內外很多研究人員對此進行研究，并且在復雜系統的一致性問題研究這個方向上做了更深一步的探索。

2 理論推導

首先考慮如下單個節點的狀態方程：

利用克羅內克積整合多個節點的狀態方程，可以得出該復雜系統的狀態方程為：

為了使系統達到同步穩定，并且減輕網絡擁堵情況的發生以及減緩控制器的輸出頻率，以此來降低控制系統所需要的網絡資源，我們為每一個節點都設置了采樣數據控制器：

因此可知，若給定一個滿足條件的強連通有向圖G(A)，給出合適的系統增益矩陣K，如果存在實矩陣U＞0,P＞0,P2＞0,P3＞0,P4＞0，使得對任意的輸入條件，均有下列不等式成立，則說明該復雜系統能夠實現同步。

3 模擬仿真

本章將提出一個仿真實例來驗證所提理論結果的有效性，利用仿真實驗對所設計的控制器和控制方法進行應用。復雜系統的拓撲結構如圖1 所示。

圖1 復雜系統的拓撲圖

針對某個節點i 的采樣數據控制器的步驟如下：在采樣時間，節點i 與其他節點之間按規則進行通信，發出或接收節點信息；如果節點i 接收到來自其他節點的信號，則它對應的控制器將執行算法；控制輸入信號在相鄰采樣時刻之間保持恒定，數值等于前一個采樣時刻的控制輸入信號；在下一個采樣間隔重復上述三個步驟。

將系統的耦合強度表示為α，將系統的飽和水平表示為Uil。根據系統的采樣控制器可以明確，最大采樣上界并不會影響到 的數值大小。所以不妨假定α=0.5，Uil=0，因為系統由五個節點構成，因此l=1，2，3，4，5，即U 具有五個數值。通過使用ode45，解出線性矩陣不等式方程組可以得到：

系統的采樣上界為h2=0.9，進一步的，以下是五個節點在仿真實驗下得到的狀態軌跡：

根據圖2 可以看出，上文中所構建復雜系統中的五個節點的狀態軌跡隨時間增長而逐漸趨于一致，即系統將達到同步。

圖2 五個節點的狀態軌跡

圖3 五個節點的采樣數據控制輸入

根據圖4 可知，隨著時間的增長，五個節點的系統同步誤差在控制器的作用下逐漸衰減直至歸零。其實際意義為各個節點狀態最終將完全相同，即系統達到同步穩定狀態。

圖4 五個節點的系統同步誤差

4 結論

復雜系統在實際生活中應用廣泛，因此具有很高的研究潛力和價值。本文利用李雅普諾夫定理，研究了采樣數據控制下的含有非線性項的復雜系統的一致性問題。本文構造了一個全新的李雅普諾夫泛函，并通過理論推導與模擬仿真對其效果進行了驗證，證明了該函數的合理性有和效性。